1、 微专题 69 直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点） ，相切（一个公共点） ，相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线ykxm和椭圆： 22 22 10 xy ab ab 为例 （1）联立直线与椭圆方程： 222222 ykxm b xa ya b （2）确定主变量x（或y）并通过直线方程消去另一变量y（或x） ，代入椭圆方程得到关 于主变量的一元二次方程： 2 22222 b xakxma b，整理可得： 222222222 20a kbxa kxma ma b （3）通
2、过计算判别式的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 0 方程有两个不同实根直线与椭圆相交 0 方程有两个相同实根直线与椭圆相切 0方程没有实根直线与椭圆相离 3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交 （二）直线与双曲线位置关系 1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离 2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定 以直线ykxm和椭圆： 22 22 10 xy ab ab 为例： （1）联立直线与双曲线方程： 222222 ykxm b xa ya b ，消元代入后可得： 222222222 20ba kxa kxma ma b （2）与
3、椭圆不同，在椭圆中，因为 222 0a kb，所以消元后的方程一定是二次方程，但双 曲线中，消元后的方程二次项系数为 222 ba k，有可能为零。所以要分情况进行讨论 当 222 0 b ba kk a 且0m时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲线 相交，只有一个公共点 当 222 0 bb ba kk aa 时，常数项为 2222 0a ma b，所以0 恒成立，此 时直线与双曲线相交 当 222 0 b ba kk a 或 b k a 时，直线与双曲线的公共点个数需要用判断： 0 方程有两个不同实根直线与双曲线相交 0 方程有两个相同实根直线与双曲线相切 0方程没有实根直线与双
4、曲线相离 注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与 双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相 同的根，则为相切 （3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为 ,aa ， 所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当xa时，点位于双曲线的右支；当 xa时，点位于双曲线的左支。对于方程： 222222222 20ba kxa kxma ma b，设两个根为 12 ,x x 当 222 0 bb ba kk aa 时，则 2222 12 222 0 a ma b x x ba k ，所以 12 ,
5、x x异号，即交 点分别位于双曲线的左，右支 当 222 0 b ba kk a 或 b k a ， 且0 时， 2222 12 222 0 a ma b x x ba k ， 所以 12 ,x x 同号，即交点位于同一支上 （4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线 的斜率相关， 其分界点 b a 刚好与双曲线的渐近线斜率相同。 所以可通过数形结合得到位置关 系的判定 b k a 且0m时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中 与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点 bb k aa 时，直线的斜率介于两
6、条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线， 直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。 222 0 b ba kk a 或 b k a 时，此时直线比渐近线“更陡” ，通过平移观察可得： 直线不一定与双曲线有公共点（与的符号对应） ，可能相离，相切，相交，如果相交则交点 位于双曲线同一支上。 （三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离 1、位置关系的判定：以直线ykxm和抛物线： 2 20ypx p为例 联立方程： 2 2 2 2 ykxm kxmpx ypx ，整理后可得： 222 220k xkmp xm （1）当0k 时，此时方程为关于x的一次方程，所以有一
7、个实根。此时直线为水平线，与 抛物线相交 （2）当0k 时，则方程为关于x的二次方程，可通过判别式进行判定 0 方程有两个不同实根直线与抛物线相交 0 方程有两个相同实根直线与抛物线相切 0方程没有实根直线与抛物线相离 2、焦点弦问题：设抛物线方程： 2 2ypx， 过焦点的直线: 2 p lykx （斜率存在且0k ） ，对应倾斜角为，与抛物线交于 1122 ,A x yB x y 联立方程： 2 2 2 2 2 2 2 ypx p kxpx p yk x ，整理可得： 22 222 20 4 k p k xk pp x （1） 2 12 4 p xx 2 12 y yp （2） 22 12
