1、第 1 页 共 20 页 2019 届新疆维吾尔自治区高三第三次毕业诊断及模拟测试数届新疆维吾尔自治区高三第三次毕业诊断及模拟测试数 学（文）试题学（文）试题 一、单选题一、单选题 1 1 i 1 i ( ) Ai B-i C0 D1 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用复数的除法运算，即得解. 【详解】 化简： 1(1)(1)2 1(1)(1)2 iiii i iii 故选：B 【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2已知集合已知集合 |20Ax x,集合集合 1,2,3,4B ,那么集合那么集合AB ( ) A2,4 B3,4 C2,3,
2、4 D 3,4 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由交集的定义即得解. 【详解】 集合 |20Ax x,集合1,2,3,4B ,由交集的定义： AB 3,4 故选：D 【点睛】 本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 3双曲线双曲线 22 1 916 xy 的离心率为（的离心率为（ ） A 7 4 B 7 3 C 5 4 D 5 3 【答案】【答案】D 第 2 页 共 20 页 【解析】【解析】由双曲线 22 1 916 xy ，求得 22 3,4,5abcab ，再由离心率的公 式，即可求解 【详解】 由双曲线 22 1 916 xy ，可得 22 9,
3、16ab，则 22 3,5acab ， 所以双曲线的离心率为 5 3 c e a ，故选 D 【点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质求解， 其中解答中熟记双曲线的 标准方程，以及双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能 力，属于基础题 4函数函数 sincosf xxx在在,3上零点的个数是（上零点的个数是（ ） A2 个个 B3 个个 C4 个个 D5 个 个 【答案】【答案】C 【解析】【解析】令 0f x ，即sincos0xx，即tan1x，解得, 4 xkkZ ， 再由,3x ，即可求解，得到答案 【详解】 由函数 sincosf xxx，令
4、 0f x ，即sincos0xx，即tan1x， 所以, 4 xkkZ ， 又由,3x ，所以 359 , 4444 x ， 即函数 sincosf xxx在,3上有 4 个零点，故选 C 【点睛】 本题主要考查了函数与方程的应用，以及三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记函 数零点的定义，准确利用正切函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能 力，属于基础题 5运行如图所示的程序框图若输出的运行如图所示的程序框图若输出的 s 的值为的值为 55 则在则在内应填入内应填入( ) 第 3 页 共 20 页 A8i ？ B9i ？ C10i ？ D11i ？ 【答案】【答案】C 【解析】
5、【解析】根据程序框图的循环条件，依次计算，即得解 【详解】 初始： 1,0is ； 0 1 1,12sii ，不满足条件；123,13sii ，不满足条件； 336,14sii ，不满足条件；6410,15sii ，不满足条件； 10515,16sii ，不满足条件；15621,17sii ，不满足条件； 21 628,18sii ，不满足条件；28836,19sii ，不满足条件； 36945,110sii ，不满足条件；45 1055,111sii ，满足输出 条件； 故选：C 【点睛】 本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题. 6函数函数 sin2 (
6、 ) cos1 x f x x 图象可能为图象可能为( ) A B 第 4 页 共 20 页 C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由函数定义域 |2,x xkkZ，函数为奇函数，( )=0f，结合分析即得 解. 【详解】 函数定义域：cos12,xxkkZ ，在0x无定义，排除 C， 由于 sin( 2 )sin2 ()( ) cos() 1cos1 xx fxf x xx ，故函数为奇函数，关于原点对称，排 除 B， 且 sin2 ( )=0 cos1 f ，故排除 D 故选：A 【点睛】 本题考查了由函数解析式研究函数性质辨别函数图像，考查了学生综合分析，数形结合 的能力，属于中档
7、题. 7已知已知 2 sin 410 ,则则sin2的值为的值为( ) A 24 25 B 24 25 C 1 25 D 1 25 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用诱导公式，以及二倍角公式sin2cos2() 4 2 1 2sin () 4 ， 即得解. 【详解】 由诱导公式：sin2sin2()+cos2() 424 ， 再由二倍角公式： 2 cos2()1 2sin () 44 24 25 故选：B 第 5 页 共 20 页 【点睛】 本题考查了诱导公式，二倍角公式综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运 算的能力，属于基础题. 8已知等比数列已知等比数列 n a的各项均为正
