1、数学数学 第2部分 高考热点 专题突破 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 第第3讲讲 数列的综合问题数列的综合问题 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 2 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 01 考 点 1 02 考 点 2 03 考 点 3 04 专 题 强 化 训 练 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 3 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 数列不等式的证明问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能数列不等式的证明问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能 力与数列有关的不等式除
2、利用数学归纳法证明外力与数列有关的不等式除利用数学归纳法证明外，还可以借助以下方法：若所证数列还可以借助以下方法：若所证数列 不等式能够转化为函数不等式能够转化为函数，可借助函数的单调性证明；若所证数列不等式两边均是整式多可借助函数的单调性证明；若所证数列不等式两边均是整式多 项式项式，可以借助比较法；若所证数列能够求和可以借助比较法；若所证数列能够求和，且所证不等式与和式有关且所证不等式与和式有关，可先求出其可先求出其 和和，再借助放缩法证再借助放缩法证明明 数列不等式的证明数列不等式的证明 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 4 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页
3、典型例题典型例题 已知数列已知数列xn满足：满足：x11，xnxn 1ln(1xn1)(nN*) 证明：当证明：当 nN*时时， (1)00. 假设假设 nk 时时，xk0， 那么那么 nk1 时时，若若 xk 10 时时，则则 00. 因此因此 xn0(nN*) 所以所以 xnxn 1ln(1xn1)xn1. 因此因此 00)， 函数函数 f(x)在在0，)上单调递增上单调递增， 所以所以 f(x)f(0)0， 因此因此 x2 n 12xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0， 故故 2xn 1xnx nxn 1 2 (nN*) 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 7 返
4、回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (3)因为因为 xnxn 1ln(1xn1)xn1xn12xn1， 所以所以 xn 1 2n 1. 由由x nxn 1 2 2xn 1xn得得 1 xn 1 1 2 2 1 xn 1 2 0， 所以所以 1 xn 1 2 2 1 xn 1 1 2 2n 1 1 x1 1 2 2n 2， ， 故故 xn 1 2n 2. 综上综上， 1 2n 1xn 1 2n 2(nN*) 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 8 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 证明数列不等式常用的四种方法证明数列不等式常用的四种方法 (1)构造函数构造函数
5、，结合数列的单调性证明结合数列的单调性证明 (2)若待证不等式的两边均为关于若待证不等式的两边均为关于 n 的整式多项式的整式多项式，常用作差比较法证明数列不等式常用作差比较法证明数列不等式 (3)与数列前与数列前 n 项和有关的不等式的证明方法主要有两种：一是若数列的通项能够直接求项和有关的不等式的证明方法主要有两种：一是若数列的通项能够直接求 和和，则先求和后则先求和后，再根据和的性质证明不等式；二是若数列的通项不能够直接求和再根据和的性质证明不等式；二是若数列的通项不能够直接求和，则则 先放缩后再求和证明先放缩后再求和证明 (4)当待证不等式随当待证不等式随 n 的变化呈现的规律较明显的
6、变化呈现的规律较明显，且初始值且初始值 n0易于确定时易于确定时，用数学归纳法用数学归纳法 证明证明 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 9 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1设数列设数列an满足满足 ana n 1 2 1，nN*. (1)证明：证明：|an|2n 1(|a 1| 2)，nN*； (2)若若|an| 3 2 n， ，nN*，证明：证明：|an|2，nN*. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 10 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 证明证明：(1)由由 ana n 1 2 1，得得 |an|1 2|an
7、1|1，故故|a n| 2n |a n 1| 2n 1 1 2n， ，nN*， 所以所以|a1| 21 |an| 2n |a1| 21 |a2| a2 |a2| 22 |a3| 23 |an 1| 2n 1|a n| 2n 1 21 1 22 1 2n 11， 因此因此|an|2n 1(|a 1| 2) 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 11 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)任取任取 nN*，由由(1)知知，对于对于任意任意 mn， |an| 2n |am| 2m |an| 2n |a n 1| 2n 1 |an 1| 2n 1|a n 2| 2n 2 |a
8、m 1| 2m 1|a m| 2m 1 2n 1 2n 1 1 2m 1 1 2n 1， 故故|an| 1 2n 1|a m| 2m 2n 1 2n 1 1 2m 3 2 m 2n 2 3 4 m 2n. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 12 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 从而对于任意从而对于任意 mn，均有均有|an|2 3 4 m 2n. 由由 m 的任意性得的任意性得|an|2. 否则否则，存在存在 n0N*，有有|an0|2，取正整数取正整数 m0log3 4 |an0|2 2n0 且且 m0n0，则则 2n0 3 4 m0 2n0 3 4 |an0|
