1、 专题强化训练 1(2019 衢州市高三数学质量检测)已知函数 f(x)ln x1 2ax 2(1a)x1. (1)当 a1 时，求函数 f(x)在 x2 处的切线方程； (2)求函数 f(x)在 x1，2时的最大值 解：(1)当 a1 时，f(x)ln x1 2x 21， 所以 f(x)1 xx， 所以 f(2)3 2，即 k 切3 2， 已知切点为(2，1ln 2)， 所以切线的方程为：y3 2x2ln 2. (2)因为 f(x)ax 2（1a）x1 x (1x2)， 当 a0 时，f(x)0 在 x1，2恒成立， 所以 f(x)在 x1，2单调递增， 所以 fmax(x)f(2)4a3l
2、n 2； 当 0a1 2时，f(x)在 x1，2单调递增， 所以 fmax(x)f(2)4a3ln 2； 当1 2a1 时，f(x)在 x1， 1 a单调递增，在 x 1 a，2单调递减， 所以 fmax(x)f(1 a) 1 2aln a； 当 a1 时，f(x)在 x1，2单调递减， 所以 fmax(x)f(1)3 2a2， 综上所述 fmax(x) 4a3ln 2，a 1 2 ln a 1 2a， 1 2a1 3 2a2，a1 . 2(2019 绍兴、诸暨市高考二模)已知函数 f(x)xexa(x1)(aR) (1)若函数 f(x)在 x0 处有极值，求 a 的值与 f(x)的单调区间；
3、 (2)若存在实数 x0(0，1 2)，使得 f(x0)0，求实数 a 的取值范围 解：(1)f(x)(x1)exa， 由 f(0)0，解得：a1， 故 f(x)(x1)ex1， 令 f(x)0，解得：x0， 令 f(x)0，解得：x0， 故 f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增 (2)若 f(x)0 在 x(0，1 2)上有解， 即 xexa(x1)，a xex x1在 x(0， 1 2)上有解， 设 h(x) xex x1，x(0， 1 2)， 则 h(x)e x（x2x1） （x1）2 0， 故 h(x)在(0，1 2)单调递减， h(x)在(0，1 2)的值域是( e，0)，
4、 故 ah(0)0. 3(2019兰州市实战考试)已知函数 f(x)ln xax1a x 1(aR) (1)当 00， 当 x(0，1)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增； 当 x 1 a1， 时，f(x)2 时，g(x)ming(2)84b，且当 b2 时，84b88ln 2； (2)若 a34ln 2，证明：对于任意 k0，直线 ykxa 与曲线 yf(x)有唯一公共点 证明：(1)函数 f(x)的导函数 f(x) 1 2 x 1 x， 由 f(x1)f(x2)得 1 2 x1 1 x1 1 2 x2 1 x2， 因为 x1x2，所以 1 x1 1 x2 1 2. 由基本不等式得1 2
5、 x1x2 x1 x224x1x2， 因为 x1x2，所以 x1x2256. 由题意得 f(x1)f(x2) x1ln x1 x2ln x21 2 x1x2ln(x1x2) 设 g(x)1 2 xln x， 则 g(x) 1 4x( x4)， 所以 x (0，16) 16 (16，) g(x) 0 g(x) 24ln 2 所以 g(x)在256，上单调递增，故 g(x1x2)g(256)88ln 2， 即 f(x1)f(x2)88ln 2. (2)令 me (|a|k)，n |a|1 k 2 1，则 f(m)kma|a|kka0， f(n)knan 1 n a nk n |a|1 n k 0，
6、直线 ykxa 与曲线 yf(x)有唯一公共点 5(2019 绍兴市高三教学质量调测)已知函数 f(x) 1 3x 3ax23xb(a，bR) (1)当 a2，b0 时，求 f(x)在0，3上的值域； (2)对任意的 b，函数 g(x)|f(x)|2 3的零点不超过 4 个，求 a 的取值范围 解：(1)由 f(x)1 3x 32x23x， 得 f(x)x24x3(x1)(x3) 当 x(0，1)时，f(x)0，故 f(x)在(0，1)上单调递增； 当 x(1，3)时，f(x)0，故 f(x)在(1，3)上单调递减 又 f(0)f(3)0，f(1)4 3， 所以 f(x)在0，3上的值域为0，
7、4 3 (2)由题得 f(x)x22ax3，4a212， 当 0，即 a23 时，f(x)0，f(x)在 R 上单调递增，满足题意 当 0，即 a23 时，方程 f(x)0 有两根，设两根为 x1，x2，且 x1x2，x1x22a， x1x23. 则 f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减 由题意知|f(x1)f(x2)|4 3， 即|x 3 1x 3 2 3 a(x21x22)3(x1x2)|4 3. 化简得4 3(a 23) 3 24 3，解得 3a 24， 综合，得 a24， 即2a2. 6 (2019 台州市高考一模)已知函数 f(x)1ln x x ，
