1、第 1 页 共 19 页 2019 届贵州省部分重点中学高三上学期高考教学质量评测卷届贵州省部分重点中学高三上学期高考教学质量评测卷 （四） （期末）数学（理）试题（四） （期末）数学（理）试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合 Ax|3x1，Bx|x1，则，则 A（ RB）等于（）等于（ ） A1，1） B （1，1） C （1，1 D1，1 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由补集的定义先求解B R ，再利用交集的定义，即得解. 【详解】 由题意得：( 1,)( 1,1) RR BAB 痧 故选：B 【点睛】 本题考查了集合的交集、补集运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属
2、于基础 题. 2已知已知 i 为虚数单位，则复数为虚数单位，则复数z (1 ) i i 对应的点位于对应的点位于 A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【详解】 复数z=1 i ，所以复数所对应点在第二象限选 B 3双曲线双曲线 22 2 4 xy b 1（b0）上一点）上一点 P 到右焦点的距离为到右焦点的距离为 8，则点，则点 P 到左焦点的距离到左焦点的距离 为（为（ ） A12 或或 6 B2 或或 4 C6 或或 4 D12 或或 4 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用双曲线的定义，列出等量关系，即
3、得解. 【详解】 不妨记双曲线的两个焦点为 12 ,F F，由双曲线的定义， 121 | 24| 84PFPFaPF 即点 P 到左焦点的距离为 12 或 4 第 2 页 共 19 页 故选:D 【点睛】 本题考查了双曲线的定义的应用，考查了学生概念理解， 数学运算的能力，属于基础题. 4数列数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，若，若 Sn+an2，则，则 S5的值等于（的值等于（ ） A 15 16 B 31 16 C 31 32 D 63 32 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由于 11 2,2 nnnn SaSa ，两式相减，得到数列an是以 1 为首项， 1 2 为公比的等比
4、数列，利用求和公式，即得解. 【详解】 由于 11 2,2 nnnn SaSa ，两式相减 1 20 nn aa 又1n 时， 111 21Saa 故数列an是以 1 为首项， 1 2 为公比的等比数列. 5 5 1 1 ( ) 31 2 1 16 1 2 S 故选：B 【点睛】 本题考查了数列的项和转化，以及等比数列的判定和求和公式，考查了学生转化划归， 数学运算的能力，属于中档题. 5从从 0，1，2，3 这四个这四个数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被 6 整除的概率为（整除的概率为（ ） A 1 2 B 1 5 C 1
5、 4 D 2 5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 本题为古典概型， 先求出从 4 个数字中任取三个不同数字的所有的不同方法数， 再计算抽取的三个数字之和能被 6 整除的方法数，即得解. 【详解】 从 4 个数字中任取三个不同的数字，不同的方法有： 3 4 4C种，如果抽取的三个数字 之和能被 6 整除，只有 1，2，3 一种，所以概率是 1 4 第 3 页 共 19 页 故选：C 【点睛】 本题考查了古典概型的概率，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题. 6执行如图所示的程序框图，如果输入执行如图所示的程序框图，如果输入 x5，y1，则输出的结果是（，则输出的结果是（ ） A2