8、数的各项均为正数,且且 313239 logloglog9aaa,则则 3746 a aa a( ) A6 B9 C18 D81 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由对数运算律： 31323935 logloglog9logaaaa，可得解 5 a，由等 比中项的性质， 22 374655 a aa aaa，即得解. 【详解】 由于 9 31323931293535 loglogloglog.log9log9aaaa aaaa 355 log13aa 由等比中项的性质， 22 374655 18a aa aaa 故选：C 【点睛】 本题考查了等比数列的性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学
9、运算的能力，属于 中档题. 9偶函数偶函数 ( )f x在 在0,)上是减函数，且上是减函数，且(2)1f ，则满足，则满足(24)1fx 的实数的实数 x 的取值范围是（的取值范围是（ ） A1,2 B( ,3) C1,3 D1,3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用偶函数的定义把不等式变形后用单调性求解 【详解】 ( )f x是偶函数，(2)1f ，不等式(24)1fx 可化为(24)(2)fxf ， 又 ( )f x在0,)上是减函数，242x ，1 3x 故选：C 第 6 页 共 20 页 【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题 10已知抛物线已知抛物线 2 :4C
10、yx的焦点为的焦点为 F 准线为准线为 1,P 是是 l 上一点上一点,Q 是直线是直线 PF 与与 C 的一的一 个交点个交点,且且Q位于第四象限位于第四象限,过过Q作作l的垂线的垂线QE,垂足为垂足为E,若若PF的倾斜角为的倾斜角为60 ,则则PQEV 的面积是的面积是( ) A 8 3 9 B 4 3 9 C 8 9 D 4 9 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 表示 PF 方程为3(1)yx,与抛物线方程联立， 求解 Q 点坐标， 求解PQEV 面积. 【详解】 由已知条件抛物线的准线为1x，焦点为(1,0)F, 直线 PF 倾斜角为 60 ,故斜率 3k ，方程为：3(1)yx
11、代入抛物线方程可得： 22 3(1)431030xxxx 解得： 12 1 3, 3 xx 由于 Q 在第四象限 12 3 ( ,), ( 1, 2 3) 33 QP 142 38 3 (2 3) 2339 QEF S 故选：A 【点睛】 本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 11某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，网格纸上的小正方形某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，网格纸上的小正方形 边长为边长为 1，则该几何体的外接球的表面积为（，则该几何体的外接球的表面积为（ ） 第 7 页 共 20 页 A 112 9 B
12、100 9 C 100 27 D4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】还有出原几何体，找到外接球球心，求出半径可得表面积 【详解】 由三视图知原几何体是三棱锥ABCD，其中平面ABD与底面CBD垂直，如图， BCD是等腰直角三角形， 记M是斜边BD中点， 则M是BCD的外心，ABAD， 则AMBD，由面面垂直的性质知AM 平面BCD，外接球球心O在AM上，设 OAODR，则同三视图提供的尺寸得 222 (3)1RR， 5 3 R 22 5100 44) 39 SR 故选：B 【点睛】 本题考查球的表面积，解题关键是确定三棱锥外接球球心三棱锥外接球球心一定在过 各面外心用与此面垂直的直线上 1
13、2已知函数已知函数( )1f xkx,( )1( 11) x g xex 剟,若若 ( )f x与 与( )g x的图象上分别存在的图象上分别存在 点点 M,N,使得点使得点 M,N 关于直线关于直线1y 对称对称,则实数则实数 k 的取值范围是的取值范围是( ) 第 8 页 共 20 页 A 1 , e B 1 , e e C,)e-+ ? D 1 (,e e 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 由题意 ( )f x与( )g x的图象上分别存在点 M,N,使得点 M,N 关于直线1y 对称， 即112 x kxe ，等价于 x ekx ，数形结合求解. 【详解】 由于 ( )f x与(
