1、 第 56 练 数列中的整数问题 一、基础知识： 1、整数的基本性质： （1）整数的和，差，积仍为整数 （2）整数的奇偶性：若21nkkZ，则称n为奇数；若2nk kZ，则称n为偶 数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律： 奇数奇数偶数 奇数偶数奇数 偶数偶数偶数 奇数偶数偶数 偶数偶数偶数 奇数奇数奇数 （3）若, a bZ，且ab，则1ab （4）已知,a bR ab，若nZ，且,na b，则n只能取到有限多个整数（也有可能 无解） （5）若 a Z b ，称a能被b整除，则有： ba b为a的一个因数 （6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数 2、整数性质的应用
2、： （1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变 量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。但是在整数范围内，除了方程， 在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值 （即性质 （4） ） ， 例如： 若,2,5nN n， 则n的取值只能是3,4。所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等 关系依然可以求解。 （2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值； 若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。 （3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多
3、组解。通常的处 理方式有两个： 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方 程的方程组，进而解出变量 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将 参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值 （4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点： 所解得变量非整数，或不符合已知范围 等式两侧为一奇一偶 3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前n项和的项数，均 为正整数。 二、典型例题： 例 1：已知数列 n a的通项公式为27 n an，若 1 2 mm m a a a 为数列 n a
4、中的项，则m_ 思路： 1 2 2725 23 mm m mma a am ， n a中的项为大于等于5（ 1 5a ）的奇数，所以 考虑将 1 2 mm m a a a 向奇数形式变形： 2342322725 2323 mmmm mm 88 23629 2323 mm mm ，可得 8 23m 应该为大于等于 4 的偶数，所以 8 4 23m 或 8 8 23m ，解得 5 2 m （舍）或2m 答案：2m 小炼有话说： （1）本题的亮点在于对 2725 23 mm m 的变形，在有关整数的问题里，通常 可对分式进行“分离常数”的变形，从而将复杂的分式简化，并能立刻找到需处理的部分。 例如在
5、本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在 8 23m 上。 （2）本题对 8 23m 的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到23m应为奇数，而 8 23 Z m ，而8的奇因数只有1和1，同样可确定m的值。 例 2：已知等差数列 n a 的公差0d ，设 n a的前n项和为 123 ,1,36 n S aSS （1）求 n a的通项公式 （2）求,m k m kN 的值，使得 1 65 mmm k aaa 例 3：已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 111 22 n Snn nN （1）求数列 n a的通项公式 （2 2）设）设 (21,) 313(2 ,) n n a nkkN
6、 f n ank kN ，是否存在，是否存在mN ，使得，使得 155f mf m成成 立？若存立？若存在，求出在，求出m的值；若不存在，请的值；若不存在，请说明理由说明理由 解： （1） 2 2 1 111111 ,112 2222 nn Snn Snnn 1 52 nnn aSSnn 11 111 6 22 aS符合 5 n an （2）思路： f n按照奇偶分段，所以要确定15,mm的奇偶。观察可发现无论m为何值， 15,mm均为一奇一偶，所以只需要对m的奇偶进行分类讨论，解出符合条件的m即可 解： 5,21 31332,2 n n annk f n annk 当m为奇数时，15m为偶数
