高中数学讲义微专题62点线面位置关系.doc

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1、 微专题 62 点线面位置关系的判定 一、基础知识 (一)直线与直线位置关系: 1、线线平行的判定 (1)平行公理:空间中平行于同一直线的两条直线平行 (2)线面平行性质:如果一条直线与平面平行,则过这条直线的平面与已知平面的交线交线和该 直线平行 (3)面面平行性质: 2、线线垂直的判定 (1)两条平行直线,如果其中一条与某直线垂直,则另一条直线也与这条直线垂直 直线与平面位置关系: (2)线面垂直的性质:如果一条直线与平面垂直,则该直线与平面上的所有直线均垂直 (二)直线与平面的位置关系 1、线面平行判定定理: (1)若平面外的一条直线平面外的一条直线l与平面上的一条直线平行,则l (2)

2、若两个平面平行,则一个平面上的任一直线与另一平面平行 2、线面垂直的判定: (1)若直线l与平面上的两条相交相交直线垂直,则l (2)两条平行线中若其中一条与平面垂直,则另一条直线也与该平面垂直 (3)如果两个平面垂直,则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直 (三)平面与平面的位置关系 1、平面与平面平行的判定: (1)如果一个平面上的两条相交相交直线均与另一个平面平行,则两个平面平行 (2)平行于同一个平面的两个平面平行 2、平面与平面垂直的判定 如果一条直线与一个平面垂直,则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直 (四)利用空间向量判断线面位置关系 1、刻画直线,平面位置的向量:直线:方

3、向向量 平面:法向量 2、向量关系与线面关系的转化: 设直线, a b对应的法向量为, a b,平面, 对应的法向量为,m n(其中, a b在, 外) (1)abab (2)abab (3)aam (4)aam (5)mn (6)mn 3、有关向量关系的结论 (1)若,ab bc,则ac 平行+平行平行 (2)若,ab bc,则ac 平行+垂直垂直 (3)若,ab bc,则, a c的位置关系不定。 4、如何用向量判断位置关系命题真假 (1)条件中的线面关系翻译成向量关系 (2)确定由条件能否得到结论 (3)将结论翻译成线面关系,即可判断命题的真假 二、典型例题: 例 1:已知, 是两个不同

4、的平面,,m n是两条不同的直线,现给出下列命题: 若,mnmn,则; 若,m,则m; 若,mm,则; 若,mn m,则n 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 思路:为面面平行的判定,要求一个平面上两条相交直线,而中,m n不一定相交。所以 无法判定面面平行;为面面垂直的性质,要求一个平面上垂直交线的直线,才与另一平面 垂直。 而中m不一定与交线垂直。 所以不成立; 可用向量判定, 设, 对应法向量为,m n, 直线m方向向量为a,则条件转换为:,am an,可推得mn,即,正确; 为线面平行判定,要求n在外,所以错误;综上只有 1 个命题正确 答案:B 例 2:已知, ,m

5、n l是不同的直线,, 是不同的平面,以下命题正确的是( ) 若mn,,mn,则; 若,mn,lm,则ln; 若,mn ,则mn; 若,m,n,则mn; A B C D 思路:题目中涉及平行垂直较多,所以考虑利用正方体(举反例)或向量判断各个命题 两平面各选一条直线,两直线平行不能判断出两个平面平 行,例如在正方体中在平面ABCD和平面 11 CC DD中,虽然 11 ABC D,但两个平面不平行,所以错误 例如:平面ABCD平面 1111 ABC D,BDAC,但BD 与 11 AB不垂直,所以错误 考虑利用向量帮助解决:,mmnn ,所以可以推 断mn,所以可得mn 考虑利用向量解决:,m

6、mnn,由垂直关系不 能推出mn,所以错误 答案:D A A1 1 B B1 1 A A B B C C D D C C1 1 D D1 1 例 3:对于直线,m n和平面, ,的一个充分条件为( ) A. ,mnmn B. ,mn mn C. ,mn mn D. ,mn mn 思路: 求的充分条件, 即从 A,B,C,D 中选出能判定 的条件,A 选项:例如正方体中的平面ABCD和平面 11 CDDC 可知虽然AB平面 11 CDDC, 11 C D平面ABCD,但这两个 平面不平行。B 选项:也可利用 A 选项的例子说明无法推出 , C选 项 可 用 向 量 模 型 进 行 分 析 : ,

