1、第2课时指数型、对数型函数模型的应用举例类型一：指数型函数模型的应用实例类型一：指数型函数模型的应用实例【典例【典例1 1】某城市现在人口总数为某城市现在人口总数为100100万人，如果年自万人，如果年自然增长率为然增长率为1.2%1.2%，试解答下面的问题：，试解答下面的问题：(1)(1)写出该城市人口总数写出该城市人口总数y(y(万人万人)与年份与年份x(x(年年)的函数关的函数关系式系式.(2)(2)计算计算1010年后该城市人口总数年后该城市人口总数(精确到精确到0.10.1万人万人).).(3)(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到计算大约多少年以后该城市人口将达到120120万人
2、万人(精精确到确到1 1年年).).【解题指南】【解题指南】解决这类题的关键是根据题意建立函数解决这类题的关键是根据题意建立函数模型模型.解题流程为解题流程为“审、设、列、解、答审、设、列、解、答”，即审题，即审题设未知量设未知量列出函数关系式列出函数关系式求解求解作答作答.在求解过程在求解过程中要注意所设未知量的实际意义中要注意所设未知量的实际意义.【解析】【解析】(1)1(1)1年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y=100+100y=100+100 1.2%=1001.2%=100(1+1.2%).(1+1.2%).2 2年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y=100y=100(
3、1+1.2%)+100(1+1.2%)+100 (1+1.2%)(1+1.2%)1.2%=1001.2%=100(1+1.2%)(1+1.2%)2 2.3 3年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y=100y=100(1+1.2%)(1+1.2%)2 2+100+100(1+(1+1.2%)1.2%)2 21.2%=1001.2%=100(1+1.2%)(1+1.2%)3 3.故故x x年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y=100y=100(1+1.2%)(1+1.2%)x x.(2)10(2)10年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y=100y=100(1+1.2%)(1+1.2
4、%)1010=100=1001.0121.0121010112.7(112.7(万人万人).).(3)(3)设大约设大约n n年后该城市人口将达到年后该城市人口将达到120120万人，万人，即即100100(1+1.2%)(1+1.2%)n n120120，nlognlog1.012 1.012 =log=log1.0121.0121.2015.3.1.2015.3.故大约故大约1616年以后该城市人口将达到年以后该城市人口将达到120120万人万人.120100【规律总结】【规律总结】指数型函数模型在生活中的应用指数型函数模型在生活中的应用(1)(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细
5、胞分在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示.通常可通常可以表示为以表示为y=N(1+p)y=N(1+p)x x(其中其中N N为基础数，为基础数，p p为增长率，为增长率，x x为为时间时间)的形式的形式.(2)(2)增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时，可以通过图形式来确定相关的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解象近似求解.用函数的图象求解未知量的值或确定变量用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用
6、的方法之一的取值范围，是数学常用的方法之一.【巩固训练】【巩固训练】1.1.某林区某林区20152015年木材蓄积量年木材蓄积量200200万立方米，万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到量的年平均增长率能达到5%.5%.(1)(1)若经过若经过x x年后，该林区的木材蓄积量为年后，该林区的木材蓄积量为y y万立方米，万立方米，求求y=f(x)y=f(x)的表达式，并求此函数的定义域的表达式，并求此函数的定义域.(2)(2)作出函数作出函数y=f(x)y=f(x)的图象，并应用图象求经过多少年的图象，并应用图
7、象求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到后，林区的木材蓄积量能达到300300万立方米？万立方米？【解析】【解析】(1)(1)现有木材蓄积量现有木材蓄积量200200万立方米，万立方米，经过经过1 1年后木材蓄积量为年后木材蓄积量为200+200200+2005%=200(1+5%)5%=200(1+5%)；经过经过2 2年后木材蓄积量为年后木材蓄积量为200(1+5%)200(1+5%)2 2；经过经过x x年后木材蓄积量为年后木材蓄积量为200(1+5%)200(1+5%)x x，所以所以y=f(x)=200(1+5%)y=f(x)=200(1+5%)x x.因为因为x x虽然以年为单位，
8、但木材每时每刻均在生长，虽然以年为单位，但木材每时每刻均在生长，所以所以x0 x0，且，且xR.xR.所以函数的定义域为所以函数的定义域为00，+).+).(2)(2)作函数作函数y=f(x)=200(1+5%)y=f(x)=200(1+5%)x x(x0)(x0)的图象的图象.列表如下：列表如下：图象如图所示图象如图所示.x x0 01 12 23 3y y200200210210220.5220.5231.5231.5作直线作直线y=300y=300，与函数，与函数y=200(1+5%)y=200(1+5%)x x的图象交于的图象交于A A点，点，则则A(xA(x0 0，300)300)，
9、则，则A A点的横坐标点的横坐标x x0 0的值就是函数值的值就是函数值y=300y=300时时(木材蓄积量为木材蓄积量为300300万立方米时万立方米时)所经过的时间所经过的时间x x的值的值.因为因为8x8x0 099，所以取，所以取x=9.x=9.所以经过所以经过9 9年后，林区的木材蓄积量能达到年后，林区的木材蓄积量能达到300300万立方万立方米米.2.2.某人有资金某人有资金20002000元，拟投入在复利方式下年报酬为元，拟投入在复利方式下年报酬为8%8%的投资项目，大约经过多少年后能使现有资金翻一的投资项目，大约经过多少年后能使现有资金翻一番？番？(下列数据供参考：下列数据供参
