1、 微专题 72 圆锥曲线中的面积问题 一、基础知识： 1、面积问题的解决策略： （1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能 用坐标直接进行表示的底（或高） 。 （2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形 如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形 2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异” ，寻找这些图形的底和高中是否存在“同 底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化 3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻 底找
2、高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单， 便于分析 4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质” ） （1） 椭圆： 设P为椭圆 22 22 10 xy ab ab 上一点， 且 12 FPF， 则 12 2 tan 2 PF F Sb （ 2 ） 双 曲 线 ： 设P为 椭 圆 22 22 1,0 xy a b ab 上 一 点 ， 且 12 FPF， 则 12 2 1 cot 2 PF F Sb 二、典型例题： 例 1：设 12 ,F F为椭圆 2 2 1 4 x y 的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q两点， 当四边形
3、 12 PFQF的面积最大时， 12 PF PF的值等于_ 思路：由椭圆中心对称的特性可知,P Q关于原点中心对称，所以 12 PFF与 12 QFF关于原点 对称，面积相等。且四边形 12 PFQF可拆成 12 PFF与 12 QFF的和，所以四边形 12 PFQF的面 积最大即 12 PFF面积最大， 因为 12 12 1 2 PF Fpp SFFyc y， 所以当 p y最大时， 12 PFF面 积最大。即P位于短轴顶点时， 12 PFF面积最大。由 2 2 1 4 x y 可知2,1,3abc，所 以 12 0,1 ,3,0 ,3,0PFF，进而计算出 12 PF PF的值为2 答案：
4、2 例 2：已知点P是椭圆 22 16251600xy上的一点，且在x轴上方， 12 ,F F分别为椭圆的左 右焦点，直线 2 PF的斜率为4 3，则 12 PFF的面积是（ ） A. 32 3 B. 24 3 C. 32 2 D. 24 2 思路：将椭圆化为标准方程为 22 1 10064 xy ，进而可得6c ，所以 12 6,0 ,6,0FF，计 算 12 PFF的面积可以以 12 FF为底， y P为高，所以考虑利用条件计算出P的纵坐标，设 ,P x y， 则 有 2 4 3 6 PF y k x ， 所 以 22 16251600 4 3 6 0 xy y x y 可 解 得4 3y
5、 或 64 3 19 y （舍去） ，所以 12 12 11 12 4 324 3 22 PF F SFFy 答案：B 例 3： 已知F为抛物线 2 yx的焦点， 点,A B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB， 则ABO与AFO面积之和的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 17 2 8 D. 10 思路： 由2OA OB入手可考虑将向量坐标化， 设 1122 ,A x yB x y， 则 1 21 2 2xxyy， 进而想到可用韦达定理。所以设AB与x轴交于,0M m直线:AB xtym。联立方程 2 2 0 yx ytym xtym ， 所 以 222 121212 0,y y
6、mx xy ym ， 所 以 由 1 212 2x xy y可得： 2 22mmm，所以 12 2y y ，不妨设A在x轴上方，如图 可 得 ： 12112 119 228 ABOAFO SSOMyyOFyyy， 由 12 2y y 可 知 2 1 2 y y ，消元后可得： 11 11 9292 23 88 ABOAFO SSyy yy ，等号成立当且仅当 1 4 3 y ，所以 ABOAFO SS的最小值为3 答案：B 例 4：抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上 方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AFK的面积是（ ） A. 4 B. 3 3
7、 C. 4 3 D. 8 思路：斜率为3可知直线的倾斜角为 3 ，从而可得 3 KAF ， 所 以 在 计 算 面 积 时 可 利 用 两 边 与 夹 角 ， 所 以 可 得 1 sin 23 AKF SAKAF ，由抛物线性质可得AKAF，所 以只需求得焦半径AF，即只需解出A点横坐标。利用几何关系可 得 1 2 A xOFFMOFAF，另一方面，由焦半径公式可 得：1 A AFx， 所以可得方程： 1 13 2 AAA xOFxx， 从而14 A AFx ， 所以 21 sin4 3 23 AKF SAF 答案：C 小炼有话说： （1）本题的解法是利用题目中的几何关系求解，绕过代数运算，而