6、61 B425 C179 D544 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据循环结构的条件，依次运算求解，即得解. 【详解】 起始值：5,1,0xyn， 满足1 10 5，故：5,0,2xyn； 满足010 5，故：7,4,4xyn； 满足410 7，故：11,36,6xyn； 满足3610 11，故：17,144,8xyn； 满足14410 17，故：25,400,10xyn； 此时：40010 25，满足输出条件：输出425xy 故选：B 【点睛】 本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理， 数学运算的能力，属于中档题. 7 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题
7、： 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有曲池，今有曲池， 上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈， 问积几何？问积几何？”其意思为其意思为：“今有上下底面皆为扇形的水池，上底中周今有上下底面皆为扇形的水池，上底中周 2 丈，外周丈，外周 4 丈，宽丈，宽 1 丈；下底中周丈；下底中周 1 丈丈 4 尺，外周长尺，外周长 2 丈丈 4 尺，宽尺，宽 5 尺；深尺；深 1 丈问它的容积是多少？丈问它的容积是多少？” 第 4 页 共 19 页 则该曲池的容积为（
8、则该曲池的容积为（ ）立方尺（）立方尺（1 丈丈10 尺，曲池：上下底面皆为扇形的土池，其尺，曲池：上下底面皆为扇形的土池，其 容积公式为容积公式为 1 6 （2 上宽上宽+下宽）下宽） 2 上底中外周之和 （2 下宽下宽+上宽）上宽） 2 下底中外周之和 深）深） A 5650 3 B1890 C 5630 3 D 5660 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据题中给的尺寸，代入容积公式求解，即得解. 【详解】 上底中外周之和为 40+20=60（尺）, 下底中外周之和为 14+24=38（尺）, 由题目中容积公式可得： 3 6038 (2 105)(2 5 10) 5050 1 2
9、 0 2 6 （立方尺） 故选：A 【点睛】 本题考查了空间几何体的体积，考查了学生阅读理解，数学运算的能力，属于基础题. 8函数函数 y（x21）ln|x|的图象大致为（的图象大致为（ ） A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】分析函数的奇偶性，借助导数研究函数的单调性，即得解. 【详解】 22 ()()1ln| (1)ln|( )fxxxxxf x ，故 ( )f x为偶函数，图像关于 y 轴 对称. 第 5 页 共 19 页 令 2 0,( )(1)ln ,xf xxx且 2 1 ( )2 ln x fxxx x ，又 (1)0,f 当1x 时，( )0fx ；当10x时，
10、( )0fx 故 ( )f x在(0 1)，单调递减，(1,+ )单调递增. 故选：C 【点睛】 本题考查了利用函数解析式研究函数图像，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合 的能力，属于中档题. 9已知数列已知数列an的首项的首项 a11，且满足，且满足 an+1+an3n（nN） ，） ，则则 a2020的值等于（的值等于（ ） A2020 B3028 C6059 D3029 【答案】【答案】D 【解析】【解析】作差 211 ()()3 nnnn aaaa ，得到 2 3 nn aa ，即数列an的奇数项， 偶数项皆为公差为 3 的等差数列，由等差数列的通项公式即得解. 【详解】 因为 a
11、n+1+an3n，且 a11 所以 212 3,2aaa 又 21 3(1) nn aan 211 ()()3(1)33 nnnn aaaann 即 2 3 nn aa 故数列an的奇数项，偶数项皆为公差为 3 的等差数列， 故 a2020 2 (1010 1) 33029a 故选：D 【点睛】 本题考查了由数列的递推公式求通项，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中 档题. 10已知函数已知函数 f（x）x22x+k，若对于任意的实数，若对于任意的实数 x1，x2，x3，x41，2时，时，f（x1） +f（x2）+f（x3）f（x4）恒成立，则实数）恒成立，则实数 k 的取值范围为（ 的
