1、 小题专项训练 7 平面向量 一、选择题 1 (2019 年福建厦门模拟)已知点 A(1,1)， B(0,2)， 若向量AC (2,3)， 则向量BC( ) A(3，2) B(2，2) C(3，2) D(3,2) 【答案】D 【解析】 由 A(1,1)， B(0,2)， 可得AB (1,1)， 所以BCACAB(2,3)(1,1)(3,2) 故 选 D 2平面四边形 ABCD 中，AB CD 0，(AB AD ) AC 0，则四边形 ABCD 是( ) A矩形 B正方形 C菱形 D梯形 【答案】C 【解析】因为AB CD 0，所以AB DC ，四边形 ABCD 是平行四边形又(AB AD )
2、AC DB AC 0，则四边形对角线互相垂直，所以四边形 ABCD 是菱形 3(2018 年河北石家庄模拟)已知向量 a(2,1)，b(1，m)，c(2,4)，且(2a5b)c，则 实数 m( ) A 3 10 B 3 10 C 1 10 D 1 10 【答案】B 【解析】因为 2a5b(4,2)(5,5m)(1,25m)又(2a5b)c，所以(2a5b) c0， 即(1,25m) (2,4)24(25m)0，解得 m 3 10. 4已知平面向量 a，b 的夹角为2 3 ，且 a (ab)8，|a|2，则|b|等于( ) A 3 B2 3 C3 D4 【答案】D 【解析】因为 a (ab)a
3、aa b8，即|a|2|a|b|cosa，b8，所以 42|b|1 28， 解得|b|4. 5(2019 年广东潮州模拟)已知向量 a，b 为单位向量，且 ab 在 a 的方向上的投影为 3 2 1，则向量 a 与 b 的夹角为( ) A 6 B 4 C 3 D 2 【答案】A 【解析】设向量 a，b 的夹角为 ，由 a，b 为单位向量可得|a|b|1.ab 在 a 方向上的 投影为ab a |a| a 2ab |a| |a| 2|a|b|cos |a| 1cos ，所以 1cos 3 2 1，得 cos 3 2 .又 0，所以 6.故选 A 6(2019 年辽宁模拟)赵爽是我国古代数学家、天
4、文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周 髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形 由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，可构造如 图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角 形，设 DF2AF，则( ) AAD 2 13AC 9 13AB BAD 2 9AC 1 27AB CAD 3 13AC 6 13AB DAD 3 13AC 9 13AB 【答案】D 【解析】由题图的特征及 DF2AF，易得BD 1 3BE ，CE1 3CF ，AF1 3AD ，所以AD AB 1 3B
5、E ， BEBC1 3CF ， CFCA1 3AD .所以AD AB 1 3 BC 1 3 CA 1 3AD .所以26 27AD AB 1 3BC 1 9CA AB1 3(AC AB)1 9AC 2 9AC 2 3AB .所以AD 3 13AC 9 13AB .故选 D 7已知向量 a(2,1)，b(1，k)，且 a 与 b 的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围是( ) A 2，1 2 B 2，1 2 1 2， C(2，) D2，) 【答案】B 【解析】当 a，b 共线时，2k10，解得 k1 2，此时 a，b 方向相同，夹角为 0，所以要 使 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a b0 且
6、a，b 不共线由 a b2k0，得 k2.又 k1 2，故 实数 k 的取值范围是 2，1 2 1 2， .故选 B 8(2018 年安徽合肥校级联考)在边长为 1 的正三角形 ABC 中，D，E 是边 BC 的两个三 等分点(D 靠近点 B)，则AD AE 等于( ) A1 6 B1 3 C2 9 D13 18 【答案】D 【解析】如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得 A 0， 3 2 ，D 1 6，0 ， E 1 6，0 ，AD 1 6， 3 2 ，AE 1 6， 3 2 ，AD AE 1 6， 3 2 1 6， 3 2 1 36 3 4 13 18. 9已知向量OA (3,1)
7、，OB (1，3)，OC mOA nOB (m0，n0)，若 mn1，则 |OC |的最小值为( ) A 5 2 B 10 2 C 5 D 10 【答案】C 【解析】由OA (3,1)，OB (1,3)，得OC mOA nOB (3mn，m3n)mn 1(m0，n0)，n1m 且 00)， 则ABC 的重心一定在满足条件的 P 点集合中； 若点 P 满足OP OA AB |AB |cos B AC |AC |cos C (0)，则ABC 的垂心一定在满足条件的 P 点集合中 其中正确命题的序号是_ 【答案】 【解析】对于，由OP OA PB PC，知PAPBPC0，故点 P 是ABC 的重心，
8、 错误；对于，由OP OA AB |AB | AC |AC | ，知AP AB |AB | AC |AC | ， AB |AB |与 AC |AC |分别表示AB 与AC 方向上的单位向量，故 AP 平分BAC，ABC 的内心一定在满足条件的 P 点集合中， 正确；对于，由OP OA AB |AB |sin B AC |AC |sin C ，知AP AB |AB |sin B AC |AC |sin C ， 在ABC 中，|AB |sin B，|AC|sin C 都表示 BC 边上的高 h，故AP h(AB AC)2 h AD (其中 D 为 BC 的中点)，即点 P 在 BC 边上的中线所在直线上，ABC 的重心一定在满足条件的 P 点 集 合 中， 正 确 ；对 于 ，由 已知 得AP AB |AB |cos B AC |AC |cos C ， 则AP BC AB |AB |cos B AC |AC |cos C BC ，得AP BC0，即点 P 在边 BC 上的高线所在直线上，ABC 的垂心一定在满足条件的 P 点集合中，正确综上，正确