14、)g x的图象上分别存在点 M,N,使得点 M,N 关于直线1y 对称,则 112 x kxe ，即 x ekx 所以指数函数 x ye与y kx 在11x 剟恒有交点 当直线ykx 与 x ye相切时，由于 x ye，设切点 00 0 (,), xx x eke 此时切线方程： 00 0 (), xx yeexx过（0，0） 因此： 0 1,xke 数形结合可知：ke或k0时， x ye与y kx 有交点 又要求在11x 剟恒有交点， 由图像，当1x 时， 1 k e ，当1x时，ke 综上：解得x 1 (,e e 故选：D 【点睛】 本题考查了函数的对称性问题，考查了学生转化划归，数形结合
15、，数学运算能力，属于 较难题. 第 9 页 共 20 页 二、填空题二、填空题 13已知向量已知向量(1,)am,( 2,3)b ,且且 /ab,则 则m_. 【答案】【答案】 3 2 【解析】【解析】由向量平行的坐标表示，计算即得解. 【详解】 由于向量(1,)am,( 2,3)b ,且 /ab, 由向量平行的坐标表示， 1 3 20mm 3 2 故答案为： 3 2 【点睛】 本题考查了向量平行的坐标表示，考查了学生概念理解， 数学运算的能力，属于基础题. 14若实数若实数x，y满足满足 0 0 320 xy xy xy ，则，则2zxy 的最小值为的最小值为_. 【答案】【答案】-3 【解
16、析】【解析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即 可求解 【详解】 由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示， 目标函数2zxy ，可化为直线2yxz， 直线2yxz过点 A 时，此时直线在 y 轴上的截距最小，目标函数取得最小值， 又由 0 320 xy xy ，解得(1, 1)A， 所以目标函数的最小值为2 1 13z 第 10 页 共 20 页 【点睛】 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题 其中解答中正确画出不等式组表 示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考 查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于
17、基础题 15中国最早的一部数学著作周髀算经的开头就记载了利用赵爽弦图证明了勾股定中国最早的一部数学著作周髀算经的开头就记载了利用赵爽弦图证明了勾股定 理，赵爽弦图（如图所示）是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成若在大正方形理，赵爽弦图（如图所示）是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成若在大正方形 中随机取一点该点落在阴中随机取一点该点落在阴影部分的概率为影部分的概率为 1 5 ，则直角三角形中较小角的正切值为，则直角三角形中较小角的正切值为 _. 【答案】【答案】 1 2 【解析】【解析】设大正方形边长为 1，由概率求得小正方形边长，然后由勾股定理求出直角三 角形的边长可得 【详解】 如
18、图，设大正方形边长为 1，则 2 2 1 15 EF ， 5 5 EF ，由题意BFAE， 222 5 ()1 5 BFBF，解得 5 5 BF ， 第 11 页 共 20 页 5 1 5 tan 255 55 BF BAF AF 故答案为： 1 2 【点睛】 本题考查几何概型的应用，考查数学文化，培养了学生的阅读理解能力，分析问题解决 问题的能力 16已知长方体已知长方体 1111 ABCDABC D，1ABBC， 1 2AA ，在，在 1 AB上取一点上取一点 M， 在在 1 BC上取一点上取一点 N，使得直线，使得直线/MN平面平面 11 A ACC，则线段，则线段 MN 的最小值为的最
19、小值为_. 【答案】【答案】 2 3 【解析】【解析】以 1 ,DA DC DD为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系发，写出各点坐标，求出平 面 11 AACC的法向量，由向量MN与平面 11 AACC的法向量垂直可得关系式，从而表示 出MN的模，然后可求得最小值 【详解】 如图，以 1 ,DA DC DD为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 则 1111 (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0),(0,0,0),(1,0,2),(1,1,2),(0,1,2),(0,0,2)ABCDABCD， ( 1,1,0)AC ， 1 (0,0,2)AA ，设平面 11 ACC A的一
