1、1北师大版高中数学必修北师大版高中数学必修5 5第三章第三章不等式不等式法门高中姚连省制作法门高中姚连省制作2一、教学目标一、教学目标1知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；实际问题；2过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线
2、性规划问题的过程，提高数学建模能力；问题的过程，提高数学建模能力；3情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模建模”和和解决实际问题的能力。解决实际问题的能力。二、教学重点：二、教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题用图解法解决简单的线性规划问题教学难点：教学难点：准确求得线性规划问题的最优解准确求得线性规划问题的最优解三、教学方法：三、教学方法：启发引导式启发引导式四、教学过程四、教学过程3 目标函数中的变量所要满足的不等式组目标函数中的变量所要满
3、足的不等式组称为称为约束条件约束条件。如果目标函数是关于变量的一次函数，如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为则称为线性目标函数线性目标函数，如果约束条件是关，如果约束条件是关于变量的一次不等式（或等式），则称为于变量的一次不等式（或等式），则称为线性约束条件线性约束条件。一、复习一、复习4 在线性约束条件下求线性目标函数的最在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为大值或最小值问题，称为线性规划问题线性规划问题。使目标函数达到最大值或最小值的点的坐使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的标，称为问题的最优解最优解。一般地，满足线性约束条件的解一般地，满足线性约束条件
4、的解(x，y)叫做叫做可行解可行解，由所有可行解组成的集合叫，由所有可行解组成的集合叫做做可行域可行域。5 例例1：某工厂计划生产甲、乙两种产品，：某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料。生产甲产这两种产品都需要两种原料。生产甲产品品1工时需要工时需要A原料原料3kg，B原料原料1kg；生产；生产乙产品乙产品1工时需要工时需要A原料原料2kg，B原料原料2kg。现有现有A原料原料1200kg，B原料原料800kg。如果生。如果生产甲产品每工时的平均利润是产甲产品每工时的平均利润是30元，生元，生产乙产品每工时的平均利润是产乙产品每工时的平均利润是40元，问元，问同时生产两种产品
5、，各多少工时能使利同时生产两种产品，各多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？润的总额最大？最大利润是多少？6解：依题意，可列表如下：解：依题意，可列表如下：产品产品原料原料A数量数量(kg)原料原料B数量数量(kg)利润利润(元元)生产甲种产品生产甲种产品1工时工时3130生产乙种产品生产乙种产品1工时工时2240限额数量限额数量1200800 设计划生产甲种产品设计划生产甲种产品x工时，计划生产乙工时，计划生产乙种产品种产品y工时，工时，7则获得的利润总额为则获得的利润总额为f=30 x+40y。其中其中x,y满足下列条件满足下列条件：321200280000 xyxyxy 于是问题转
6、化为，在于是问题转化为，在x，y满足条件满足条件的情况下，求式子的情况下，求式子30 x+40y的最大值。的最大值。8画出不等式组表示的平面区域画出不等式组表示的平面区域OABC。问题又转化为，在不等式组表示的平问题又转化为，在不等式组表示的平面区域内找一点，把它的坐标代入式子面区域内找一点，把它的坐标代入式子30 x+40y时，使该式时，使该式取得最大值。取得最大值。9 令令30 x+40y=z，则直，则直线过点线过点B时时,z最大。最大。10将将x=200，y=300代入式子代入式子:30 x+40y，得，得zmax=30200+40300=18000.答：用答：用200工时生产甲种产品，
7、用工时生产甲种产品，用300工工时生产乙种产品，能获得利润时生产乙种产品，能获得利润18000元，元，此时利润总额最大。此时利润总额最大。解方程组解方程组 3212002800 xyxy得点得点B的坐标为的坐标为(200，300)。11例例2下表给出甲、乙、丙三种食物中维下表给出甲、乙、丙三种食物中维生素生素A、B的含量及单价：的含量及单价：甲甲乙乙丙丙维生素维生素A(单位单位/千克千克)400600400维生素维生素B(单位单位/千克千克)800200400单价单价(元元/千克千克)765营养师想购买这三种食品共营养师想购买这三种食品共10千克，使它千克，使它们所含的维生素们所含的维生素A不
8、少于不少于4400单位，维生单位，维生素素B不少于不少于4800单位，而且要使付出的金单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？额最低，这三种食物应各购买多少千克？12解：设购买甲种食物解：设购买甲种食物x千克，乙种食物千克，乙种食物y千克，则购买丙种食物千克，则购买丙种食物(10 xy)千克，千克，又设总支出为又设总支出为z元，由题意得元，由题意得 z=7x+6y+5(10 xy)，化简得化简得 z=2x+y+50，x，y应满足的应满足的约束条件约束条件 400600400(10)4400800200400(10)48000,0100 xyxyxyxyxyxy13化简得化简得
