1、2020成都二诊关键试题评析12020成都二诊关键试题评析1 【解析】易得所以 2 B c x ，由三线合一知 1 BOBF，由题知 1 BOF为等边三角形。 所以tan3,2 3 b e a 。 【解析】作出平面，就是过 D 点作两条直线分别 11 ,B P AQ与平行。取 1111 ,DC AD中点即 可。选 B. 【解析】设圆心为N，由极化恒等式知 2 1ME MFMN ，问题转化为求区域内一点到 N 点距离的最值。 【点评】在高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲把极化恒等式视为数量积的 第二个几何意义， 其在于利用最简单的三角形的重要要素中线把向量的运算转化为长度关系 （数量关系
2、）。同时给出了很多精彩变式。 【解析】变为同构式： ln lnln x xx xe ，所以 12 112 ln 1 lnln xx xxx k xee ，所以 21 ln0xx，则 222 21 11 ln ()() kkk xx eek e xx ，令 2 ( ),0 k h kk ek，易求得最大值为 2 4 e 。 【点评】同构式是一种代数变形手段，需要掌握吗？2014 全国 1 卷理科第 21 题考试中心给 出的参考答案之一就是这样处理的。 下面节选自 高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究 三部曲的解题境界中的一节。 5.一解一析一境界横看成岭侧成峰 一个结构的无穷演绎 例.（2014
3、 全国 1 卷理科第 21 题）设函数 1 ( )ln x x be f xaex x ，曲线( )yf x在点（1， (1)f处的切线为(1)2ye x. ()求, a b； （）证明：( )1f x 分析：第（）问一个基本思路是转化为函数的最值，但因为函数极其复杂，导数的零点不 好处理，导致过程推进不下去。于是把函数进行处理，法一是转化为两个基本函数，证明一 个函数的最大值大于另一个函数的最小值， 法二进行放缩。 第 （） 问是不等式恒成立问题， 【解析】：()1,2ab（略） （）【分析 1】寻找难点：处理不等式恒成立问题，转化为函数的最值是基本思路，但此 题困难在于导函数太复杂，复杂的
4、原因在于ln x ex既有指数式，又有对数式，对函数进行 处理显得非常必要，但无论怎么变形，放在一个函数中其导数都是无法处理的。 【分析 2】尝试突破：正是基于上述难点的分析，尝试证明“一个函数的最小值大于另一个 函数的最大值”这个极强的命题，把ln x ex分开，得到两个常见的函数，尝试证明一个函 数的最小值大于另一个函数的最小值。 法一：由()知， 1 2 ( )ln x x e f xex x ，从而( )1f x 等价于 2 ln x xxxe e 设函数( )lng xxx，则( )lng xxx， 所以当 1 0,x e 时，( )0g x，当 1 ,x e 时，( )0g x，
5、故( )g x在 1 0, e 单调递减，在 1 , e 单调递增， 从而( )g x在0,的最小值为 11 ( )g ee . 设函数 2 ( ) x h xxe e ，则( )1 x h xex ， 所以当0,1x时，( )0h x，当1,x时，( )0h x， 故( )h x在0,1单调递增， 在1,单调递减， 从而( )h x在0,的最小值为 1 (1)h e . 综上：当0x 时，( )( )g xh x，即( )1f x . 【解题反思 1】记住一些常见函数的最值 min min max min 11ln1 ln, x x xe xxxee eexex 都用e来表示， 我们很容易进
6、行改编， 比如有 x x e xex ln2 ， 变形得1ln2 12 xexex x ： 变式 1：已知 x x xf ln ， xexexxg x ln2 12 （1）求 xf单调区间； （2）证明： 1xg 【分析 3】针对ln x ex难于处理，两边同时除以指数函数 x e，得 x eex x 12 ln，对所证式 子结构的观察，与常用不等式的联系exex，找打了问题的突破口。 法二： 1 221 ( )ln1ln x x x e f xexx xexe ， 注意到exex，则 11 x eex ，若能证明 1 ln0x ex 即可，显然成立。 又因为等号成立的条件不同，所以原不等式成