8、突破点即为 直线的倾斜角 3 ，所以当题目中出现特殊角时，可以考虑蕴含其中的几何特点，从而使得运 算更为简单。 （2）本题的 A x也可通过联立方程，使用代数方法解决，方法步骤如下： 由抛物线方程可得：1,0F，设:31l yx，联立方程： 2 2 4 314 31 yx xx yx ，整理可得： 2 31030xx 3x 或 1 3 x 3 2 3 x y 或 1 3 2 3 3 x y （舍） 3 A x 例 5：以椭圆 22 1 95 xy 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左右焦点分别为 12 ,F F， 已 知 点M的 坐 标 为2,1， 双 曲 线C上 点 0000 ,0 ,0
9、Pxyxy满 足 11211 121 P FM FF FM F P FF F ，则 12 PMFPMF SS等于（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 1 思路：可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标， 22 1 95 xy 的顶点为 3,0 , 3,0，即 为 12 ,F F的坐标，椭圆的焦点为 2,0 , 2,0，所以双曲线中2,3ac，进而5b 观察 11211 121 PF MFF F MF PFF F 可联想到投影，即 1 MF在 1 PF的投影与 1 MF在 21 F F的投影相 等，由几何关系可得 1 FM为 12 PFF的角平分线。由 2 2,1 ,3,0MF可得 2 1
10、MF k ，即 2 F M平 分 21 PF F， 从 而M为 12 PFF的 内 心 ， 且 内 切 圆 半 径1 M ry。 从 而 12 1212 111 2 222 PMFPMF SSPFrPFrr PFPF 答案：A 例 6：已知点P为双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 右支上一点， 12 ,F F分别是双曲线的左右 焦点，且 2 12 b FF a ，I为三角形 12 PFF的内心，若 1212 IPFIPFIF F SSS成立，则的值 为（ ） A. 12 2 2 B. 2 31 C. 21 D. 21 思路：由三角形内心的性质可得I到三边的距离相等，所以 1212
11、,IPFIPFIFF的高均为r，从而 12121 212IPFIPFIFF SSSPFPFFF，即 12 12 FFc PFPFa ，所以只需利用 2 12 b FF a 确定, a c的关系即可。 解：I为三角形 12 PFF的内心 122 1 1221 111 , 222 IPFIPFIF F SPFr SPFr SF Fr 121 2 1212IPFIPFIF F SSSPFPFFF 1212 FFPFPF P在双曲线上，且 12 ,F F是焦点 1212 2 ,2PFPFa FFc c a 即为离心率 由 2 12 b FF a 可得： 2 22 22 b cacca a ，两边同时除
12、以 2 a得： 2 210ee ，解得 22 2 2 e 21e 即21 答案：C 例 7：已知点0, 2A，椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的离心率为 3 2 ，F是椭圆E的右 焦点，直线AF的斜率为 2 3 3 ，O为坐标原点 （1）求E的方程 （2）设过点A的动直线l与E相交于,P Q两点，当OPQ面积最大时，求l的方程 解： （1）设,0F c 223 3 AF k c 3c 3 2 c e a 2 2 3 c a 222 1bac 2 2 :1 4 x Ey 思路：首先设:2PQ ykx， 1122 ,P x yQ x y，由图像可得 1 2 OPQOPQ SdPQ ，
13、 考虑联立直线与椭圆方程并利用点到直线距离公式和弦长公式用k表示出, O PQ dPQ ，从而 OPQ S也可用k进行表示： 2 2 2 2 4 434 4 41 43 43 OPQ k S k k k ，再利用均值不等式 即可得到最大值。等号成立的条件 2 2 4 43 43 k k 即为k的值。 （注意直线与椭圆相交， 所以消元后的方程0 ） （2）设直线:2PQ ykx， 1122 ,P x yQ x y 联立方程可得： 2 2 22 2 424 44 ykx xkx xy ，整理后可得： 22 4116120kxkx ，因为方程有两个不等实根 2 2 1648 410kk 解得： 3
14、2 k 或 3 2 k 1 2 OPQOPQ SdPQ 2 2 1 OPQ d k 2 22 121212 114PQkxxkxxx x 由方程 22 4116120kxkx可得： 1212 22 1612 , 4141 k xxxx kk 代入PQ可得： 22 22 22 64484 43 11 4141 kk PQkk kk 22 2 222 2 2 124 434 434 1 43424141 1 43 OPQ kk Sk kkk k k 2 2 4 4 43 43 k k 由均值不等式可得： 22 22 44 432434 4343 kk kk 等号成立条件： 22 2 47 4343