20、个法向量为 ( , , )px y z， 则 1 0 20 p ACxy p AAz ，取1x ，则1,0yz，即(1,1,0)p ， 又 1 (0,1, 2)AB ， 1 ( 1,0, 2)BC ， 11 (0,1,0)AB ， 设 11 AMAB， 11 B NBC，则 1111 (,1,22 )MNMAABB N ， 第 12 页 共 20 页 2 222 ()(1)(22 )MN 22 55821 22 41944 5()() 5599 ， 当 41 0 5 4 0 9 ， 即 5 9 4 9 时， 2 MN取得最小值 4 9 ， 即MN的长度的最小值为 2 3 故答案为： 2 3 【
21、点睛】 本题考查用向量法研究直线与平面平行，考查向量模的坐标表示解题关键是建立空间 直角坐标系，把线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，把向量的模用坐 标表示后求得最小值 三、解答题三、解答题 17已知已知 n S为数列为数列 n a的前的前 n 项和满足项和满足 2 22 nnn aaS，0 n a ， * nN . （1）求数列）求数列 n a的通项公式的通项公式 （2）设）设2n nn ba，求数列，求数列 n b的前的前 n 项和项和 n T . 【答案】【答案】 （1）1 n an（2） 1 2n n Tn 【解析】【解析】 （1）2n时，利用 1nnn aSS 得出数列的
22、递推关系，得出数列 n a是等差 数列，从而可求得通项公式； （2）用错位相减法求各 n T 【详解】 解： （1）当2n时，有 2 22 nnn aaS， 2 111 22 nnn aaS 第 13 页 共 20 页 两式相减得 11 10 nnnn aaaa 0 n a 1 10 nn aa 即 1 1 nn aa n a为等差数列. 由已知得 1 2a 1 (1) 11 n aann （2）2(1) 2 nn nn ban 2 2 23 2(1) 2n n Tn 321 22 222(1)32 nn n Tnn 两式相减得 231 4222(1) 2 nn n Tn 11 424(1)
23、2 nn n 1 2nn 1 2n n Tn 【点睛】 本题考查由 n a和 n S的关系式求通项公式， 考查错位相减法求数列的和 在已知 n a和 n S 的关系时， 通过由 1nnn aSS 得出数列的递推关系， 再确定数列的性质 注意 1 a 1 S 18某校高三共有某校高三共有 1000 位学生，为了分位学生，为了分析某次的数学考试成绩，采取随机抽样的方法析某次的数学考试成绩，采取随机抽样的方法 抽取了抽取了 50 位高三学生的成绩进行统计分析，得到如图所示频数分布表：位高三学生的成绩进行统计分析，得到如图所示频数分布表： 分组分组 50,70) 70,90) 90,110) 110,
24、130) 130,150 频数频数 3 11 18 12 6 （1）根据频数分布表计算成绩在）根据频数分布表计算成绩在90,110)的频率并计的频率并计算这组数据的平均值算这组数据的平均值x（同组的（同组的 数据用该组区间的中点值代替） ；数据用该组区间的中点值代替） ； （2）用分层抽样的方法从成绩在）用分层抽样的方法从成绩在90,110)和和110,130)的学生中共抽取的学生中共抽取 5 人，从这人，从这 5 人中任取人中任取 2 人，求成绩在人，求成绩在90,110)和和110,130)中各有中各有 1 人的概率人的概率. 【答案】【答案】 （1）0.36 102.8 （2） 3 5
25、P A 【解析】【解析】 （1）根据频率分布表知成绩在90,100)内的人数，即可求解其概率，再根据平 第 14 页 共 20 页 均数的计算公式，即可求解平均数； （2）根据分层抽样得应在90,110)和110,130)中分别抽取 3 人和 2 人，利用列举法 求得基本事件的总数和所求事件包含基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式， 即可求解 【详解】 （1）根据频率分布表知成绩在90,100)内的概率为 18 0.36 50 ， 0.06 60 0.22 80 0.36 100x 0.24 1200.12 140102.8. （2） 根据分层抽样得应在90,110)和110,130)中
26、分别抽取 3 人和 2 人， 将90,110)中 的 3 人编号为 1，2，3，将110,130)中的 2 人编号为a，b，则此事件中的所有基本 事件为1,2，1,3，1,a，1,b，2,3，2,a，2,b，3,a，3,b，, a b， 共 10 个， 记成绩在90,110)和110,130)中各有 1 人为事件A，事件A包含的基本事件有 6 个， 则 3 5 P A . 【点睛】 本题主要考查了频率分布表的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中熟 记频率分布表中的频率与平均数的计算公式， 以及准确利用列举法求得基本事件的总数 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 19