8、 222 2221 21 k ppk pp ABxxppp kkk 2 222 1cos2 2121 tansinsin p pp （3） 2 2 1112 sinsin 222 2sin2sin AOBO l ppp SdABOFAB （四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式： 1、直线与圆锥曲线问题的特点： （1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉） ， （2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设 1122 ,A x yB x y，至于,A B坐标是否需要 解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂 （3）通过联立方程消元，可得到关于x（或y）的二次方程，如果所
9、求的问题与两根的和或 乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出 1212 ,x x y y（所谓“设而不求” ） （4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简 化运算的过程 这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点 1122 ,A x yB x y为 两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（ 121 21212 ,xx x x yy y y，坚持数形结合，坚持 整体代入。直至解决解析几何问题“ 2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使 用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常
10、含有参数，进而导致直接利用求 根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是 步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结 果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入 的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对 更复杂的运算） ，或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。 3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式： （1）斜截式：ykxm，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去y则此形式比较好用， 且斜率在直线方程中能够体现，在用
11、斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符 合条件 （2）xmyb，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方程 后消去x时使用，多用于抛物线 2 2ypx（消元后的二次方程形式简单） 。此直线不能直接体 现斜率，当0m时，斜率 1 k m 4、 弦长公式： （已知直线上的两点距离） 设直线: l ykxm，l上两点 1122 ,A x yB x y， 所以 2 12 1ABkxx或 2 12 1 1AByy k （1）证明：因为 1122 ,A x yB x y在直线l上，所以 11 22 ykxm ykxm 22 1212 ABxxyy，代入 11 22 ykxm
12、 ykxm 可得： 22 22 12121212 ABxxkxmkxmxxk xx 2 22 1212 11kxxkxx 同理可证得 2 12 1 1AByy k （2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果,A B为直线与曲线的交点（即AB为 曲线上的弦） ，则 12 xx（或 12 yy）可进行变形： 22 1212121 2 4xxxxxxx x，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。 5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方程 22 22 10 xy ab ab 为例，设直线ykxm与椭圆交于 1122 ,A x yB x y两点，则该 两点
13、满足椭圆方程，有： 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab 考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系： 2222 1212 22 11 0xxyy ab 12121212 22 11 0xxxxyyyy ab 1212 1212 22 11 0 22 xxyy xxyy ab 由等式可知：其中直线AB的斜率 12 12 yy k xx ，AB中点的坐标为 1212 , 22 xxyy ， 这些要素均在式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线AB的斜率与AB中点的 联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由可得在涉及,A