9、2，与与式矛盾式矛盾， 综上综上，对于任意对于任意 nN*，均有均有|an|2. log3 4 |an0|2 2n0 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 13 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2已知数列已知数列an满足满足，a11，an 1 an 1 1 2. (1)求证：求证：2 3 an1； (2)求证：求证：|an 1an|1 3. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 14 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 证明：证明：(1)由已知得由已知得 an 1 1 an1 2 ，计算计算 a22 3， ，a36 7， ，a414 19， ，猜
10、想猜想2 3 an1. 下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明 当当 n1 时时，命题显然成立；命题显然成立； 假设假设 nk 时时，有有2 3 an1 成立成立，则当则当 nk1 时时，ak 1 1 ak1 2 1 2 3 1 2 1， ak 1 1 ak1 2 1 11 2 2 3， ，即当即当 nk1 时也成立时也成立， 所以对任意所以对任意 nN*，都有都有2 3 an1. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 15 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)当当 n1 时时，|a1a2|1 3， ， 当当 n2 时时，因为，因为( (an1 2)(an 11
11、2) (an1 2) 1 an 1 1 2an 11 2 3 2， ， 所以所以|an 1an| 1 an1 2 1 an 11 2 |anan 1| （an1 2）（ ）（an 11 2） ） 2 3|an an 1| 2 3 n1|a 2 a1|1 3 2 3 n11，则则( ) Aa1a3，a2a4 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 18 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)已知已知xn是各项均为正数的等比数列是各项均为正数的等比数列，且且 x1x23，x3x22. 求数列求数列xn的通项公式；的通项公式； 如图如图，在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xO
12、y 中中，依次连接点依次连接点 P1(x1, 1)，P2(x2, 2)，Pn 1(xn1, n1) 得到折线得到折线 P1 P2Pn 1，求由该折线与直线求由该折线与直线 y0，xx1，xxn1所围成所围成的区域的面积的区域的面积 Tn. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 19 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 【解】【解】 (1)选选 B.法一法一：因为因为 ln xx1(x0)，所以所以 a1a2a3a4ln(a1a2a3)a1 a2a31，所以所以 a41，又又 a11，所以等比数列的公比所以等比数列的公比 q1，所以所以 ln(a1a2a3)0，与与 ln(
13、a1a2 a3)a1a2a3a40 矛盾矛盾， 所以所以10，与与 ln(a1a2a3)a1a2a3a40 矛盾矛盾， 所以所以160n800，即即 n230n4000， 解得解得 n40 或或 n60n800 成立成立，n 的最小值为的最小值为 41. 综上综上，当当 an2 时时，不存在满足题意的不存在满足题意的 n； 当当 an4n2 时时，存在满足题意的存在满足题意的 n，其最小值为其最小值为 41. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 31 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 要判断在某些确定条件下要判断在某些确定条件下的某一数学对象是否存在或某一结论是否成立
14、的某一数学对象是否存在或某一结论是否成立，“是否存在是否存在”的的 问题的命题形式有两种：如果存在问题的命题形式有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在找出一个来；如果不存在，需要说明理由这类问需要说明理由这类问 题常用题常用“肯定顺推肯定顺推”的方法的方法 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 32 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 数列数列an满足满足 a11，an 1(n2n)an(n1，2，)， 是常数是常数 (1)当当 a21 时时，求求 及及 a3的值；的值； (2)数列数列an是否可能为等差数列？若可能是否可能为等差数列？若可能，求出它的
15、通项公式；若不可能求出它的通项公式；若不可能，说明理由说明理由 解：解：(1)由于由于 an 1(n2n)an(n1，2，)，且且 a11， 所以当所以当 a21 时时，得得12，故故 3. 从而从而 a3(2223)(1)3. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 33 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)数列数列an不可能为等差数列不可能为等差数列，理由如下：理由如下： 由由 a11，an 1(n2n)an，得得 a22，a3(6) (2)，a4(12)(6)(2) 若存在若存在 ，使使an为等差数列为等差数列，则则 a3a2a2a1， 即即(5)(2)1，解得解得 3. 于是于是 a2a112，a4a3(11)(6)(2)24. 这与这与an为等差数列矛盾为等差数列矛盾，所以所以，对任意，对任意 ，an都不可能是等差数列都不可能是等差数列 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 34 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 请做：专题强化训练请做：专题强化训练 word部分：部分： 点击进入链接点击进入链接 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 35 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