7、mnm n mmnn,所以可得:,即;D 选项可利 用 A 选项的例子: 1 ,mBC nCC,可知,mn m平面 11 CDDC,n 平面ABCD,但 这两个平面不平行,综上所述,只有 C 为的一个充分条件 答案:C 例 4:给定下列四个命题: 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; 若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; 垂直于同一直线的两条直线相互平行; 若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中,为真命题的是( ) A和 B和 C和 D和 思路:分别判断四个命题: 必须是一个平面内两条“相交”直线与另一

8、个平面平行,才可 判定两平面平行,所以错误; 该命题为面面垂直的判定,正确; 空间中垂直同一条 直线的两条直线不一定平行,例如正方体中交于一点的三条棱; 可用反证法确定,假设该 直线与另一平面垂直,则必然垂直该平面上所有的直线,包括两平面的交线。所以与条件矛 盾。假设不成立。综上所述,正确的命题是和 答案:D A A1 1 B B1 1 A A B B C C D D C C1 1 D D1 1 例 5:已知m,n表示两条不同直线,表示平面,下列说法中正确的是( ) A若m,n,则mn B若m,n则mn C若m,mn,则n D若m,mn,则n 思路:A 选项若直线与平面垂直,则直线与这个平面上

9、的所有直线均垂直,所以 A 正确 B 选项可用向量判断,mm,nn,由m,n无法判断出 ,m n的关系,所以不能推出mn;C 选项并没有说明直线n是否在平面上,所以结论不 正确;D 选项也可用向量判断,mm,mnmn,同理由,mmn 无法判断, n的情况,所以无法推断出n,综上所述:A 正确 答案:A 例 6:给出下列命题,其中正确的两个命题是( ) 直线上有两点到平面的距离相等,则此直线与平面平行。夹在两个平行平面间的两条异 面线段的中点连线平行于这两个平面; 直线m 平面,直线nm,则n;, a b 是异面直线,则存在唯一的平面,使它与, a b都平行且与, a b距离相等 A. B. C

10、. D. 答案:D 思路: 到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧,如果是同侧,则两点所在直线 与平面平行,如果异侧,则直线与平面相交,且交点为这两点的中点。正确,证明如下: 如图, 平面, , ,A CB D, 且,E F分别为,AB CD的中点, 过C作CGAB交 于G,连接,BG GD,设H是CG的中点 ,EHBG HFGD ,EHHF 平面EHF ,EFEF 命题中没有说明直线n是否在上,所以不正确;正确,设AB为异面直线, a b的公垂 线段,E为AB中点, 过E作, a b的平行线 ,a b, 从而由 ,a b确定的平面与, a b平行且与, a b 的距离相等。所以该平面即

11、为所求。 答案:D 例 7:下列命题正确的个数是( ) 若直线l上有无数个点不在平面内,则l 若直线l,则与平面内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 若直线l,则与平面内的任意一条直线都没有公共点 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 思路: “无数个点”只是强调数量多,并不等同于“任意点” ,即使直线与平面相交,直 线上也有无数个点不在平面内。所以不正确; 若l,说明l与没有公共点,所以l 与上任意一条直线m都没有公共点,但即使, l m无公共点,, l m的位置关系不只是有平行, 还有可能异面, 所以不正确; 线面平行的前提是直线在平

12、面外, 而命题中没有说明 “另 一条”直线是否在平面上,所以不正确;命题可由得知,l与上任意一条直线m都 没有公共点,命题正确,综上所述,正确的有 1 个 答案:B 例 8:直线, a b为两异面直线,下列结论正确的是( ) A. 过不在, a b上的任何一点,可作一个平面与, a b都平行 B. 过不在, a b上的任何一点,可作一个直线与, a b都相交 C. 过不在, a b上的任何一点,可作一个直线与, a b都平行 D. 过a有且只有一个平面与b平行 思路:A 选项中,如果P点与a确定的平面与b平行,则此平面只和b平行,a在此平面上, 所以这样的P是无法作出符合条件的平面;B 选项由