14、B坐标的平方差问题中 也可使用点差法。 二、典型例题 例 1：不论k为何值，直线1ykx与椭圆 22 1 7 xy m 有公共点，则实数m的取值范围是 （ ） A. 0,1 B. 1, C. 1,77, D. 0,7 思路一：可通过联立方程，消去变量（如消去y） ，得到关于x的二次方程，因为直线与椭圆 有公共点，所以0 在xR恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，解出m即可 解： 2 2 22 1 717 77 ykx mxkxm mxym ，整理可得： 22 714770mkxkxm 2 2 1447770kmkm 即 22 17071mkmk 2 max 711mk 7m 1, 77 ,m
15、思路二：从所给含参直线1ykx入手可知直线过定点0,1，所以若过定点的直线均与椭 圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入0,1后 22 1 7 xy m ，即 2 1 11m m ，因为是椭圆，所以7m，故m的取值范围是1,77, 答案：C 小炼有话说： （1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆位 置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的 特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决 问题。在思路二中，从含参直线能发现定点是关键 （2）本题还要注意细节，椭圆方程中 22 ,xy的
16、系数不同，所以7m 例 2：已知双曲线 22 1 124 xy 的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个 交点，则此直线斜率的取值范围是（ ） A. 33 , 33 B. 3, 3 C. 33 , 33 D. 3, 3 思路：由 22 1 124 xy 可得渐近线方程为： 3 3 yx ，若过右焦点的直线与右支只有一个交 点，则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即 333 333 kk 答案：C 小炼有话说：本题是利用“基础知识”的结论直接得到的答案，代数的推理如下： 由 22 1 124 xy 可知4,0F，设直线:4l yk x，联立方程可得： 22 2 22
17、312 3412 4 xy xkx yk x ，整理后可得： 2222 132448120kxk xk 当 2 3 130 3 kk 时， 7 8280 2 xx，即位于双曲线右支，符合题意 当 2 130k时， 2 2222 244 1348124810kkkk 直线与双曲线必有两个交点，设为 1122 ,x yx y 因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点 12 0x x ，即 2 2 4812 0 13 k k 2 33 310 33 kk 综上所述： 33 33 k 例 3：已知抛物线C的方程为 2 1 2 xy，过点0, 1A和点,3B t的直线与抛物线C没有公 共点，则实数t的取值
18、范围是（ ） A. , 11, B. 22 , 22 C. , 2 22 2, D. ,22, 思路：由,A B两点可确定直线AB的方程（含t） ，再通过与抛物线方程联立，利用0 即 可得到关于t的不等式，从而解得t的范围 解：若0t ，则直线:0AB x 与抛物线有公共点，不符题意 若0t ，则 4 AB k t 4 :1AB yx t ，与椭圆联立方程： 2 2 1 21 2 42 1 xy xx t yx t 2 240txxt 直线与抛物线无公共点 2 16802tt 或2t 答案：D 例 4：过双曲线 2 2 1 2 y x 的右焦点F作直线l交双曲线于,A B两点，若实数使得 AB
19、的直线恰有 3 条，则_ 思路：由双曲线方程可知 3,0F，当l斜率不存在时，可知AB为通径，计算可得： 4AB ，当l斜率存在时，设直线 :3l yk x，与椭圆方程联立，利用弦长公式可得 2 2 4 1 2 k AB k 为 关 于k的 表 达 式 ， 即 2 2 4 1 2 k k 。 可 解 得 ： 2 24 4 k 或 2 24 4 k 。若 24 0 4 或 24 0 4 ，即2 时，可得0k ，仅有一解，不符题 意。若 24 0 4 且 24 0 4 ，则每个方程只能无解或两解。所以可知当4时，方程 有两解，再结合斜率不存在的情况，共有 3 解。符合题意，所以4 解：由双曲线 2
20、 2 1 2 y x 可得1,2,3abc 3,0F， 当AB斜率不存在时，l的方程为3x AB为通径，即 2 2 4 b AB a 若直线l斜率存在，不妨设为k 则设 :3l yk x， 1122 ,A x yB x y 联立直线与椭圆方程： 22 22 3 xy yk x 消去y可得： 2 22 232xkx，整理可得： 2222 22 3320kxk xk 2 2222 2 34 2321616kkkk 2 22 12 22 4 1 11 22 k ABkxxk kk 可得： 2 24 4 k 或 2 24 4 k 当 24 0 4 时，即2，则方程的解为0k ，只有一解，不符题意 同理