12、取值范围为（ ） A （ （ 2 3 ，+） B （ （ 3 2 ，+） C （ （， 2 3 ） D （ （， 3 2 ） 【答案】【答案】B 第 6 页 共 19 页 【解析】【解析】由于 2 ( )(1)1f xxk，分析对称轴，得到 minmax ( )1,( )f xkf xk， 转化 f （x1） +f （x2） +f （x3） f （x4） 恒成立， 为 1 min2 min3 min4 max ( )()()()f xf xf xf x， 即得解. 【详解】 由于 2 ( )(1)1f xxk ， 当 1,2x ， minmax ( )(1)1, ( )(2)f xfkf xf
13、k， 对于任意的实数 x1，x2，x3，x41，2时，f（x1）+f（x2）+f（x3）f（x4）恒成立， 即： 1 min2 min3 min4 max ( )()()()f xf xf xf x 即： 3 3(1) 2 kkk 故选：B 【点睛】 本题考查了二次函数的恒成立问题， 考查了学生转化划归， 综合分析， 数学运算的能力， 属于中档题. 11已知函数已知函数 f（x）sin（x 3 ）+sinx 3 2 （0）在（）在（0， 2 ）上有且只有）上有且只有 3 个零点，则实数个零点，则实数 的最大值为（的最大值为（ ） A5 B 16 3 C 17 3 D6 【答案】【答案】C 【解
14、析】【解析】化简 3 ( )3sin() 62 f xwx ，在（0， 2 ）上有且只有 3 个零点，转化为 3 sin() 62 wx 有三个解，结合wx的范围，控制仅有三个解，得到 w 的范围，即 得解. 【详解】 33333 ( )sin()sinsincos3sin() 3222262 f xwxwxwxwxwx 3 ( )3sin() 62 f xwx 在（0， 2 ）上有且只有 3 个零点， 即 3 sin() 62 wx 有三个解. 第 7 页 共 19 页 则2 63 wxk 或 2 2() 63 wxkkZ (0,)(0,) 22 w xwx ，即 55 , 262 wx 为
15、其三个解 5517 25 2263 w w 故：w的最大值为17 3 故选：C 【点睛】 本题考查了三角函数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中 档题. 12已知已知直线直线 l 过抛物线过抛物线 y24x 的焦点的焦点 F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于 A、B 两点，点两点，点 B 关于关于 x 轴的对称点为轴的对称点为 B1，直线，直线 AB1与与 x 轴相交于轴相交于 C（m，0）点，则实数）点，则实数 m 的值为（的值为（ ） A1 B2 C 3 2 D 1 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】设抛物线的准线与 x 轴交于C，过点 A，B 分别作准线的垂
16、线，垂足为 M，N， 可证得 11 AMCBNC，有 11 AC FBC F，所以点 1 C与点 C 重合，故得解. 【详解】 设抛物线的准线与 x 轴交于C，过点 A，B 分别作准线的垂线，垂足为 M，N， 因为 1 1 1 / / / MCAFAM AMFCBN NCBFBN 又因为 1111 90oAMCBNCAMCBNC 11 MACNBC即 11 AC FBC F 第 8 页 共 19 页 因为 B 关于 x 轴的对称点为 1 B，所以点 1 C与点 C 重合，故1m 故选：A 【点睛】 本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，数学结合，逻辑推理能力，属于 中档题. 二、填空
17、题二、填空题 13在在 6 2 2 ()x x 的展开式中，常数项为的展开式中，常数项为_ （用数字作答） （用数字作答） 【答案】【答案】60 【解析】【解析】根据二项式展开式的通项公式，利用 x 项的指数为 0，即可求出常数项. 【详解】 在 6 2 2 ()x x 的展开式中,通项公式为： 66 3 166 2 2 ()2 rrrrrr r TC xCx x 令6 302rr 所以展开式的常数项为： 22 62 60C 故答案为：60 【点睛】 本题考查了二项式定理的通项公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础 题. 14已知向量已知向量a，b满足满足|a|2，a（a2b）12