8、 g(x)ae ex 1 xbx(e 为自然对数的底数)， 若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)的一个公共点是 A(1，1)，且在点 A 处的切线互相垂直 (1)求 a，b 的值； (2)求证：当 x1 时，f(x)g(x)2 x. 解：(1)因为 f(x)1ln x x ， 所以 f(x)ln x1 x2 ，f(1)1. 因为 g(x)ae ex 1 xbx， 所以 g(x)ae ex 1 x2b. 因为曲线 yf(x)与曲线 yg(x)的一个公共点是 A(1，1)，且在点 A 处的切线互相垂直， 所以 g(1)1，且 f(1)g(1)1， 即 g(1)a1b1，g(1)a1b1， 解得 a
9、1，b1. (2)证明：由(1)知，g(x) e ex 1 xx， 则 f(x)g(x)2 x1 ln x x e ex 1 xx0. 令 h(x)1ln x x e ex 1 xx(x1)， 则 h(x)1ln x x2 e ex 1 x21 ln x x2 e ex1. 因为 x1，所以 h(x)ln x x2 e ex10， 所以 h(x)在1，)上单调递增，所以 h(x)h(1)0， 即 1ln x x e ex 1 xx0， 所以当 x1 时，f(x)g(x)2 x. 7 (2019 宁波市镇海中学高考模拟)设函数 f(x)e x x2k( 2 xln x)(k 为常数， e2.71
10、8 28是 自然对数的底数) (1)当 k0 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求 k 的取值范围 解：(1)f(x)的定义域为(0，)， 所以 f(x)e xx2ex2x x4 k(1 x 2 x2) （x2）（e xkx） x3 (x0)， 当 k0 时，kx0， 所以 exkx0， 令 f(x)0，则 x2， 所以当 0x2 时，f(x)0，f(x)单调递减； 当 x2 时，f(x)0，f(x)单调递增， 所以 f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，) (2)由(1)知，k0 时，函数 f(x)在(0，2)内单调递减，
11、 故 f(x)在(0，2)内不存在极值点； 当 k0 时，设函数 g(x)exkx，x(0，) 因为 g(x)exkexeln k， 当 0k1 时， 当 x(0，2)时，g(x)exk0，yg(x)单调递增， 故 f(x)在(0，2)内不存在两个极值点； 当 k1 时， 得 x(0，ln k)时，g(x) 0，函数 yg(x)单调递减， x(ln k，)时，g(x)0，函数 yg(x)单调递增， 所以函数 yg(x)的最小值为 g(ln k)k(1ln k) 函数 f(x)在(0，2)内存在两个极值点， 当且仅当 g（0）0 g（ln k）0 g（2）2 0ln k2 ， 解得：eke 2
12、2 综上所述， 函数 f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为(e，e 2 2) 8(2019 杭州市学军中学高考模拟)已知函数 f(x)1 3ax 31 2bx 2x(a，bR) (1)当 a2，b3 时，求函数 f(x)极值； (2)设 ba1，当 0a1 时，对任意 x0，2，都有 m|f(x)|恒成立，求 m 的最小值 解：(1)当 a2，b3 时，f(x)2 3x 33 2x 2x， f(x)2x23x1(2x1)(x1)， 令 f(x)0，解得：x1 或 x1 2， 令 f(x)0，解得：1 2x1， 故 f(x)在(，1 2)单调递增，在( 1 2，1)单调递减，
13、在(1，)单调递增， 故 f(x)极大值f(1 2) 5 24，f(x)极小值f(1) 1 6. (2)当 ba1 时，f(x)1 3ax 31 2(a1)x 2x， f(x)ax2(a1)x1，f(x)恒过点(0，1)； 当 a0 时，f(x)x1， m|f(x)|恒成立， 所以 m1； 0a1，开口向上，对称轴a1 2a 1， f(x)ax2(a1)x1a(xa1 2a )21（a1） 2 4a ， 当 a1 时 f(x)x22x1，|f(x)|在 x0，2的值域为0，1； 要 m|f(x)|，则 m1； 当 0a1 时， 根据对称轴分类： 当 xa1 2a 2，即1 3a1 时， (a1)20， f(a1 2a )1 2 1 4(a 1 a)( 1 3，0)，又 f(2)2a11， 所以|f(x)|1； 当 xa1 2a 2，即 0a1 3； f(x)在 x0，2的最小值为 f(2)2a1； 12a11 3，所以|f(x)|1， 综上所述，要对任意 x0，2都有 m|f(x)|恒成立，有 m1， 所以 m1.