13、 A 所构造出的平面可得,若过P的直线l 与a相交,则l也在该平面上,所以l与b无公共点;若过P的直线l与b相交,则无法与a相 交, 综上所述对于这样的P点无法作出符合条件的直线; C 选项如果过P的直线与, a b均平行, 则由平行公理可知ab,与已知条件矛盾,所以 C 错误;D 选项,如果, a b异面,则过a只 能做出一个平面与b平行。在a上取,A B两点分别作b的平行线, c d,则, c d所唯一确定的 平面和b平行,且a在此平面上。所以 D 正确 答案:D 例 9:设, l m是两条异面直线,P是空间任意一点,则下列命题正确的是( ) A. 过P点必存在平面与两异面直线, l m都

14、垂直 B. 过P点必存在平面与两异面直线, l m都平行 C. 过P点必存在直线与两异面直线, l m都垂直 D. 过P点必存在直线与两异面直线, l m都平行 思路:A 选项,若平面与, l m均垂直,则推得lm,与, l m异面矛盾;B 选项如果P点位于 某条直线上,则平面无法与该直线平行;C 选项中直线的垂直包括异面垂直,所以可以讲, l m 平移至共面,过P的直线只需与这个平面线面垂直,即和, l m都垂直,所以 C 正确;D 选项如 果直线与, l m均平行,则由平行公理可得lm,与, l m异面矛盾。所以 C 正确 答案:C 例 10:设, ,l m n是不同的直线,, 是不重合的

15、平面,则下列命题不正确的是( ) A. 若mn,m,n在外,则n B. 若,l ,则l C. 若, lm ,则lm D. 若,ACBDABCD,且ABCD,则 思路:A 选项可通过向量来判断:,mnmn mm,由此可得:n,因 为n在外,所以可判定n,A 正确;B 选项设,mn,则上所有点的 投影落在m中,上所有点的投影落在n中, 因为l, 所以l上所有点的投影均在,m n 的交点上,即l,所以 B 正确;C 选项符合面面平行的性质,即两个平面平行,第三个平 面与这两个平面相交,则交线平行,所以 C 正确;D 选项中若 A,C 位于同侧,则命题成立; 但如果位于两侧,则满足条件的与相交。故不正

16、确 答案:D 三、历年好题精选 1、 (2016,山东胶州高三期末)设, 为不同的平面,, ,m n l为不同的直线,则m的 一个充分条件为( ) A. , l ml B. ,m C. ,m D. ,nnm 2、给出下面四个命题: “直线a直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面” ; “直线l平面 内所有直线”的充要条件是“l平面” ; “直线a,b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a,b不相交” ; “平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等” 其中正确命题的序号是( ) A B C D 3 、( 2016 , 大 连 二 十 中 期 中 考 试 ) 已 知 三 个

17、互 不 重 合 的 平 面, , 且 ,abc,给出下列命题( ) 若,ab ac,则bc 若abP,则acP 若,ab ac,则 若ab,则ac 其中正确命题的个数为( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4、 (江西中南五校联考)已知,m n是两条不同 的直线,, 是三个不同 的平面,则下列命 题中正确的是( ) A. 若,/ / 则 B. 若/ / ,/ /mn mn则 C. 若/ / , / /mn mn则 D. 若/ / ,/ / ,/ /mn mn则 5、 (2016,宁波高三期末)已知平面与平面交于直线l,且直线a,直线b,则下 列命题错误 的是 ( )

18、A若,ab,且b与l不垂直,则al B若,bl,则ab C若ab,bl,且a与l不平行,则 D若al,bl,则 6、 (2016,上海闸北 12 月月考)已知,m n是两条不同直线,, 是两个不同平面,给出下列 四个命题: 若, 垂直于同一平面,则与平行 若,m n平行于同一平面,则m与n平行 若, 不平行,则在内不存在与平行的直线 若,m n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面 其中真命题的个数为( ) A4 B3 C2 D1 7、设, a b为两条直线,, 为两个平面,则下列四个命题中,正确的命题是( ) A. 若,abab,则 B. a,b,则ab C. 若a,b,ab,则 D. 若a,