21、，当 24 0 4 ，即2 ，则方程的解为0k ，只有一解，不符题意 当 24 0 4 且 24 0 4 时，则每个方程的解为 0 个或两个，总和无法达到 3 个，不符题 意 所以若AB的直线恰有 3 条，只能4，方程解得： 2 2 k 满足条件的直线AB的方程为：3x ， 2 3 2 yx， 2 3 2 yx 答案：4 例 5：已知椭圆 22 1 43 xy ，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线4yxm对称，则m 的取值范围是（ ） A. 1313 1313 m B. 2 132 13 1313 m C. 1313 1313 m D. 2 132 13 1313 m 思路：设椭圆上两点 11
22、22 ,A x yB x y，中点坐标为 00 ,x y，则有 012 012 2 2 xxx yyy ，由中 点问题想到点差法，则有 22 112222 1212 22 22 3412 340 3412 xy xxyy xy ，变形可得： 12121212 340xxxxyyyy 由对称关系和对称轴方程可得，直线AB 的斜率 12 12 1 4 yy k xx ，所以方程转化为： 0000 1 6803 4 xyyx ，由对称 性可知AB中点 00 ,x y在对称轴上，所以有 00 4yxm，所以解得： 0 0 3 xm ym ，依题 意 可 得 ： 点 00 ,x y必 在 椭 圆 内 ，
23、 所 以 有 22 00 3412xy， 代 入 可 得 ： 22 34312mm ，解得： 2 132 13 1313 m 答案：D 例 6：过点2,0M 的直线m与椭圆 2 2 1 2 x y交于 12 ,P P两点，线段 1 2 PP的中点为P，设 直线m的斜率为 11 0k k ，直线OP的斜率为 2 k，则 1 2 k k的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2 思路一：已知m与椭圆交于 12 ,P P两个基本点，从而设 111222 ,P xyPxy，可知 1212 , 22 xxyy P ，即 12 2 12 yy k xx ，从结构上可联想到韦达定理，设 1
24、 :2m ykx， 联 立 椭 圆 方 程 ： 2 2 2222 111 1 1 2188202 2 x y kxk xk ykx ， 可 得 ： 2 1 12 2 1 8 21 k xx k ， 所 以 1 121121 2 1 4 4 21 k yykxxk k ， 则 2 1 1 2 k k ， 即 12 1 2 k k 思路二：线段 12 PP为椭圆的弦，且问题围绕着弦中点P展开，在圆锥曲线中处理弦中点问题 可用“点差法” ，设 111222 ,P x yP x y，则有 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 x y x y ，两式作差，可得： 2222 1212121212
25、12 11 00 22 xxyyxxxxyyyy，发现等式中 出现与中点和 12 PP斜率相关的要素，其中 1212 , 22 xxyy P ，所以 12 2 12 yy k xx ，且 12 1 12 yy k xx ，所以等式化为 1212 1212 1 0 2 yyyy xxxx 即 12 1 0 2 k k，所以 12 1 2 k k 答案：D 小炼有话说：两类问题适用于点差法，都是围绕着点差后式子出现平方差的特点。 （1）涉及弦中点的问题，此时点差之后利用平方差进行因式分解可得到中点坐标与直线斜率 的联系 （2）涉及到运用两点对应坐标平方差的条件，也可使用点差法 例 7：已知点1,2
26、A在抛物线 2 :4C yx上，过点A作两条直线分别交抛物线于点,D E， 直线,AD AE的斜率分别为, ADAE kk，若直线DE过点1, 2P ，则 ADAE kk（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 思路：设 1122 ,D x yE x y，进而所求 1212 1212 24 1 ADAE y yyy kk x xxx ，所以可从直线 DE入手，设直线:21DE yk x，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可化简 2 ADAE kk 解：设 1122 ,D x yE x y 12 12 22 , 11 ADAE yy kk xx 1212 12 121212 2422 111
27、 ADAE y yyyyy kk xxx xxx 设1, 2P ，则:21DE yk x 联立方程： 2 4 21 yx yk x ，消去x可得： 2 4480kyyk 1212 448 , k yyy y kk 2 12 12 2 42442yykkk xx kk 2 2 12 12 2 44 16 y ykk x x k 代入可得： 22 22 484 24 2 44442 1 ADAE k kk kk kkkk kk 答案：C 例 8：已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于,M N两点，且 2MFNF，则直线l的斜率为（ ） A. 2 B. 2 2 C. 2 2
28、 D. 2 4 思路一：从点的坐标出发，因为,M F N三点共线，从而2MFNF可转化为 2MFNF ， 考 虑 将 向 量 坐 标 化 ，1,0F， 设 1122 ,MxyNxy， 有 1122 1,1,M FxyN Fxy，所以 12 2yy ，设直线:1l xmy，联立抛物线 方程消元后可得： 2 440ymy， 利用韦达定理可得： 12 12 4 4 yym y y ， 再结合 12 2yy ， 消去 12 ,y y即可得 2 4 m ，直线 2 :1 4 l xy ，即可得到斜率为2 2 思路二： 从所给线段关系2MFNF恰好为焦半径出发， 联系抛物线的定义， 可考虑,M N 向准线