18、，则向量，则向量b在向量在向量a的方向上的的方向上的 投影为投影为_ 【答案】【答案】2 【解析】【解析】由a（a2b）12 分配律打开，求得 4a b ，结合向量b在向量a的方 向上的射影公式 | a b a 即得解. 【详解】 已知向量a，b满足|a|2，a（a2b）12， 故 2 2 122 |2124 2 aa ba b 第 9 页 共 19 页 则向量b在向量a的方向上的投影为： 4 2 2| a b a 故答案为：2 【点睛】 本题考查了向量的数量积以及向量b在向量a的方向上的投影的概念， 考查了学生概念 理解，数学运算的能力，属于基础题. 15已知已知 x，y 满足约束条件满足约
19、束条件 10 10 220 xy xy xy ，若目标函数，若目标函数 zkx+y 取得最大值的最优取得最大值的最优 解不唯一，则实数解不唯一，则实数 k 的值为的值为_ 【答案】【答案】 1 【解析】【解析】画出不等式组表示的平面区域，分 k0,k=0,k0 时，直线0kxyz与直线10xy 重合时，目标函数取得最大值 的最优解不唯一，此时 k=1; （2）当 k=0 时，目标函数在点（0，1）处取得最大值，不合题意； （3）当 k0 时，直线0kxyz与直线10xy 重合时，目标函数取得最大值 的最优解不唯一，此时 k=-1. 因此，实数 k 的取值为 1 故答案为： 1 【点睛】 本题考
20、查了含变量的线性规划问题， 考查了学生数形结合， 转化划归， 数学运算的能力， 属于中档题. 16如图，直四棱柱如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1，底面，底面 ABCD 是边长为是边长为 6 的正方形，的正方形，M，N 分分 别为线段别为线段 AC1，D1C 上的动点，若直线上的动点，若直线 MN 与平面与平面 B1BCC1没有公共点或有无数个公共没有公共点或有无数个公共 点，点点，点 E 为为 MN 的中点，则的中点，则 E 点的轨迹长度为点的轨迹长度为_ 第 10 页 共 19 页 【答案】【答案】3 5 【解析】【解析】由条件，/MN平面 B1BCC1，或MN 平面 B1BCC1，
21、过点 M 作 MH 1 /BB交 AC 于 H，过点 N 作 NG 1 /BB交 CD 于 G，构造平面 MHGN/平面 B1BCC1，得到 MN 的 中点 E 的轨迹长度等于ADC的边 AD 上的中线长，即得解. 【详解】 连接 AC，因为直线 MN 与平面 B1BCC1没有公共点或有无数个公共点， 故/MN平面 B1BCC1，或MN 平面 B1BCC1， 过点 M 作 MH 1 /BB交 AC 于 H，过点 N 作 NG 1 /BB交 CD 于 G， 所以平面 MHGN/平面 B1BCC1， 因为 M，N 为 AC1，D1C 上的动点，所以这样的 MN 有无数条， 其中 MN 的中点 E
22、的轨迹长度等于ADC的边 AD 上的中线长， 该中线长为 22 6 +3 =3 5. 故答案为：3 5 【点睛】 本题考查了空间中点线面的位置关系， 考查了学生空间想象， 转化构造， 逻辑推理能力， 属于较难题. 三、解答题三、解答题 17在在 ABC 中，中，a，b，c 分别为角分别为角 A，B，C 的对边，且满足的对边，且满足 cosC+sinC ac b （1）求角）求角 B 的大小；的大小； （2）若）若 a+c 的最大值为的最大值为 10，求边长，求边长 b 的值的值 第 11 页 共 19 页 【答案】【答案】 （1）B 2 （2）b5 2 【解析】【解析】 （1）利用正弦定理，转
23、化 cosC+sinC ac b 为 sinBsinCcosBsinC+sinC，继 而得到 sinBcosB1，利用辅助角公式求解 B 即可； （2）利用正弦定理转化：a+cbsinA+bcosA，用辅助角公式化为正弦型函数求最值即 可. 【详解】 （1）cosC+sinC ac b bcosC+bsinCa+c， 由正弦定理可得 sinBcosC+sinBsinCsinA+sinC， sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC， sinBcosC+sinBsinCsinBcosC+cosBsinC+sinC， sinBsinCcosBsinC+sinC， C（0，） ，si
