1、历城一中 2020 届高三数学学科检测题 2020.4 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目 要求的. 1已知集合 24 |Axx= 且 1)a ，下列关于该函数的说法正确的是 A若2a =，则2 (log 3)3f= B若 ( )f x为 R 上的增函数，则 3 1 2 a ，解得1x ，所以B = 1|x x ，又 24 |Axx= ，所以 2 log 3 2 (log 3)23f=，所以选项 A 正确；对于选项 B，欲 使得该函数为增函数，则满足 320 1 321 a
2、 a aa ，解得 3 1 2 a + x xx ，即 1 14 = ，所以 ( )( )(0)0f xx g xf= ，这与0x =是函数 ( )f x的极 数学第 3 页（共 8 页） 大值点矛盾综上，1a 方法二：依据极值的定义，要使0x =是函数 ( )f x的极大值点，由(0)0f= 知须在0x =的左侧附近， ( )0f x ；在0x =的右侧附近， ( )0f x ，即tan0axx0，x24cosx0，所以 f(x)0； x2，+)时，f(x)x24x462464=80， 所以 f(x)在(，+)上没有零点 因为 f(x)=(x)24(x)sin(x)4cos(x)=x24xs
3、inx4cosx=f(x)， 所以 f(x)为偶函数， 从而 x0，即 f(x)在(，)上也没有零点 故 f(x)仅在 ) 3 ，(, 3 上各有一个零点，即 f(x)在 R 上有且仅有两个零点 19（本小题满分 12 分） 【解析】设 1122 ,),()(A x yB xy. （1）因为直线l的倾斜角为45， (1,0)F ，所以直线 AB 的方程为 1yx= ，（1 分） 联立方程组 2 2 1 1 2 yx x y = += ，消去y并整理，得 2 340xx=，则 12 12 42 , 323 xx xx + +=， 故线段 AB 的中点的横坐标为 2 3 （2）根据题意得点 11
4、( ,)C xy， 若直线 AB 的斜率为 0，则直线 AB 的方程为 0y = ，A、C 两点重合，显然 M，B，C 三点共线； 若直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为 1xmy=+ ， 联立方程组 2 2 1 1 2 my x y x + + = = ，消去x并整理得 22 (2)210mymy+ =， 则 1212 22 21 , 22 m yyy y mm += = + ， 数学第 7 页（共 8 页） 设直线 BM、CM 的斜率分别为 BM k 、 CM k ， 则 21211221121212 2 2112121212 (2)(2)(1)(1)2() 22(2)(2)
5、(1)(1)1() BMCM yyyxy xy myy mymy yyy kk xxxxmymym yym y y + = + 22 22 22 22 22 0 2 1 22 mm mm mm mm + + = + + ，即 BM k= CM k ，即 M，B，C 三点共线 （3）根据题意，得直线 GH 的斜率存在，设该直线的方程为 (2)yk x= ， 设 003344 (,),(,),(,)P xyG xyH xy ， 联立方程组 2 2 1 2 (2) x y yk x= += ，消去y并整理，得 2222 (12)8820kxk xk+=， 由 422 644(12)(82)0kkk=
6、+，整理得 2 1 2 k，又 22 3434 22 882 , 1212 kk xxx x kk += + ， 所以 3434 2 4 (4) 12 k yyk xx k +=+= + ， 结合OG OHOP+= ，得 034034 ,xxxyyy=+=+ ， 当0=时，该直线为x轴，即 0y = ， 此时椭圆上任意一点 P 都满足OG OHOP+= ，此时符合题意； 当0时， 由OG OHOP+= ， 得 2 0 2 0 2 18 12 14 12 k x k k y k = + = + ， 代入椭圆C的方程， 得 42 222222 3216 1 (12)(12) kk kk += + ， 整理，得 2 2 2 2 1616 1 12 2 k k k = + + ， 再结合 2 1 2 k，得到 2 04，即 ( 2,0)(0,2) ， 综上，得到实数的取值范围是( 2,2) 数学第 8 页（共 8 页）
