1、数学数学 第3部分 追梦高考 高效抢分 抢分攻略二抢分攻略二 考前必会的考前必会的15个规律、个规律、 结论及方法结论及方法 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 2 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 集合运算的重要结论集合运算的重要结论 (1)AB A，AB B，AAA，A AB，B AB，AAA，A A，AB BA，A ，ABBA. (2)若若A B，则则ABA；反之；反之，若若ABA，则则A B.若若A B，则则ABB；反之；反之， 若若 ABB，则则 A B. (3)A UA ，A UAU， U( UA)A. 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢
2、分 3 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 函数单调性的重要结论函数单调性的重要结论 (1)单调函数必有反函数单调函数必有反函数，且反函数与原函数有相同的单调性且反函数与原函数有相同的单调性 (2)f(x)与与 f(x)c(c 为常数为常数)具有相同的单调性具有相同的单调性 (3)k0，函数函数 f(x)与与 kf(x)的单调性相同；的单调性相同；k0 时向左平移时向左平移，c0 时向上平移时向上平移，b1)或缩短或缩短(00)的图象的图象 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 10 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 可导函数与极值点之间的关系可导函数与
3、极值点之间的关系 (1)定义域定义域 D 上的可导函数上的可导函数 f(x)在在 x0处取得极值的充要条件是处取得极值的充要条件是 f(x0)0，并且并且 f(x)在在 x0 两侧异号两侧异号，若若“左负右正左负右正”，x0为极小值点为极小值点，若若“左正右负左正右负”，x0为极大值点为极大值点 (2)函数函数f(x)在点在点x0处取得极值时处取得极值时，它在这点的导数不一定存在它在这点的导数不一定存在，例如函数例如函数y|x|，结合结合 图象知它在图象知它在 x0 处有极小值处有极小值，但它在但它在 x0 处的导数不存在处的导数不存在 (3)f(x0)0 既不是函数既不是函数 f(x)在在
4、xx0处取得极值的充分条件也不是必要条件处取得极值的充分条件也不是必要条件，且要注意且要注意 对极值点进行检验对极值点进行检验 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 11 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 三角恒等变换的常用技巧三角恒等变换的常用技巧 (1)常值代换：常值代换：“1”的代换的代换，如如 1sin2cos2， 12sin 6 2cos 3 2sin 4， ，1tan 4； ； 特殊三角函数值的代换特殊三角函数值的代换 (2)角的变换：涉及角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系角的变换：涉及角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，常见的拆角、拼角常见
5、的拆角、拼角 技巧有技巧有 2()()，()()， 2 2 (2)( )， 4 2 4 ，2030 10 等等 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 12 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (3)已知和角函数值已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加法行加法 或二倍角后再加减，观察是不是特殊角，只要是特殊角就可以从此入手或二倍角后再加减，观察是不是特殊角，只要是特殊角就可以从此入手 常见解三角形的题型及其解法常见解三角形的题型及其解法 (1)已知两角和一边已知两角和一边，由三角形内角和定
6、理求得第三个角由三角形内角和定理求得第三个角，再由正弦定理计算另两边再由正弦定理计算另两边 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 13 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角，应用正弦定理求出另一边对角的正弦值应用正弦定理求出另一边对角的正弦值，进而确定这进而确定这 个角个角，由三角形内角和定理求出第三个角由三角形内角和定理求出第三个角，再次应用正弦定理求出第三边还可以利用再次应用正弦定理求出第三边还可以利用 余弦定理列出以未知边为元的一元二次方程来求解余弦定理列出以未知边为元的一元二次方程来求解， 而且可以根据一元
7、二次方程根的判而且可以根据一元二次方程根的判 别式来判断三角形解别式来判断三角形解的情况的情况 (3)已知两边和它们的夹角已知两边和它们的夹角，先利用余弦定理求出第三边先利用余弦定理求出第三边，再利用余弦定理的推论求其再利用余弦定理的推论求其 他角他角 (4)已知三边已知三边，连续利用余弦定理的推论求出两较小边的对角连续利用余弦定理的推论求出两较小边的对角，再由三角形内角和定理再由三角形内角和定理 求第三个角求第三个角 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 14 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 用向量法求最值常用到的结论用向量法求最值常用到的结论 (1)由由 a
8、b|a|b|cos 可知可知 a b|a|b|，当当 a 与与 b 同向时取等号同向时取等号 |a b|a|b|，当当 a 与与 b 平行时等号成立平行时等号成立 (a b)2|a|2|b|2，当当 a 与与 b 平行时等号成立平行时等号成立 (2)|a|b|ab|a|b|，当当 a 与与 b 反向且反向且|a|b|时左边不等式取等号时左边不等式取等号，当当 a 与与 b 同同 向时右边不等式取等号向时右边不等式取等号 |a|b|ab|a|b|，当当 a 与与 b 同向且同向且|a|b|时左边不等式取等号时左边不等式取等号，当当 a 与与 b 反向反向 时右边不等式取等时右边不等式取等号号 第