7、 155315255f mf mmm 解得：11m 当m为偶数时，15m为奇数 1551555 32f mf mmm 解得： 5 7 m （舍） 综上所述：11m 例 4：已知各项均为整数的数列 n a满足 37 1,4aa ，前 6 项依次成等差数列，从第五项 起依次成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式 （2 2）求出所有的正整数）求出所有的正整数m，使得使得 1212mmmmmm aaaa aa 解： （1）设前 6 项的公差为d，则 5363 212 ,414aadd aadd 567 ,a a a成等比数列， 2 2 657 414 21aaadd 解得：1d 6n 时， 3 3
8、4 n aandn 56 1,2aa，则2q 7n时， 65 6 2 nn n aaq 5 4,6 2,7 n n nn a n （2）思路：由于数列 n a分为两部分，当5n 时，即为公比是2的等比数列，所以考虑对 于数列的前几项可进行验证，5n 后成等比数列，从而可进行抽象的计算，看是否能够找到 符合条件的m。 解：由（1）可得： : 3, 2, 1,0,1,2,4,8, n a 则当1m 时， 123123 6aaaa a a 当2m时， 234234234234 2,0,aaaa a aaaaa a a 当3m 时， 345345 0aaaa a a 当4m时， 45645645645
9、6 3,0,aaaa a aaaaa a a 当5m 时，假设存在m，使得 1212mmmmmm aaaa aa 则有 5312 21242 mm 即： 531227 7 227=2 mmm 5m 273m 273 2287 m ，从而 27 7=2 m 无解 5m时，不存在这样的m，使得 1212mmmmmm aaaa aa 综上所述：1m 或3m 例 5：已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 2a ， 1 320 nn aS （ * nN）. （1）求 2 a， 3 a的值； （2）求数列 n a的通项公式； （3 3）是否存在整数对）是否存在整数对( , )m n，使得等式，
10、使得等式 2 48 nn am am成立？若存在，请求出所有满足成立？若存在，请求出所有满足 条件的条件的( , )m n；若不存在，请说明理由；若不存在，请说明理由. . 解： （1）在 1 320 nn aS 中，令1n ，得： 21 320aS 211 23234aSa 再令2n ，得： 323 3208aSa （2）由 1 320 nn aS ，可得： 1 3202 nn aSn 可得： 11 3022 nnnnn aaaaan n a从第二项开始成等比关系，公比为2 2 2 222 nn n aan 而 1 2a 符合上式 2 n n a （3）思路：所成立的等式为 2 2248 n
11、n mm，考虑将,m n进行分离得到： 2 28 8 24 2424 n n nn m ， 再利用,m n为整数可得 8 24 n 为整数， 从而 求出符合条件的n，再求出m。 解：由（2）得： 2 2248 nn mm 22 282168 8 24 242424 nn n nnn m mZ 且24 n Z 只需 8 24 n Z ，即241, 2, 4, 8 n 经计算可得：1,2,3n 时， 8 24 n Z 解得： 123 , 2114 nnn mmm 共有三组符合题意： 2,1 , 1,2 ,14,3 小炼有话说： （1）在第（2）问中，要注意n的取值范围变化，并且要把n所能取到的最小
12、值代入到递推公 式中以了解递推公式从第几项开始满足。 （2）二元不定方程在求解时，参变分离是一种方式，通过变形让两变量分居不等号的两侧， 这样可以以一侧作为突破口（比如本题中的整除问题） ，来求得变量的解 例 6：已知数列 n a是各项均不为 0 的等差数列， n S是其前n项和，且满足 2 21nn aS ，令 1 1 n nn b a a ，数列 n b的前n项和为 n T （1）求数列 n a的通项公式及 n T （2 2） 是否存在正整数） 是否存在正整数,1m nmn， 使得使得 1, , mn T T T成等比数列成等比数列？若存在若存在， 求出所有的求出所有的,m n 的值的值；
13、若不存在，请说明理由。；若不存在，请说明理由。 解： （1） 121 21 21 2 n n aa Sn 121 2 nn aaa 21 21 nn Sna 2 21nn aS 且0 n a 21 n an 1111 21 212 2121 n b nnnn 11111111 11 2335212122121 n n T nnnn （2）思路：先假定存在满足条件的,m n，则由则由 2 1mn TT T可得 2 2 1 3 21 21 mn n m ，无 法直接得到不等关系， 考虑变形等式： 2 2 2163mn mn ， 分离参数可得： 2 413 2 mmn ， 以 3 0 n 为突破口可
14、解出m的范围 66 1,1 22 ，从而确定m的值后即可求出n 解：假设存在,1m nmn，则 2 1mn TT T 即 2 22 222 2116344163 3 21 21 mmnnmmn nmnmn m 2 413 46 mmn 即 2 413 20 mmn 2 2 241 0 mm m 解得： 66 11 22 m 2m，代入可得： 2 3411 2 224n ，解得：12n 存在2,12mn，使得 1, , mn T T T成等比数列 例 7：已知各项均为正数的数列 n a满足： 1 3a ，且 22 11 210, nnnnn a aaaanN （1）设 1 nn n ba a ，
