1、经济应用数学经济应用数学第三章第三章 经济最优化问题分析经济最优化问题分析1234案例分析案例分析知识讲解知识讲解例题分析例题分析课堂练习课堂练习第二节第二节 导数的计算导数的计算5应用模型应用模型案例分析【利润的增长率】2()324015003040304030LxL xxxxxxxx 某产品投放市场所产生的利润 是产量 的函数，已知，分析：（1）当日产量从增加到时，利润的增加量；（2）当日产量从增加到时，利润的增加率；（3）当日产量单位时，利润的增长率.解201(40)(30)33003000300(40)(30)2 40303()lim(32401500)624030(30)60.xLL
2、LLLLxLL xxxxxxL （）（）（）当日产量单位时，利润的增长率为3.2 3.2 导数的计算导数的计算定理定理3.13.1 2()()()()()()()()0)()()()uu xvv xxu xu xv xu xv xv xxv xuvuvuvu vuvuu vuvvv 设设函函数数，在在点点 处处可可导导，则则其其和和、差差、积积、商商、在在 处处可可导导，且且有有（1 1）（2 2）（3 3）12121()2()3()nnuuuuuuCuCuuvwu vwuv wuvw 推推论论推推论论推推论论一、导数的四则运算法则二、复合函数求导法则定理定理3.23.2()()()()()x
3、uxyf uuuu xxyfxxdydydy dufuxyyudxdxdu dx 设设函函数数在在 处处可可导导，在在点点 处处可可导导，则则复复合合函函数数在在 处处可可导导，且且有有或或或或三、隐函数求导法(,)0F x yyxxyx 设设方方程程确确定定 是是 的的函函数数，并并且且可可导导，将将方方程程两两边边同同时时对对 求求导导，并并将将 看看成成是是 的的函函数数，便便可可得得到到隐隐函函数数的的导导数数了了.四、二阶导数22()()()()().yf xfxxfxd yyf xfxydx 如如果果函函数数的的导导数数在在 点点可可导导，则则称称的的导导数数为为函函数数的的二二阶
4、阶导导数数，记记作作、或或五、二元函数的偏导数22(,)xyzxyxyzf x yxyzzxyze 若变量 的值由变量 和 唯一确定，我们将z与，的函数关系称为二元函数，记作，其中，为自变量，为因变量.如，等等都是二元函数.几个基本概念：00000000(,)(,)(0)(,)(,)(,)xzf x yxyxxxxyyzf xx yf xyzf x yx 设二元函数在点的某个邻域内有定义，当从 取得改变量，保持不变时，函数z对于的改变量称为函数的偏改变量0000(,)(,)(,)yzf x yzf xyyyf xy对于 的偏改类似地，定义变函数量为000000,(,)(,)(,)(,).xyx
5、yzf x yzf xx yyf xyzf x y 对于自变量分别从取得改变量，函数相应的改变全量称为数的改变量函0000000000000(,)(,)limlim(,)xxxx xxx xy yy yxzf xx yfxxyxxzxyzx 如果当时，极限存在，则称此极限值为函数在点处，记作或对 的偏导数000000000000(,)(,)limlim(,)yyyx xyx xy yy yzf xyyf xyyyzxyyzy 对 的偏 同样，如果极限存在，则称此极限值为函数在处导点，记作或数 ,(,),(,),xxyyDxyDxyzzfx y zfx y zxy 如果函数在某定义区域 内每一点
6、处对（或）的偏导数都存在，则称函数在区域 内有对（或）的偏导数，记作或解解434.3xyyx例例1 1、设设，求求4433334441()4()334412 1233xyxxxxxxxln.yxxy 例例2 2、设设，求求(ln)()ln(ln)1 lnln1yxxxxxxxxxx解解221.1xyyx 例例3 3、设设，求求222222222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)24 (1)(1)xxxxyxxxxxxxx1(1)(1)yxx例例4 4、求求的的导导数数.111122223122(11)()()1111 2222yxxxxxxx xx 解解lnsinyx 例例6
7、6、求求函函数数的的导导数数.sin1(lnsin)(sin)coscotsinxxyxxxxx23(sin)yxx例例7 7、求求函函数数的的导导数数.22222223(sin)(sin)3(sin)12sin(sin)3(sin)(1 sin2)yxxxxxxxxxxx210(1)yx例例5 5、求求函函数数的的导导数数.解1021029291()(1)10220(1)uxyuuxyuxuxx x设，由定理3.2得解()().xf xyf eey 例例8 8、设设，求求()()()()()()()()()()()()()xf xxf xxxf xxf xf xxxxyf eef eefee
8、ef eefxefeef efx4yx 例例1010、求求函函数数的的二二阶阶导导数数.解4332()4(4)12yxxyxx 解2ln(2).yxxf 例例1111、设设函函数数，求求22()ln(ln)2 ln2ln3(2)2ln23yxxxxxxxyxf ln1()xyyyf x例例9 9、求求由由方方程程所所确确定定的的函函数数的的导导数数.解2101xyxyyyyyyxy 方方程程两两边边对对 求求导导得得：解解出出，得得：解解235(,)(,)(1,1)(1,2).xyxyzx yfx yfx yff 例例1212、求求函函数数的的偏偏导导数数，并并求求，2332322322(,)
9、(5)10(,)(5)15(1,1)10 1(1)10(1,2)15(1)260 xxyyxyfx yx yxyfx yx yx yff 课堂练习：课堂练习：一、求下列函数的导数一、求下列函数的导数 322212sin(1)2(2)1(3)ln(1)(4)sin3xxyxyxxxyxyex 2arctan.yxxy 二二、已已知知，求求.xydyexydx 三三、求求隐隐函函数数的的导导数数2.xyzeyx四四、求求函函数数的的偏偏导导数数变速直线运动的速度模型变速直线运动的速度模型000()()()sttstss ttttss ts t 如如果果 为为物物体体从从某某一一时时刻刻 开开始始运
10、运动动到到时时刻刻 所所经经过过的的路路程程，则则 是是时时间间 的的函函数数，记记作作，设设，那那么么：00000()()()stvttvs ttav tst （1 1）物物体体在在时时间间内内的的平平均均速速度度为为：（2 2）物物体体时时刻刻 的的瞬瞬时时速速度度为为：（3 3）物物体体时时刻刻 的的加加速速度度为为：水箱注水31045/min5.mmmm 有一圆锥形容器，高，底半径，圆锥顶点向下，现以的速度把水注入该容器，求当水深时水面上升的速度解hrVt如右图，设水面高为，水面半径为，圆锥形容器的体积为，它们都可以看作时间 的函数.2322()5410143754255/min45/
11、min.4rhrhVr hhtVh hhmm由题意及几何知识可得：两边同时对时间 求导得：解得：因此，水面上升的速度为变化率模型 由导数的意义可知，函数对自变量的导数，也就是函数对自变量的变化率.函数的变化率反映了因变量随自变量变化的快慢程度.总成本变化率总成本变化率 某企业生产组装两种型号的计算机甲和乙，每台甲计算机的成本为2590元，每台乙计算机的成本3250元，固定成本为40万元，分析总成本的变化率.解12121212 40000025903250 2590 3250 xxxxCCxxxCxC设甲计算机和乙计算机的产量分别为 和，总成本为，由题意可知：总成本对甲计算机产量的变化率为总成本函数对产量 的偏导数，即：总成本对乙计算机产量的变化率为总成本函数对产量 的偏导数，即：