9、第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 15 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 10 等差数列的重要规律与推论等差数列的重要规律与推论 设设 Sn为等差数列为等差数列an的前的前 n 项和项和，则则 (1)ana1(n1)dam(nm)d，pqmnapaqaman. (2)apq，aqp(pq)ap q0；SmnSmSnmnd. (3)Sk，S2kSk，S3kS2k，构成的数列是等差数列构成的数列是等差数列 (4)Sn n d 2n a1d 2 是关于是关于 n 的一次函数或常函数的一次函数或常函数，数列数列 Sn n 也是等差数列也是等差数列 (5)Snn（ （a1a
10、n） 2 n（ （a2an 1） 2 n（ （a3an 2） 2 . 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 16 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (6)若等差数列若等差数列an的项数为偶数的项数为偶数2m，公差为公差为d，所有奇数项之和为所有奇数项之和为 S奇 奇，所有偶数项之所有偶数项之 和为和为 S偶 偶，则所有项之和则所有项之和 S2mm(amam1)，S偶偶S奇奇md，S 偶偶 S奇 奇 a m 1 am . (7)若等差数列若等差数列an的项数为奇数的项数为奇数 2m1，所有奇数项之和为所有奇数项之和为 S奇 奇，所有偶数项之和为所有偶数项之和为 S偶
11、偶，则所有项之和则所有项之和 S2m1(2m1)am，S奇奇mam，S偶偶(m1)am，S奇奇S偶偶am，S 奇奇 S偶 偶 m m1. (8)若若 Smn，Snm(mn)，则则 Sm n(mn) 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 17 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 11 等比数列的重要结论等比数列的重要结论 (1)anamqn m， ，an manqmamqn(m，nN*) (2)若若 mnpq，则则 amanapaq；反之；反之，不一定成立不一定成立(m，n，p，qN*) (3)a1a2a3am，am 1am2a2m，a2m1a2m2a3m，成等比数列成
12、等比数列(mN*) (4)Sn，S2nSn，S3nS2n，SknS(k 1)n，成等比数列成等比数列(n2，且且nN*，k2， kN*，q1) (5)若等比数列的项数为若等比数列的项数为 2n(nN*)，公比为公比为 q，奇数项之和为奇数项之和为 S奇 奇，偶数项之和为偶数项之和为 S偶偶， 则则S 偶偶 S奇 奇 q. 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 18 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (6)an，bn成等比数列成等比数列，则则an， 1 an， ，anbn，an bn成等比数列 成等比数列(0，nN*) (7)通项公式通项公式 ana1qn 1 a1
13、q qn，从函数的角度来看从函数的角度来看，它可以看作是一它可以看作是一个常数与一个关个常数与一个关 于于 n 的指数函数的积的指数函数的积，其图象是指数函数图象上一群孤立的点其图象是指数函数图象上一群孤立的点 (8)与等差中项不同与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有 两个两个，它们互为相反数它们互为相反数 (9)三个数成三个数成等比数列，通常设为等比数列，通常设为x q， ，x，xq；四个数成等比数列；四个数成等比数列，通常设为通常设为 x q3， ，x q， ，xq， xq3. 第第3部分部分 追梦
14、高考追梦高考 高效抢分高效抢分 19 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 12 求数列通项公式的常用方法求数列通项公式的常用方法 (1)公式法：公式法：等差数列的通项公式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式等比数列的通项公式 (2)已知已知 Sn(即即 a1a2anSn)，求求 an，用作差法：用作差法：an S1（ （n1）， SnSn 1（n2）. (3)已知已知 a1a2anf(n)，求求 an，用作商法：用作商法：an f（1）（）（n1）， ， f（n） f（n1）（ （n2）. (4)若若 an 1anf(n)，求求 an，用累加法：用累加法：an(anan1)(a
15、n1an2)(a2a1) a1f(n1)f(n2)f(1)a1(n2) 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 20 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (5)若若 an 1 an f(n)，求求 an，用累乘法：用累乘法：an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1f(n1) f(n 2) f(1) a1(n2) (6)构造等比数列法：若已知构造等比数列法：若已知 an 1panq(p0，p1，q0)，设存在非零常数设存在非零常数 ，使使 得得 an 1p(an)，其中其中 q p1， ，则数列则数列 an q p1 就是公比为就是公比为 p 的等比数列
16、的等比数列，先先 求出数列求出数列 an q p1 的通项公式的通项公式，再求出数列再求出数列an的通项公式即可的通项公式即可 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 21 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 提醒提醒 1 对通项公式中含有对通项公式中含有(1)n的一类数列的一类数列， 在求在求 Sn时时， 要注意讨论， 要注意讨论 n 的奇偶性的奇偶性 2 在用等比数列的前在用等比数列的前 n 项和公式时项和公式时，一定要分公比一定要分公比 q1 和和 q1 两种情况进行讨论两种情况进行讨论 3 用用 anSnSn 1(n2)求数列的通项公式时求数列的通项公式时，需注
17、意此等式成立的条件需注意此等式成立的条件 4 一般地一般地， 当已知条件中含有当已知条件中含有 an与与 Sn的关系时的关系时， 常需运用关系式常需运用关系式 anSnSn 1(n2)， 先将已知条件转化为只含先将已知条件转化为只含 an或或 Sn的关系式的关系式，然后求解然后求解 5 求数列求数列an的通项公式的通项公式，当遇到当遇到 an 1an1d 或或a n 1 an 1 q(n2)时时，要分奇数项、偶要分奇数项、偶 数项进行讨论数项进行讨论，其结果多是分段形式其结果多是分段形式 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 22 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页