15、4 2 43 kkk k 1 OPQ S此时 7 2 k l的方程为 7 2 2 yx或 7 2 2 yx 例 8：已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，过右焦点F的直线l与C相交于 ,A B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 2 2 （1）求椭圆C的方程 （2）若,P Q M N是椭圆C上的四点，已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且 0PF MF，求四边形PMQN面积的最小值 解： （1） 1 2 c e a ，设,0F c，则: l yxc 2 1 22 O l c dc 222 2,3abac 22 1 43 xy （2）由（1）可得：1,
16、0F，因为0PF MFPFMF 1 2 PMQN SMNPQ 设 1122 ,P x yQ x y，:1PQ yk x， 联立方程可得： 22 3412 1 xy yk x ，消去x可得： 2 22 34112xkx整理后可得： 2222 4384120kxk xk 2 2 22 12 22 121 144144 11 4343 k k PQkxxk kk 设 1 :1MN yx k ，以 1 k 替换中的k可得： 2 2 2 2 1 121 1212 4 34 3 kk MN k k 2 2 22 121 111212 224334 PMQN k k SMNPQ kk 2 42 2 42 2
17、 2 1 2 21 7272 1122512 1225 k kk k kk k k 设 2 2 1 uk k ，可得2,u 21 726 1 12251225 PMQN u S uu 2u 时， min 288 49 S 例 9：在平面直角坐标系xOy中，已知点1,1A ，P是动点，且三角形POA的三边所在直 线的斜率满足 OPOAPA kkk （1）求点P的轨迹方程 （2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且PQOA，直线OP与QA交于点M，问： 是否存在点P使得PQA和PAM的面积满足2 PQMPAM SS？若存在， 求出点P的坐标， 若不存在，请说明理由。 （1）思路：本题设点,P x y
18、，且,O A已知，直接利用条件列出等式化简即可 解：设,P x y，由1,1 ,0,0AO可得： 1 ,1, 1 OPOAPA yy kkk xx ，依题意 OPOAPA kkk可得： 1 1111 1 yy y xx xx y xx 整理后可得： 2 yx，其中0,1xx 所以P的轨迹方程为 2 0,1yxxx （2）思路：从图中可得PQA和PAM的高相同，从而面积的比值转化为对应底边的比， 即22 PQMPAM SSQAAM， 再 由P QO A可 得P QO A， 进 而 22QAAMOPOM， 由, ,O P M共线再转成向量关系则只需求出M的坐标即可解出 P的坐标 解：设 22 11
19、22 ,P x xQ x x PQOA PQ OA 1 PQOA kk ，即 22 21 21 21 11 xx xx xx 2 2 21 2 1 12 1 QA x kxx x 1 :121QA yxx 因为 1 :OP yx x 1 1 121 : yxx M yx x 可解得 1 2 M x 11 , 22 PQMP QMPAMP QM SQA dSAMd 且2 PQMPAM SS 2QAAM P QO A 22QAAMOPOM，即2OPOM 21 PM xx 1,1P 所以存在符合条件的1,1P 例 10：设抛物线 2 2yx的焦点为F，过点 3,0M的直线与抛物线相交于,A B两点，
20、与 抛物线的准线相交于,2C BF ，则BCF与ACF的面积之比 BCF ACF S S （ ） A. 4 5 B. 2 3 C. 4 7 D. 1 2 思路：由2BF 联想到焦半径公式，从而可解得 3 3 2 B x ，从而可判断出B在M的左 侧， 作出图像可发现两个三角形具备同 “高” 的特点 （即F到BC的距离） ， 所以 BCF ACF BCS SAC ， 若直接从,BCAC长度出发， 则运算量较大， 所以考虑将比值视为整体， 并进行线段的转移， 可过,A B分别引准线的垂线，从而将 B l A l BCd ACd ，只需联立直线抛物线方程求出A点横坐 标即可。 解：由 2 2yx可得
21、1p ，设 1122 ,A x yB x y 22 3 22 222 pp BFxx，设F到直线AB的距离为d 则 1 2 1 2 BCF ACF dBC BCS SAC dAC 过,A B分别引准线的垂线,AP BQ A PB Q 22 11 1 22 = 1 22 p xx BCBQ p ACAP xx 设 :3AB yk x，联立方程： 2 2 3 yx yk x 消元可得： 2 2 32kxx 整理后可得： 2222 2 3230k xkxk 1 21 32x xx 2 1 1 4 2 1 5 2 B C F A C F x S S x 答案：A 小炼有话说：本题设计的精妙之处在于允许有多种解题方向（比如计算坐标，计算底边长） 等，但方法层次不同，所耗费的时间也不一样。通过本题要体会以下几点： （1）在抛物线中焦半径与点横坐标的联系，已知焦半径可迅速求出该点的横坐标 （2）处理面积的比值问题时，可考虑两个图形共同的部分（底，高） ，从而将比值转化为线 段的比值 （3）在抛物线中常用的辅助线是过抛物线上的点引准线的垂线。本题恰好利用这一点转移了 比例，简化了运算