7、立。 【解题反思 2】在变形的过程中随时对式子结构进行观察，联想与之相关的结论，这应该是 一种思维习惯。苏霍姆林斯基说思维培养最好的方式是“一边思考、一边观察，在观察中思 考、在思考中观察。”此题给出了观察和思考的对象。 【分析 4】受法二的影响，重新观察 1 2 ln1 x x e ex x 结构，联想到 1 1 x e x ，由此把要证 明的式子分成两部分 11 ln10 xx x ee ex xx ，尝试证明 1 ln0 x x e ex x 。 即证 1 1 ln0 x eex x ，易证。 法三：（略） 【解题反思 3】观察不仅限于较复杂的代数式之间，与常数的联系常常也是重要的突破口
8、。 【分析 5】法三和法二分别在未变形之前和变形之后，对式子进行观察发现了不同的结构， 那在其它变形中是否也蕴含着一些有价值的结构，再来观察法一中的 2 ln x xxxe e ， 如果把xxln中的x变成 x e，得到 xxx xeee ln，惊讶地发现两个形式大相径庭的式 子ln , x xxxe只是同一个函数在不同代数式下的函数值。 法四：令 lng xxx，则 ln xxxx g eeexe 原不等式等价于 22 lnln xx xxxexxxe ee ，即 e egxg x 2 ， 容易证明 e xg 1 ，则 e eg x 1 ，且等号不能同时取到，证毕。 【解题反思 4】令 ln
9、g xxx，则 111ln ln,ln xxx x g eeexeg xxxx 。 在此题中，相同的结构得到再一次拓展。指对数运算法则及互逆性，使得整式的乘积结构变 为分式结构，含指数式可以变为含对数式。 考试中心给出的参考答案之一是： xe xex xee x e x xexf xxxxx - 11 ln1- 11 ln1 111 令 x e x xgln，则 x exx gxeeg xx ln 11 , 1 ，容易证明 0xg。 世间万物看似差别极大的东西， 有可能受着同一个简单法则支配。 阿兰图灵使用了一个 在天文学和原子物理学中很常见的一种数学方程式来描述生命的过程， 描述了一个生物系
10、统 的自我组织的过程， 这解释了即使简单的， 毫无自然界事物特性的东西也可以演绎出栩栩如 生的东西。自然界充满了生长、发展和混乱，其中到处都是离奇的形状和杂乱的斑点，自然 界的图案从来都不会固定不变， 从来都不会重复， 阿兰图灵告诉我们这一切看上去混乱的现 象都受到数学方程式的影响，事实上，他们完全被数学规则所支配。 【分析 6】针对ln x ex难于处理，尝试选择常用不等式exex或xex 1 进行放缩直接消 掉了指数函数。 法五： 1 1 22 ( )lnln1 x xx e f xexeex xx ， 令 2 ( )lng xex x ， 22 22 ( ) eex g x xxx ，
11、所以 xg在 e 2 , 0单减，在 , 2 e 单增，则 02ln 2 ln 2 ee e e e gxg， 容易证明xe x 1 ，等号成立当且仅当1x， 则 1 22 lnlnln2 x eexx exexx xx ， 令 2lnxexxh，则 xexhln1， xh在 e 1 , 0单减，在 , 1 e 单增， 所以 121 1 e hxh，所以( )1f x ，“” 不能同时取到，则成立。 【解题反思 5】考虑 2 ( )lng xex x 的正负，这是放缩过程中最容易忽略的必要步骤。 【分析 7】能消掉指数函数，那能否消掉对数函数呢？借助 ex x1ln max 或xyln恒在 e
12、x 处的切线 ex y 1 切线的下方，得到不等式 ex x1ln ，即 e x x ln，要证明的不等式， 需要把xln放小，故考虑用 x 1 去替换 e x x ln中的x，得到 exx 11 ln，即 ex x 1 ln。 法六：容易证明 ex x 1 ln， 则 111 212 ( )ln111 xxx xx eee f xexe xexxx ，显然成立。 变式 2：已知函数( )ln ,f xaxaR （1）若曲线( )yf x与曲线( )g xx在交点处有共同的切线，求a的值； （2）若对任意1,ex，都有 2 ( )(2)f xxax 恒成立，求a的取值范围； （3）在（1）的条件下，求证： 1 e ( )1 2 x x xf x 解：（1） e 2 a ，切点坐标为 2 (e ,e)；（2）1a ； （3） 1 e ( )1 2 x x xf x 等价于 2 ln eex x xx 设 2 ( )ln e xxx，则 11 ( )( ) ee x 设( ) ex x h x ，则 1 ( )(1) e h xh 从而可得 2 ln eex x xx，即 1 e ( )1 2 x x xf x