24、nC0， sinBcosB1，可得 2sin（B 4 ）1， 可得 sin（B 4 ） 2 2 ， B（0，） ，B 4 （ 4 ， 3 4 ） ， B 44 ，可得 B 2 （2）B 2 ，C 2 A， 由正弦定理可得 absinA，cbsinCbsin（ 2 A）bcosA， a+cbsinA+bcosA 2b sin（A 4 ）10， 当 A 4 时取最大值 10，此时可得 b5 2 【点睛】 本题考查了三角函数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中 档题. 18某校从某校从 2011 年到年到 2018 年参加年参加“北约北约”，“华约华约”考试而获得加分的学生（每
25、位学生只考试而获得加分的学生（每位学生只 能参加能参加“北约北约”，“华约华约”一种考试）人数可以通过以一种考试）人数可以通过以下表格反映出来 （为了方便计算，下表格反映出来 （为了方便计算， 将将 2011 年编号为年编号为 1，2012 年编号为年编号为 2，依此类推，依此类推） 第 12 页 共 19 页 年份年份 x 1 2 3 4 5 6 7 8 人数人数 y 2 3 4 4 7 7 6 6 （1）据悉，该校）据悉，该校 2018 年获得加分的年获得加分的 6 位同学中，有位同学中，有 1 位获得加位获得加 20 分，分，2 位获得加位获得加 15 分，分，3 位获得加位获得加 10
26、 分，从该分，从该 6 位同学中任取两位，记该两位同学获得的加分之和为位同学中任取两位，记该两位同学获得的加分之和为 X， 求求 X 的分布列及期望的分布列及期望 （2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出 y 与与 x 之间的线性回归方程，并用以之间的线性回归方程，并用以 预测该校预测该校 2019 年参加年参加“北约北约”， “华约华约”考试而获得加分的学生人数 （结果要求四考试而获得加分的学生人数 （结果要求四舍五入舍五入 至个位）至个位） 参考公式：参考公式： 11 222 11 ()? nn iiii ii nn ii ii xxyyx yn
27、xy b xxxnx aybx 【答案】【答案】 （1）见解析， 80 3 ； （2）7 人 【解析】【解析】 （1）两位同学获得的加分之和为 X 服从超几何分布，利用超几何分布的概率公 式计算概率，得到分布列，即得解. （2）由表中的数据，得6x ，6y ， 8 1 ii i x y ， 8 2 1 i i x ，代入公式，即得解线性回归 方程,代入数据进行预测即可. 【详解】 （1）由题意，随机变量所有可能的值为 20，25，30，35 P（X20） 2 3 2 6 1 5 C C ，P（X25） 11 32 2 6 2 5 C C C ， P（X30） 21 3 6 3 2 4 15 C
28、C C ，P（X35） 1 2 2 6 2 15 C C ， X 20 25 30 35 P 1 5 2 5 4 15 2 15 第 13 页 共 19 页 E（X） 124280 20253035 5515153 ； （2）由表中的数据，得6x ，6y ， 8 1 183 ii i x y ， 8 2 1 190 i i x ， 故 1835 6 63 1905 3610 b ， a 321 66 105 ybx ， 故线性回归方程为 y0.3x+4.2， 当 x9 时，y0.3 9+4.26.9， 故该校 2019 年参加“北约”，“华约”考试而获得加分的学生人数 7 【点睛】 本题考查了
29、概率与统计综合，考查了学生数据处理，实际应用，转化划归，数学运算的 能力，属于中档题. 19如图所示，该几何体是由一个直三棱柱如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 ABEDCF 和一个四棱锥和一个四棱锥 PABCD 组合组合 而成，其中而成，其中 EFEAEB2，AEEB，PAPD5，平面，平面 PAD平面平面 EBCF （1）证明：平面）证明：平面 PBC平面平面 AEFD； （2）求直线）求直线 AP 与平面与平面 PCD 所成角的正弦值所成角的正弦值 【答案】【答案】 （1）见解析（2） 2 30 15 【解析】【解析】 （1）取 EF 中点 O，BC 中点 G，AD 中点 H，连结 OH
30、，PH，OG，PG，证明 OHPG，ADBC，故得证. （2）以 O 为原点，OE 为 x 轴，OG 为 y 轴，OH 为 z 轴，建立空间直角坐标系，计算 平面 PCD 的法向量，借助线面角的向量公式即得解. 【详解】 证明：取 EF 中点 O，BC 中点 G，AD 中点 H，连结 OH，PH，OG，PG， 由题意得 PH 22 = 5 1=PAAH 2OHOG， PH/ OG，四边形 PHOG 是平行四边形，OHPG， 第 14 页 共 19 页 AB/ DC，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC， ADOHH，BCPGG， 平面 PBC平面 AEFD 以 O 为原点，OE 为 x 轴