18、13 数列求和的常用方法数列求和的常用方法 (1)公式法：公式法：等差数列的求和公式；等差数列的求和公式；等比数列的求和公式；等比数列的求和公式；常用公式常用公式，即即 12 3n1 2n(n 1)，122232n21 6n(n 1)(2n1)，135(2n1) n2，nN*. (2)分组求和法：分组求和法：在直接运用公式法求和有在直接运用公式法求和有困难时困难时，常将常将“和式和式”中的中的“同类项同类项”先合先合 并在一起并在一起，再运用公式法求和再运用公式法求和 (3)倒序相加法：倒序相加法：在数列求和中在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项的和有其共性若和式中到首尾距离相等的两项的
19、和有其共性，则常则常 考虑选用倒序相加法进行求和考虑选用倒序相加法进行求和 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 23 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (4)错位相减法：错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘 构成的构成的，那么常选用错位相减法将其和转化为，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和一个新的等比数列的和” ，从而进行求，从而进行求 解解 (5)裂项相消法：裂项相消法：如果数列的通项可分裂成如果数列的通项可分裂成“两项差两项差”的形式的形式，且相
20、邻项分裂后相关且相邻项分裂后相关 联联，那么常选用裂项相消法求和常用的裂项形式有那么常选用裂项相消法求和常用的裂项形式有 1 n（n1） 1 n 1 n1 ； 1 n（nk） 1 k 1 n 1 nk . 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 24 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 14 证明数列不等式的常用方法证明数列不等式的常用方法 (1)用比较法证明数列不等式用比较法证明数列不等式 若待证不等式的两边均为关于若待证不等式的两边均为关于 n 的整式多项式的整式多项式，常用作差比较法证明数列不等式常用作差比较法证明数列不等式 (2)构造数列、利用数列单调性证明数列
21、不等式构造数列、利用数列单调性证明数列不等式 通过作差或作商的形式构造数列通过作差或作商的形式构造数列，其方法是将待证不等式一边变形为常数其方法是将待证不等式一边变形为常数，另一边变另一边变 形为关于形为关于 n 的关系式的关系式，且将该关系式构造关于且将该关系式构造关于 n 的数列后的数列后，能够判断该数列的单调能够判断该数列的单调 性，可以借助数列单调性证明不等式性，可以借助数列单调性证明不等式 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 25 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (3)与数列前与数列前 n 项和有关的不等式证明项和有关的不等式证明 与数列前与数列前 n
22、 项和有关的不等式的证明方法主要有两种：一是若数列的通项能够直接求项和有关的不等式的证明方法主要有两种：一是若数列的通项能够直接求 和和，则先求和后则先求和后，再根据和的性质证明不等式；二是若数列的通项不能够直接求和再根据和的性质证明不等式；二是若数列的通项不能够直接求和，则则 先放缩后再求和证明先放缩后再求和证明 (4)用数学归纳法证明数列不等式用数学归纳法证明数列不等式 使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由关键是由 nk 时不等式成立推证时不等式成立推证 nk 1 时不等式成立时不等式成立，此步的证明要具有目标意识此步的证明要具有目标意识，
23、要注意与最终达到的解题目标进行要注意与最终达到的解题目标进行 分析分析、比较，以便确定解题方向、比较，以便确定解题方向 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 26 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 15 二项式定理的性质二项式定理的性质 性质性质 内容内容 对称性对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即即 Cm n Cn m n 增减增减性性 当当 kn 1 2 时时，二项式系数逐渐减小二项式系数逐渐减小 最大值最大值 当当 n 是偶数时是偶数时，中间一项中间一项 第第n 2 1项项 的二项式系数最大的二项式系数最大，最大
24、值为最大值为 C n 2 n；当 ；当 n 是奇数时是奇数时，中间两项中间两项 第第n 1 2 1项和第项和第n 1 2 1项项 的二项式系数相等的二项式系数相等，且且 同时取得最大值同时取得最大值，最大值为最大值为 Cn n1 2 或或 C n n1 2 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 27 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 性质性质 内容内容 各二项各二项 式系数式系数 的和的和 (ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即即 C0 n C1 n C2 n Ck n Cn n 2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的
25、和等于奇数二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数 项的二项式系数的和，即项的二项式系数的和，即 C1 n C3 n C5 n C0 n C2 n C4 n 2n 1 特殊特殊 赋值赋值 设设(abx)na0a1xa2x2anxn，记记 f(x)(abx)n，则有则有 f(0) a0，f(1)a0a1a2an，f(1)a0a1a2(1)nan，a0 a2a41 2f(1) f(1)，a1a3a51 2f(1) f(1) 第第3部分部分 追梦高考追梦高考 高效抢分高效抢分 28 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