15、求数列 n b的通项公式 （2 2）设）设 222 12 222 12 111 , nnn n Saaa T aaa ，求，求 nn ST，并确定最小正整数，并确定最小正整数n， 使得使得 nn ST为整数为整数 解： （1） 2222 1111 210121 nnnnnnnnn a aaaaaaaa 22 1 11 11 1111 222 nn nnnn nnnn aa baab aaaa n b是公比为 2 的等比数列 （2）思路：由（1）可得 2 1 1 12 2 3 n n nn n abb a ， n a的通项公式可求但是比较复杂， 不利于求出, nn S T，但观察发现可将 nn
16、ST中的项重新组合，进而能够和 n b找到联系。 2 22 2 11 22 nnn nn aab aa ，求和可得 64 412 27 n nn STn，若 nn ST为整数， 则41 n 能被27整除，而 3 273，考虑可将4n写成3 1 n ，通过二项式定理展开并找到最 小的正整数n 解： 222 12 222 12 111 nnn n STaaa aaa 222 12 12 111 2 n n aaan aaa 2222 21 8888 4442 3333 n n 64 41 64 9 2412 4 127 n n nn 若 nn ST为整数，因为2nZ 64 41 27 n Z 即
17、1 41 27 n Z 01133221 413 1333331 n nnnnnnn nnnnnn CCCCCC 01133221 33333 nnnnn nnnnn CCCCC 221 33 nn nn CC 能被27整除 2 221 193 3393 22 nn nn n nnn CCn 所以可得9n时， 221 33 nn nn CC 能被27整除 n的最小值是9 例 8：已知 n a为等差数列，前n项和为 n S，若 422 4,21 nn SS aa （1）求 n a （2）对mN ，将 n a中落入区间 2 2 ,2 mm 内项的个数记为 m b 求 m b 记记 21 2 2 m
18、 m m c b ， m c的前的前m项和记为项和记为 m T，是否存在，是否存在,m tN，使得，使得 1 1 1 m mt Tt Ttc 成立？若存在，求出成立？若存在，求出,m t的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由 解： （1）设 n a的公差为d 4211 4464 2SSadad 211 2121211 nn aaandand 解得： 1 1,2ad 21 n an （2） 2 2 2121 2212 22 mm mm nn 121 11 22 22 mm n nN 121 212 mm n 211 22 mm m b 思路：由可得： 2 1 21 22 m m m
19、 c ， 1 4 1 2 m m T ，则所解方程变形为： 1 11 4 1 22 mmt t ，得到关于,m t的不定方程，可考虑对,m t进行变量分离 1 14 2 1 4 2 m t t ，以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数） ，得到40t ，即 1,2,3t，然后代入t解出符合条件的m即可 解：由可得： 2 1 21 22 m m m c 1 2 1 2 1 4 1 1 2 1 2 m m m T 由 1 1 1 m mt Tt Ttc 可得： 1 1 m t m Tt c Tt 111 111 mmmm ttt mmm Ttccc ccc TtTtTt 1 1 1 2 mt m
20、 m t c Tt c 1 111 44 222 mmt t 1 14 2 1 4 2 m t t 1 11 0,40 22 mt 401,2,3tt 1t 时，解得： 1 2 133 log 255 m mZ （舍） 2t 时，解得： 1 2 111 log 233 m mZ （舍） 3t 时，解得： 11 3 28 m mZ 存在这样的 3 3 m t ，满足所给方程 小炼有话说： 1、本题中的方程，并没有在一开始就将 m T代入，否则运算会复杂的多，所采取的策略为先 化简变形，变形完成之后再代入。可简化不必要的运算 2、本题在解,m t的不定方程所用的方法为变量分离法，将两个只含某一字母
21、的式子用等号连 接，则两边式子的范围应当一致。以其中一个式子作为突破口（比如 1 2 m ） ，再结合变量必 须取整数的条件，便可用不等关系将变量所能取的值确定下来。 例 9：已知数列 n a是等差数列，数列 n b是等比数列，且对任意的nN ，都有： 3 1 122 2n nn a ba ba bn ，若 1 8a ，则： （1）求数列 , nn ab的通项公式 （2 2）试探究：数列）试探究：数列 n b中是否存在某一项中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它它可以表示为该数列中其它,2r rN r项的项的 和和？若存在若存在，请求出该项请求出该项，若不存在若不存在，请说明理由请说明理由