31、，OG 为 y 轴，OH 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（1，0，2） ，P（0，2，2） ，C（1，2，0） ，D（1，0，2） ， PA（1，2，0） ，PC （1，0，2） ，PD （1，2，0） ， 设平面 PCD 的法向量n （x，y，z） ， 则 20 20 n PCxz n PDxy ，取 x2，得n （2，1，1） ， 设直线 AP 与平面 PCD 所成角为 ， 则 sin 42 30 1556 PA n PA n 直线 AP 与平面 PCD 所成角的正弦值为 2 30 15 【点睛】 本题考查了立体几何和空间向量综合， 考查了学生空间想象， 逻辑推理， 数学运算能力
32、， 属于中档题. 20已知以线段已知以线段 EF 为直径的圆内切于圆为直径的圆内切于圆 O：x2+y216 （1）若点）若点 F 的坐标为（的坐标为（2，0） ，求点） ，求点 E 的轨迹的轨迹 C 的方程；的方程； （2）在（）在（1）的条件下，轨迹）的条件下，轨迹 C 上存在点上存在点 T，使得，使得OT OMON ，其中，其中 M，N 为直为直 线线 ykx+b（b0）与轨迹）与轨迹 C 的交点，求的交点，求 MNT 的面积的面积 【答案】【答案】 （1） 22 1 164 xy ； （2）23 第 15 页 共 19 页 【解析】【解析】 （1）设 FE 的中点为 Q，切点为 G，连
33、OQ，QG，取 F 关于 y 轴的对称点 F, 可得|FE|+|EF|8,由椭圆的定义，可得解. （2）联立 MN 与椭圆的方程，由 T 在椭圆上得到 k,b 关系，利用 k,b 表示 MNT 的底 边 MN 和高，即得解. 【详解】 设 FE 的中点为 Q，切点为 G，连 OQ，QG， 则|OQ|+|QG|OG|4 取 F 关于 y 轴的对称点 F，连 FE， 故|FE|+|EF|2（|OQ|+|QG|）8 所以点 E 的轨迹是以 F，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆 其中，a4，c2 3，b2， 则曲线 C 的方程为 22 1 164 xy ； （2）由题意，设 M（x1，y1） ，N（x
34、2，y2） ，则 T（x1+x2，y1+y2） 联立直线 MN 与曲线 C 方程，可得 22 1 164 ykxb xy ， 整理，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2160则 2222 12 2 2 12 2 644 414160 8 41 416 41 k bkb kb xx k b xx k 第 16 页 共 19 页 y1+y2k（x1+x2）+2bk（ 2 8 41 kb k ）+2b 2 2 41 b k T（ 2 8 41 kb k ， 2 2 41 b k ） 点 T 在轨迹 C 上， （ 2 8 41 kb k ）2+4（ 2 2 41 b k ）216 化简，整理，得：b
35、24k2+1 又|MN| 2 1 k |x1x2| 2 1 k 2 121 2 ()4xxx x 2 1 k 222 222 64416 4 (41)41 k bb kk 4 3 2 2 1 41 k k 点 T 到直线 MN 的距离 d 222 2 2 82 414141 1 1 kbb kb kkk k k S MNT 1 2 |MN|d 1 2 4 2 2 1 3 41 k k 2 2 41 1 k k 2 3 【点睛】 本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于 较难题. 21已知函数已知函数 f（x）lnx+a（x21） ） （1）讨论函数）讨论函数
36、 f（x）的单调）的单调性；性； （2）当）当 a 1 2 e ，x1，+）时，证明：）时，证明：f（x）（x1）ex 【答案】【答案】 （1）函数 f（x）在区间 1 0 2a ， 上单调递增，在区间 1 2a ， 上单调 递减（2）见解析 【解析】【解析】 （1）对 f(x)求导，分 a0, a0 讨论，分析导函数正负，得到函数 f（x）的单调 性； 第 17 页 共 19 页 （2）构造函数 2 1 111 2 x e g xxelnxxx ，对 g(x)求导，得到 1 11 x gxxeexx x ，通过二次求导分析 gx正负，进而得到 g(x)的单 调性，及 g(x)的最小值，故得解