29、引垂线，垂足分别为,P Q，便可得到直角梯形PMNQ，由抛物线定义可知： ,MPMFNQNF，将所求斜率转化为直线的倾斜角，即为PMF。不妨设M在第 一象限。考虑将角放入直角三角形，从而可过N作NTMP于T，则tan TN NMT TM ， 因 为2M FN F而TMPMPTPMQNMFNFNF， 且 3M NM FN FN F，利用勾股定理可得： 22 2 2TNMNMTNF， 从而tan2 2 TN NMT TM ，即2 2k ，当M在第四象限时，同理，可得2 2k 综上所述：2 2k 答案：B 例 9： 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆 2 2 1 2 x y的左、 右焦点分别为
30、 12 ,F F， 设,A B 是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线 1 AF与直线 2 BF平行， 2 AF与 1 BF交于点P， 12 2 3 3 AFBF，则直线 1 AF的斜率是（ ） A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 1 思路：先设出直线 12 :1,:1AFxmyBFxmy，只需一个等量条件即可求出m，进而 求出斜率。考虑与椭圆联立方程，分别解出,A B的纵坐标，然后利用弦长公式即可用m表示 12 ,AF BF： 2222 12 22 211211 , 22 mm mmm m AFBF mm ， 可将已知等 式转化为关于m的方程，从而解出1m ，所以斜率为 1 1 m 解：由椭
31、圆方程可得： 1 1,0F ， 2 1,0F 设 12 :1,:1AFxmyBFxmy， 1122 ,A x yB x y，依图可知： 12 0,0yy 联立 1 AF与椭圆方程可得： 22 2 2 21 121 1 xy myy xmy ，整理可得： 22 2210mymy 22 22 22 2121 222 mmmm y mm 2 1 2 21 2 mm y m 1 22 22 111 2 211 11 2 F mm m AFmyymy m 同理可得： 22 2 2 211 2 mm m BF m 2222 12 22 211211 2 32 3 3223 mm mmm m AFBF mm
32、 即 2 2 212 2 23 m m m ，解得：1m 直线 1 AF的斜率 1 1k m 答案：D 小炼有话说： （1）在运用弦长公式计算 12 ,AFBF时，抓住焦点的纵坐标为 0 的特点，使用 纵坐标计算线段长度更为简便，因此在直线的选择上，本题采用xmyb的形式以便于消 去x得到关于y的方程 （2）直线方程xmyb，当0m时，可知斜率k与m的关系为： 1 k m 例 10：过椭圆 22 1 43 xy 的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于, ,A B C D四点， 则 11 ABCD 的值为（ ） A. 1 8 B. 1 6 C. 1 D. 7 12 思路：首先先考虑特殊情况，
33、即AB斜率不存在。则AB为通径，3AB ；CD为长轴， 所以4CD ，从而 117 12ABCD 。再考虑一般情况，所求,AB CD为焦点弦，所以 考虑拆成两个焦半径的和，如设 1122 ,A x yB x y，则 12 2ABae xx，从而想到 联立直线与椭圆方程并使用韦达定理整体代入，同理CD也为焦半径。设AB的斜率为k， 则CD的斜率为 1 k ，所以,AB CD均可用k进行表示，再求出 11 ABCD 的值即可 解：若,AB CD分别与坐标轴平行，不妨设ABx轴， 则AB为椭圆的通径， 2 2b AB a 由 22 1 43 xy 可得：2,3,1abc 2 23 23 2 b AB
34、 a 因为CDAB CD为长轴长，即24CDa 117 12ABCD 当,AB CD斜率均存在时，设AB斜率为k，由CDAB可得CD斜率为 1 k 由椭圆方程可得：1,0F 设:1AB yk x， 1122 ,A x yB x y 联立方程可得： 22 1 3412 yk x xy 消去y可得： 2 22 34112xkx，整理后为： 2222 4384120kxk xk 2 12 2 8 43 k xx k 1212 2ABAFBFaexaexae xx 22 12 22 1181212 44 22 4343 kk xx kk 设 3344 ,C x yD x y， 1 :1CD yx k
35、，与椭圆联立方程： 22 1 1 3412 yx k xy ，则同理，求CD只需用 1 k 替换AB中的k即可 2 2 22 1 1212 1212 34 1 43 kk CD k k 222 222 114334777 12121212121212 kkk ABCDkkk 综上所述： 117 12ABCD 答案：D 小炼有话说： （1）本题的亮点在于处理CD，因为发现CD与AB的直线方程结构基本相同 （只有斜率不同） ，并且用的是相同的步骤（联立方程，消元，韦达定理，代入焦半径公式） ， 所以在解决CD的问题时就可参照AB的结果，进行对应字母的替换，即可得到答案。所以 在处理两条直线与同一曲线的问题时，可观察两直线处理过程的异同，进而简化运算步骤 （2）本题是选择题，通过题意可发现尽管过焦点相互垂直的直线有无数多对，但从选项中暗 示结果是个常数，所以就可以利用特殊情况（通径与长轴长）求出结果，从而选择正确的选 项