22、 解： （1） 3 1 122 2n nn a ba ba bn 2 1 12 211 12n nn aba babn 可得： 322 21 21 22 nnn n n a bnnnn 令1n ，则 4 1 11 1 22a bb 令2n ，则 4 2 211 3 248a bad bq 令3n ，则 52 3 311 4 22128a bad bq 所以有： 2 848 2 82128 d q d q ，解得： 4 2 d q 44,2n nn anb （2）思路：首先要把命题翻译为等式，将其他r项可设为 12 , r ttt b bb，设存在某项 m b，则 12 12 2222 r r
23、tttm mttt bbbb，设 12r ttt，则同除以 1 2t，就会 出现左右两侧奇偶不同，从而假设不成立 解：假设存在某项 m b及数列中的其他r项 12 12 , r tttr b bbttt 12 12 2222 r r tttm mttt bbbb，所以22 r tm r mt 两边同时除以 1 2t可得： 1211 2122 r m ttttt ，左边为偶数，右边为奇数。所以等式不成立 所以不存在这样的项 小炼有话说： （1）通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项，则可表示为： 12 , mmm aaa ，如果不一定相邻，则可用 12 , r t tt作角标，其中1
24、,2,r体现出这一串项 所成数列中项的序数，而 12 , r t tt表示该项在原数列中的序数 （2）本题还有一个矛盾点：题目中的r项不一定为相邻项，但是可通过放缩将右边的项补全， 变 为 从 1 2 一 直 加 到2 r t ， 即 12 12 222222 rr tttt 。 则 21 222221 mtrtr ， 由 整 数 性 质 可 得1 rr mtmt， 所 以 11 2221 rr ttm ，与矛盾，所以不存在。 例例 1010：已知等差数列：已知等差数列 n a的首项为的首项为a，公差为公差为b，等比数列等比数列 n b的首项为的首项为b，公比为公比为a，其其 中中, a b均
25、为大于均为大于 1 1 的正整数，且的正整数，且 1123 ,ab ba，对于任意的对于任意的nN ，均存在均存在mN ，使得使得 3 mn ab成立成立，则则 n a _ 思路：本题的关键是求出, a b，已知, a b均为大于 1 的正整数，所以考虑从两个不等关系入手 尝试求, a b的值或范围： 1123 ,2abab babaab，所以 2 ab baab ，从而 根据不等号方向可得：223baabbbb 解得：3a ，所以132aa， 从而 1 313 n mn abambba ，代入2a 可得： 11 152521 nn mbbbm ， 因 为 1 , 21 n bZmZ ， 所
26、以 1 1 215 n b m （舍）或 1 211 5 n m b 。所以 11 2112 55 nn mm bb 成立，所 以2,5ab，25153 n ann 答案：53 n an 三、历年好题精选 1、 （2014，山东师大附中五模）用部分自然数构造如图的数表：用 ij aij表示第i行第j个 数（, i jN） ，使得 1 iij aai，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和， 设第n nN行中的各数之和为 n b （1）写出 1234 ,b b b b，并写出 1n b 与 n b的递推关系（不要求证明） （2）令2 nn cb，证明： n c是等比数列，并求出 n b
27、的通项公式 （3）数列 n b中是否存在不同的三项, , pqr b b bp q rN恰好成等差数列？若存在，求出 , ,p q r的关系，若不存在，说明理由 2、 （2016， 泰州一模） 已知数列, nn ab满足2(2) nnn Sab， 其中 n S是数列 n a的前n项 和 （1）若数列 n a是首项为 2 3 ，公比为 1 3 的等比数列，求数列 n b的通项公式； （2）若 n bn， 2 3a ，求数列 n a的通项公式； （3）在（2）的条件下，设 n n n a c b ，求证：数列 n c中的任意一项总可以表示成该数列其他 两项之积 3、已知数列 n a的奇数项是首项为
28、 1 的等差数列， 偶数项是首项为 2 的等比数列，数列 n a 前n项和为 n S，且满足 545934 2,Saa aaa （1）求数列 n a的通项公式 （2）若 12mmm a aa ，求正整数m的值 （3）是否存在正整数m，使得 2 21 m m S S 恰好为数列 n a中的一项？若存在，求出所有满足条件 的m值，若不存在，说明理由 4、 （2016，无锡辅仁高中 12 月月测） 已知数列 , nn ab满足 11 2 3,2, 1 n nnnn n aa bbabnN a （1）求证：数列 1 n b 是等差数列，并求数列 n b的通项公式 （2）设数列 n c满足25 nn c