37、. 【详解】 （1）函数的定义域为（0，+） ， 2 121 20 ax fxaxx xx ， 当 a0 时，f（x）0 在（0，+）上恒成立，所以函数 f（x）在（0，+）上单调递 增， 当 a0 时，由 f（x）0 解得 1 0 2 x a ，由 f（x）0 解得 1 2 x a ， 函数 f（x）在区间 1 0 2a ，上单调递增，在区间 1 2a ，上单调递减； （2）证明：令 2 1 111 2 x e g xxelnxxx ，则 1 11 x gxxeexx x ，g（1）e（e1）10， 再令 1 11 x m xxeexx x ，则 2 1 11 x mxxee x ， 当 x
38、1 时， 2 1 120 x xee x ， ， 2 1 11210 x xeeee x ，即 m（x）0， ym（x）在1，+）上单调递增， m（1）g（1）0， m（x）m（1）0， yg（x）在1，+）上单调递增， g（x）g（1）0， 综上可知，f（x）（x1）ex 【点睛】 本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的 能力，属于较难题. 22在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点中，以坐标原点 O 为极点，以为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 24sin（ 4
39、 ）0 （1）求曲线）求曲线 C 的直角坐标方程；的直角坐标方程； 第 18 页 共 19 页 （2）若直线）若直线 l 的参数方程是的参数方程是 4 2xtcos ytsin （ 为参数） ，且为参数） ，且 （ 2 ，）时，直）时，直 线线 l 与曲线与曲线 C 有且只有一个交点有且只有一个交点 P，求点，求点 P 的极径的极径 【答案】【答案】 （1） 22 (2)(2)4xy （2）4 【解析】【解析】 （1）展开 24sin（ 4 ）= 2 2 2 cos2 2 sin0，利用极坐 标和直角坐标互化公式，即得解. （2） 先转化直线 l的参数方程为一般方程， 利用圆心到直线的距离等于
40、半径可得解 tan， 求出 P 的坐标，转化为极坐标，即得解. 【详解】 由极坐标和直角坐标互化公式： cos sin x y 曲线 C 的极坐标方程为 24sin（ 4 ）= 2 2 2 cos2 2 sin0 转换为直角坐标方程为 22 2 22 20xyxy， 即 22 (2)(2)4xy （2）直线 l 的参数方程是 4 2xtcos ytsin （ 为参数） ，且 （ 2 ，）时，转换 为直角坐标方程为4 2ytanx， 由于直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点 P， 所以圆心（ 22， ）到直线4 2ytanx的距离 d 2 3 22 2 1 () tan tan ， 又 （ 2
41、 ，） 解得 tan 1 7 （舍去）或-1 故直线 l 的方程为4 2yx 与圆 C 联立可得： 2 4 2802 2(2 2,2 2)xxxP 极径长为 22 4(2 2)(2 2) 【点睛】 本题考查了直角坐标，极坐标，参数方程综合，考查了学生转化与划归，数学运算的能 力，属于中档题. 第 19 页 共 19 页 23已知已知 a0，b0 （1）若）若 ab2，证明： （，证明： （a+b）24（ab+1） ；） ； （2）若）若 a2+b22，证明：，证明：ab2 【答案】【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】【解析】 （1）作差法，通过配方即可证明； （2）利用基本不等式的推论： 22 2abab，即可得证. 【详解】 （1） （a+b）24（ab+1） （ab）2+4ab4（ab）4 （ab）24（ab）+4 （ab2）20； （2）因为 a+b 22 22ab，当且仅当 ab 取等号， 2 ()2ababab2（a+b）4， 故ab2 【点睛】 本题考查了不等式的证明，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