9、 224100yxyxyx根据上述不等式组，作根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示。域，如图阴影部分所示。1415 容易看出，容易看出，z=2x+y+50过直线过直线y=2与直与直线线2xy=4的交点时的交点时,z值最小。值最小。解方程组解方程组 224yxy得点得点M(3，2)。因此，当因此，当x=3，y=2时，时，z取得最小值取得最小值z=23+2+50=58.此时，此时，10 xy=5.答：购买甲食物答：购买甲食物3千克，乙食物千克，乙食物2千克，千克，丙食物丙食物5千克，付出的金额最低为千克，付出的金额最低为58元。元。16例例3某货运公司拟
10、用集装箱托运甲、乙某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱能够所托运的货两种货物，一个大集装箱能够所托运的货物的总体积不能超过物的总体积不能超过24m3，总重量不能低，总重量不能低于于650千克。甲、乙两种货物每袋的体积、千克。甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：重量和可获得的利润，列表如下：货物货物每袋体积每袋体积(单单位：位：m3)每袋重量每袋重量(单单位：百千克位：百千克)每袋利润每袋利润(单单位：百元位：百元)甲甲5120乙乙42.510问：在一个大集装箱内，这两种货物各装问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋多少袋(不一定都是整袋不一定都是整袋)时
11、，可获得最大时，可获得最大利润？利润？17解：设托运甲种货物解：设托运甲种货物x袋，乙种货物袋，乙种货物y袋，袋，获得利润获得利润z百元。百元。则则 z=20 x+10y。依题意可得关于依题意可得关于x，y的约束条件的约束条件 542425130,0 xyxyxy18 根据上述不等式组，作出表示可行域的根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示。平面区域，如图阴影部分所示。画直线画直线l0：20 x+10y=0，平行移动平行移动l0到直线到直线l的位的位置，使置，使l过可行域中的过可行域中的某点，并且可行域内的某点，并且可行域内的其它各点都在其它各点都在l的包含的包含直线直线
12、l0的同一侧。的同一侧。1920 该点到直线该点到直线l0的距离最大，则这一点的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取最大值。的坐标使目标函数取最大值。容易看出，点容易看出，点M符合上述条件，点符合上述条件，点M是是直线直线2x+5y=13与直线与直线5x+4y=24的交点。的交点。解方程组解方程组 54242513xyxy得点得点M(4，1)。因此当因此当x=4，y=1时，时，z取得最大值，此取得最大值，此时时zmax=204+101=90.21答：在一个大集装箱内装甲种货物答：在一个大集装箱内装甲种货物4袋，袋，乙种货物乙种货物1袋，可获得最大利润袋，可获得最大利润9000元。元。22例例4
13、A、B两个居民小区的居委会组织本两个居民小区的居委会组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加。已知加。已知A区的每位同学往返车费是区的每位同学往返车费是3元，元，每人可为每人可为5位老人服务；位老人服务；B区的每位同学往区的每位同学往返车费是返车费是5元，每人可为元，每人可为3位老人服务。如位老人服务。如果要求果要求B区参与活动的同学比区参与活动的同学比A区的同学多，区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过且去敬老院的往返总车费不超过37元。怎元。怎样安排参与活动同学的人数，才能使受
14、到样安排参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少人？多少人？23解：设解：设A、B两区参与活动的人数分别为两区参与活动的人数分别为x，y受到服务的老人人数为受到服务的老人人数为z，则则z=5x+3y，应满足的约束条件是应满足的约束条件是 135371,yxxyxx yZ化简得化简得 135371,xyxyxx yZ024 根据上述不等式组，作出表示可行域的根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示。平面区域，如图阴影部分所示。画直线画直线l0：5x+3y=0，平行移动平行移动l0到直线到直线l的的位置，使位置，
15、使l过可行域中过可行域中的某点，并且可行域的某点，并且可行域内的其它各点都在内的其它各点都在l的的包含直线包含直线l0的同一侧。的同一侧。25 该点到直线该点到直线l0的距离最大，则这一点的的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取最大值。坐标使目标函数取最大值。容易看出，点容易看出，点M符合上述条件，点符合上述条件，点M是是直线直线x5y+1=0与直线与直线3x+3y=37的交点。的交点。解方程组解方程组 13537xyxy 得点得点M(4，5)。26 因此，当因此，当x=4，y=5时，时，z取得最大值，取得最大值，并且并且zmax=54+35=35.答：答：A、B两区参与活动同学的人数分别两区参与活动同学的人数分别为为4，5时，受到服务的老人最多，最多为时，受到服务的老人最多，最多为35人。人。27课时小结：课时小结：用图解法解决简单的线性规划问题用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解）在可行域内求目标函数的最优解作业布置：作业布置：课本第课本第105页习题页习题A组的第组的第2题题.五、教后反思：五、教后反思：