29、a，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数 , q r pqr，使得 111 , pqr ccc 成等差数列？若存在，试用p表示 , q r；若不存在，请说明 理由 习题答案：习题答案： 1、解析： （1） 1234 1,4,10,22bbbb 猜想 1 22 nn bb （2） 1 222 nn bb 1 2 nn cc n c是等比数列， 1 123c 11 1 23 2 nn n cc 1 3 22 n n b （3）由（2）可得： 111 3 22,3 22,3 22 pqr pqr bbb 若, , pqr b b bp q rN为等差数列 则 1 2222 qpr qpr bbb
30、不妨设p为最小的数，则2 212 qprp ，左边为偶数，右边为奇数，显然不成立 不存在符合要求的, ,p q r 2 2、解析： （1）因为 1 211 2 333 nn n a 21 1 33 11 1 123 1 3 n n n S 1 1 213 22 1 22 3 n n n n n S b a （2）若 n bn，则22 nn Snan 11 212 nn Sna 111 21212 nnnnn anananana 1 122 nn nana 两式相减可得：2n时， 1111 1122111 nnnnnnn nanananananana 11 2 nnn aaa n a为等差数列
31、11 22Sa可得： 1 2a ，因为 2 3a 1d 1 n an （3）由（2）得 1 n n c n ， 对于给定的 * nN，若存在 * , ,k tn k tN，使得 nkt ccc， 只需 111nkt nkt ， 即 111 1(1) (1) nkt ，即 1111 nktkt ，则 (1)n k t kn ， 12 分 取1kn，则(2)tn n， 对数列 n c中的任意一项 1 n n c n ，都存在 1 2 1 n n c n 和 2 2 22 21 2 nn nn c nn 使得 2 1 2 nn nn ccc 3、解析： （1）设 13521 , k a a aa 的
32、公差为d，设 2462 , k a a aa的公比为q 42319 2 ,1,14aa qq aadd ad 由 5454123 93411 22 342 Saaaaaad aaaqadadq 11 22211 2 3,121 kk kk aa qaandk 1 2 ,21 2 3,2 n n n nk a nk （2）若2mk kN ，则 22122kkk a aa ，即 1 2 3212 3 kk k 解得：2131kk ，即2m 若21mkkN ，即 21221kkk aaa 11 2 212 3212 31 21 kk kk k 因为 1 2 3k为正整数 2 21k 为正整数 21
33、11kk 代入可知1k 不符 1 2 2 31 21 k k ，故舍去 综上所述：2m （3）若 2 21 m m S S 为 n a中的一项，则 2 21 m m S S 为正整数 2113212422mmm Saaaaaa 1 12 2 31 121 31 23 1 m m mm m 2 121 2212 1212 2121 21 312 31 33 3131 mm mmm mm mm m SSam SSmm 故若 2 21 m m S S 为 n a中的某一项只能为 123 ,a a a 若 2 12 21 31 31 m m m 无解 若 2 12 21 32 31 m m m ，即
34、12 310 m m ，可知2m是方程的根 当3m时，设 12 31 x f xx 1 3ln32 x fxx 2 1 3ln320 x fx fx在3,单调递增 39ln360fxf f x在3,单调递增 20f xf 3m时， 12 310 m m 无解，即2m是方程唯一解 若 2 12 21 33 31 m m m ，则 2 11mm 综上所述：1m 或2m 4、解析： （1） 1 22 11 n nnnn n nn a baba b aa 2 2 nnn n a ba b 1 4 2 2 2 2 1 nn n n n bb b b b 1 1211 22 n nnn b bbb ，即
35、1 111 2 nn bb 1 n b 是公差为 1 2 的等差数列 1 111 1 2 n n bb 1 1 22 3 b a 1312 1 222 n n n b 即 2 2 n b n （2）由（1）及 2 n n a b 可得：2 n an 21 n cn 当1p 时， 1 1,21,21 pqr cccqcr 111 , pqr ccc 成等差数列 211 qpr ccc 即 21 1 2121qr pqr 2 ,3qr 21 1,11 2121qr 21 1 2121qr 不成立 当2p 时， 111 , pqr ccc 成等差数列，同理可得： 211 212121qpr 121421 21212121 21 pq rqppq 21 2122 21 421421 pqpqpq rr pqpq 设21qp，此时 2 452rpp 2p 2 2 21,4734110qpp rqpppp 21qp， 2 452rpp符合题意 综上所述：1p 时，不存在满足条件的, q r 2p 时，存在21qp， 2 452rpp