27、如图如图 1，在梯形，在梯形ABCD中，中，ABCD， 3AB ，6CD ，过，过A，B分别作分别作CD的的 垂线，垂足分别为垂线，垂足分别为E，F，已知，已知1DE ，3AE ，将梯形，将梯形ABCD沿沿AE，BF同侧同侧 折起，使得平面折起，使得平面ADE 平面平面ABFE，平面，平面ADE平面平面BCF，得到图，得到图 2. （1）证明：）证明：BE平面平面ACD； （2）求三棱锥）求三棱锥CAED的体积的体积. 【答案】【答案】 （1）见证明； （2） 3 2 CAED V 【解析】【解析】 （1）设AFBEO，取AC中点M，连接OM，证得/OMDE，且 第 15 页 共 20 页 O
28、MDE，得到四边形DEOM为平行四边形，得出DM OE，利用线面平行的判 定定理，即可证得BE平面ADC. （2）证得CF PADE，得到点C到平面ADE的距离等于点F到平面ADE的距离， 再利用锥体的体积公式，即可求解. 【详解】 （1）设AFBEO，取AC中点M，连接OM， 四边形ABFE为正方形，O为AF中点， M为AC中点， 1 2 OMCF且 1 2 OMCF， 因为平面ADE 平面ABFE，平面ADE平面ABFEAE，DEAE， DE 平面ADE，所以DE 平面ABFE， 又平面ADE平面BCF，平面BCF 平面ABFE，同理，CF 平面ABFE， 又 1DE ，2FC ， 11
29、, 22 DECF DECF， OMDE，且OMDE，四边形DEOM为平行四边形，DMOE， DM 平面ADC，BE平面ADC，BE平面ADC. （2）因为CFDE，DE 平面ADE，CF 平面ADE，所以CF PADE 点C到平面ADE的距离等于点F到平面ADE 的距离. 三棱锥的体积公式，可得 113 3 1 3 322 C AEDFAED VV . 【点睛】 本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟 记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用等体积法求解三棱锥的体积，准 确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题 20已知点已知点1
30、,0F，动点，动点 P 到直线到直线2x的距离与动点的距离与动点 P 到点到点 F 的距离之比为的距离之比为2 . （1）求动点）求动点 P 的轨迹的轨迹 C 的方程；的方程； （2）过点）过点 F 作任一直线交曲线作任一直线交曲线 C 于于 A,B 两点，过点两点，过点 F 作作 AB 的垂线的垂线交直线交直线2x于点于点 N；求证：；求证：ON 平分线段平分线段 AB. 【答案】【答案】 （1） 2 2 1 2 x y.（2）证明见解析 【解析】【解析】 （1）设( , )P x y，几何关系代数化，得到 22 |2| 2 (1) x xy ，化简即得解； 第 16 页 共 20 页 （2
31、）设 AB 的直线方程为1xmy，与椭圆联立得到 M 点坐标，表示直线 ON 方程， 验证 M 在 ON 上即可. 【详解】 （1）设( , )P x y,则 22 |2| 2 (1) x xy 化简得 2 2 1 2 x y （2）设 AB 的直线方程为1xmy 则 NF 的直线方程为(1)ym x 联立 (1) 2 ym x x 得(2,)Nm 直线 ON 的方程为 2 m yx 联立 2 2 1 1 2 xmy x y 得 22 2210mymy 设 11 ,A x y, 22 ,B x y,则 12 2 2 2 m yy m 设 AB 的中点为 00 ,M x y,则 12 0 2 2
32、2 yym y m 00 2 2 1 2 xmy m 22 2 , 22 m M mm 将点 M 坐标代入直线 ON 的方程 22 2 222 mm y mm 点 M 在直线 ON 上 点 M 平分线段 AB 【点睛】 本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力， 属于中档题. 21已知函数已知函数 1 ( )lnf xxax x （aR且且0a） （1）若）若 ( )f x在定义域内单调递增，求实数 在定义域内单调递增，求实数 a 的取值范围；的取值范围； （2）若）若 ( )f x有两个不同的极值点 有两个不同的极值点 12 ,x x，记过点 ，记过点 11
33、 ,A x f x， 22 ,B xf x的直线的直线 的斜率为的斜率为 k，求证：，求证：2ka . 第 17 页 共 20 页 【答案】【答案】 （1）(0,2a（2）证明见解析 【解析】【解析】 （1）由( )0fx 在(0,)上恒成立，再转化为求函数最值 （2）由（1）知2a时函数有两个极值点 12 ,x x， 12 1x x，不妨设 12 0xx，从而 有 1 01x，求出 12 12 ()()f xf x k xx ，并凑配出 1212 12 lnln (2) xxxx kaa xx ，这样只要证明 121211 1 1 (lnln)2ln0xxxxxx x ，再利用函数在单调性可
34、证明 【详解】 解： ( )f x定义域 2 22 11 (0,)( )1 axax fx xxx ， 由 ( )f x在定义域内单调递增，等价于对任意(0,)x，都有 ( ) 0fx ， 即 1 ax x 恒成立，而 11 22xx xx ， 故2a，又0a，所以(0,2a. （2）定义域 2 22 11 (0,)( )1 axax fx xxx ，设 2 ( )1g xxax，其判别 式 2 4a ，当02a时，由（1）得由 ( )f x在定义域内单调递增，无极值点， 当2a时，( )0g x 两根为 2 4 2 aa ， 2 4 2 aa ，当 2 4 0 2 aa x 时，( )0fx