19、 ,则a 8、 (2015,广东文)若直线 12 ,l l是异面直线, 1 l在平面内, 2 l在平面内,l是平面与 平面的交线,则下列命题正确的是( ) A. l至少与 12 ,l l中的一条相交 B. l与 12 ,l l都相交 C. l至多与 12 ,l l中的一条相交 D. l与 12 ,l l都不相交 9、 (2014,辽宁)已知 ,m n表示两条不同的直线,表示平面,下列说法正确的是( ) A. 若m,n,则mn B. 若,mn,则mn C. 若,mmn,则n D. 若m,mn,则n 习题答案:习题答案: 1、答案:D 解析:A 选项若m不在上,则无法判定m;B 选项:若,则m,所

20、以无法 判定;C 选项,如果, 来两两垂直,则无法判定m;D 选项,如果,nn, 则,再由m可判定m 2、答案:D 解析: 若a平行于b所在的平面,则, a b的关系为平行或异面,所以不是充要条件; 由线面垂直定义可知:直线l平面当且仅当直线l平面 内所有直线,所以正确; 中若直线, a b不相交,则可能平行。所以不能得到“直线a,b为异面直线” ,错误; 若平面平面, 则内所有点到的距离相等, 当内存在不共线三点到的距离相等, 则两平面可能相交,这三点位于的两侧。所以“内存在不共线三点到的距离相等”是 “平面平面”的必要不充分条件 3、答案:C 解析:当三个平面两两相交,交线平行或交于一点,

21、所以若abP,则三条交线交于一点, 即acP,若ab,则三条交线平行,ac,所以正确;当三条交线交于一点时, ,ab ac,则, b c夹角不确定,所以错误;若,ab ac,因为, b c均在上,所以可 知a,综上所述,正确 4、答案:C 解析:A 选项:垂直同一平面的两个平面可以平行,也可以相交,所以 A 错误 B 选项:在正方体中,右侧面的棱与底面上的棱平行,但是这两个面不平行,所以 B 错误 C 选项:将条件转化为向量:,mn mn,可推出,即,C 正确 D 选项:若直线n上,也满足题目条件,但, n不平行 5 5、答案:D 解析:A 选项:可知a在上的投影为l,若a与l不垂直,且b与l

22、不垂直,则由三垂线定理 可推得, a b不垂直,与已知矛盾,所以 A 正确 B 选项:由,bl 可得b ,所以b a C 选项: 由, ,ab bl a l不平行可知b, 因为b, 由面面垂直判定定理可得 D 选项:两个平面上的直线与交线垂直并不能判定两个平面垂直,故 D 错误 6、答案:D 解析: 正方形的三个侧面两两垂直,所以垂直于同一平面的两平面不一定平行,错误 正方形上底面的直线均与下底面平行,但这些直线不一定平行,错误 正方形的下底面与侧面不平行,但是底面平行于交线的直线与侧面平行,错误 考虑其逆否命题为“若m与n垂直同一平面,则 ,m n平行”为真命题,所以原命题为真命 题,正确

23、综上所述,正确的只有 7、答案:A 解析:利用空间向量判断,, a b对应的方向向量记为, a b,, 对应的法向量记为, A:条件转化为,abab,所以 A 正确 B: 条件转化为,abab ,无法得到ab C: a,b,ab只能得到,aa,无法推出 D: 条件转化为:,a ,无法推出a 所以只有 A 正确 8、答案:A 解析:l至少与 12 ,l l中的一条相交,考虑反证法,若l与 12 ,l l都不相交,因为l与 12 ,l l分别共 面,所以 12 ,ll ll,则 12 ,l l平行,与已知矛盾。所以原命题成立 9、答案:B 解析:A 选项,平行于同一个平面的两条直线可以有各种位置关系,A 错误 B 选项,符合线面垂直的定义,即若直线与平面垂直,则与该平面上任意一条直线均垂直,所 以 B 正确 C 选项,直线n可以在平面上,所以不正确 D 选项,正方形上底面的相互垂直的两条棱均与底面平行,所以不正确 综上所述:B 正确

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