35、 上； 当 22 44 22 aaaa x 时，( )0fx ； 当 2 4 2 aa x 时，( )0fx .故 ( )f x在 22 44 0, 22 aaaa 单调 递增，在 22 44 , 22 aaaa 单调递减.即 22 44 , 22 aaaa 是函数的极 值点，不妨设 2 1 4 2 aa x ， 2 2 4 2 aa x 则 12 0xx且 12 1x x. 第 18 页 共 20 页 12 1212121212 12 lnln2lnln xx f xf xxxaxxxxaxx x x ，所以 12 12 lnln 2 xx ka xx ，而 1212 12 1212 lnl
36、nlnln (2)1 xxxxxx kaaa xxxx ， 而 12 0xx且 12 1x x得 2 112 01xx x，故 1 01x，所以 121211 1 1 lnln2lnxxxxxx x ， 1 01x. 设 1 ( )2lnh ttt t ， （01t ） ，而 2 22 12(1) ( )10 t h t ttt ， 所以( )g t在0,1（）上单调递增， 所以( )(1)0h th， 而 12 0,0xxa， 故2ka. 【点睛】 本题考查用导数研究函数的单调性，用导数研究函数极值点的问题，解题时需确定存在 两个极值点的条件，极值点的关系，以便转化(2)ka为一元函数，再由
37、函数的知识 获得证明 22 已知在极坐标系中 已知在极坐标系中,直线直线 l 的极坐标方程为的极坐标方程为 3 cos 62 ,曲线曲线 C 的极坐标方的极坐标方 程为程为 2 sin2cos0.以极点为原点极轴为以极点为原点极轴为 x 轴正半轴轴正半轴,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系. （1）写出直线）写出直线 l 和曲线和曲线 C 的直角坐标方程的直角坐标方程; （2） 已知过点） 已知过点2,0M且与直线且与直线l平行的直线与曲线平行的直线与曲线C交于交于P,Q两点两点,求求 22 |MPMQ 的值的值. 【答案】【答案】 （1）:33l yx; 2 C:2yx.（2）112 9
38、【解析】【解析】 （1）利用极坐标与直角坐标方程的互化公式 cos sin x y ，即得解直线 l 和曲 线 C 的直角坐标方程； （2）表示直线 l 的参数方程与圆联立，利用 t 的几何意义， 2222 12 |MPMQtt， 借助韦达定理即得解. 【详解】 第 19 页 共 20 页 （1）由于 313 coscossin 6222 由于 cos sin x y :33l yx; 222 sin2cos0sin2 cos0 2 C:2yx （2）设过点 (2,0)M 且与直线 l 平行的直线的参数方程为 1 2 2 3 2 xt yt (t 为参数) 由 2 31 2 2 22 tt 得
39、 2 34160tt 设 P,Q 两点分别对应的参数为 12 ,t t 则 12 12 4 3 16 3 tt t t 2 2222 12121 2 112 |2 9 MPMQttttt t 【点睛】 本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了极坐标与直角坐标互化，参数方程的几何意 义，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 23已知函数已知函数 ( ) |1|21|f xxx . （1）解不等式）解不等式( )2f x ; （2）若）若( )2f xaxa恒成立恒成立,求实数求实数 a 的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1） 2 (,0), 3 .（2） 7 3,
40、3 【解析】【解析】 （1）将 f(x)分段表示，分段求解不等式即可； （2） 令( )2(1 ) 2g xaxaa x ,表示过定点1, 2 的一条直线,数形结合即得 解 a 的范围. 【详解】 第 20 页 共 20 页 （1） 3 ,1 1 ( )2, 1 2 1 3 , 2 x x f xxx x x 剟 当1x时原不等式可化为32x,解得 2 3 x ,解集为 |1x x 当 1 1 2 x 剟时,原不等式可化为 22x ,解得0x,解集为 | 1 0xx 当 1 2 x 时,原不等式可化为32x ,解得 2 3 x ,解集为 2 | 3 x x 综上所述,原不等式得解集为 2 (,0), 3 （2）令( )2(1)2g xaxaa x,表示过定点1, 2 的一条直线, 分别作出( )yf x,( )yg x的图象如下: 由图象可知, 7 3 3 a 剟 a 的取值范围是 7 3, 3 【点睛】 本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生综合分析，分类讨论，数形 结合的能力，属于中档题.