10、考：lg20.3010lg20.3010，lg5.4 lg5.4 0.73240.7324，lg5.50.7404lg5.50.7404，lg5.60.7482)lg5.60.7482)【解析】【解析】设经过设经过x x年后能使现有资金翻一番，则年后能使现有资金翻一番，则20002000(1+8%)(1+8%)x x=4000=4000，即，即1.081.08x x=2.=2.两边取对数，有两边取对数，有 所以，经过所以，经过1010年后才能使现有资金翻一番年后才能使现有资金翻一番.lg 2lg 2x5.4lg 1.08lg 5lg 20.301 09.01.lg 5.41 lg 20.732
11、 4 1 0.301 0 类型二：对数函数模型的应用类型二：对数函数模型的应用【典例【典例2 2】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数为函数v=5logv=5log2 2 ，单位是，单位是m/sm/s，其中，其中Q Q表示燕子的耗表示燕子的耗氧量氧量.Q10(1)(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位？求燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)(2)当一只燕子的耗氧量是当一只燕子的耗氧量是8080个单位时，它的飞行速度个单位时，它的飞行速度是多少？是多少？【解
12、题指南】【解题指南】(1)(1)燕子静止时的耗氧量即燕子静止时的耗氧量即v=0v=0时时Q Q的值的值.(2)(2)两岁燕子的耗氧量是两岁燕子的耗氧量是8080个单位时，求它的飞行速度，个单位时，求它的飞行速度，即为当即为当Q=80Q=80时时v v的值的值.【解析】【解析】(1)(1)由题意，当燕子静止时，它的速度由题意，当燕子静止时，它的速度v=0v=0，代入题中给出的公式可得：代入题中给出的公式可得：0=5log0=5log2 2 ，解得，解得Q=10.Q=10.即燕子静止时的耗氧量是即燕子静止时的耗氧量是1010个单位个单位.(2)(2)将耗氧量将耗氧量Q=80Q=80代入题中给出的公
13、式得：代入题中给出的公式得：v=5logv=5log2 2 =5log=5log2 28=15(m/s).8=15(m/s).Q108010【延伸探究】【延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)本例中本例中“函数函数v=5logv=5log2 2 ”若换为若换为“v=5logv=5log2 2 ”，其他条件不变，试求燕子静止时，其他条件不变，试求燕子静止时的耗氧量的耗氧量.Q10Q100【解析】【解析】由题意，当燕子静止时，它的速度由题意，当燕子静止时，它的速度v=0v=0，所以，所以0=5log0=5log2 2 ，解得，解得Q=100Q=100，则燕子静止时的耗氧量是，则燕子静止时的耗氧量
14、是100100个单位个单位.Q1002.(2.(改变问法改变问法)本例条件不变，则当燕子的飞行速度为本例条件不变，则当燕子的飞行速度为v=5(m/s)v=5(m/s)时的耗氧量是多少？时的耗氧量是多少？【解析】【解析】因为因为v=5logv=5log2 2 ，v=5v=5，所以所以5log5log2 2 =5 =5，即即loglog2 2 =1 =1，故故 =2=2，所以，所以Q=20.Q=20.Q10Q10Q10Q10【规律总结】【规律总结】对数函数应用题的基本类型和求解策略对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函基本类型：有关对数函数的应用
15、题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解数解析式，然后根据实际问题再求解.(2)(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义式求值，然后根据数值回答其实际意义.【巩固训练】【巩固训练】2020世纪世纪7070年代，里克特制订了一种表明年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振的等级，地震能量越
16、大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M M，其计算公式，其计算公式为：为：M=lgA-lgAM=lgA-lgA0 0.其中其中A A是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，A A0 0是是“标准地震标准地震”的振幅的振幅.(1)(1)假设在一次地震中，一个距离震中假设在一次地震中，一个距离震中10001000千米的测震千米的测震仪记录的地震最大振幅是仪记录的地震最大振幅是2020，此时标准地震的振幅是，此时标准地震的振幅是0.0020.002，计算这次地震的震级，计算这次地震的震级.(2)5(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国
17、发生在汶川级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的的8 8级地震的最大振幅是级地震的最大振幅是5 5级地震的最大振幅的多少倍？级地震的最大振幅的多少倍？【解题指南】【解题指南】(1)(1)直接把数据代入公式计算；直接把数据代入公式计算；(2)(2)列出方程组，通过化简计算得出列出方程组，通过化简计算得出 .85AA【解析】【解析】(1)M=lgA-lgA(1)M=lgA-lgA0 0=即这次地震的震级为即这次地震的震级为4 4级级.(2)(2)即即8 8级地震的最大振幅是级地震的最大振幅是5 5级地震的最大振幅的级地震的最大振幅的10001000倍倍.0A20lglg4.A0.002508
18、05 lg Alg A8 lg Alg A,8855AAlg3,1 000.AA类型三：拟合型函数模型的应用类型三：拟合型函数模型的应用【典例【典例3 3】某个体经营者把开始六个月试销某个体经营者把开始六个月试销A A，B B两种商两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资投资A A种商品种商品金额金额(万元万元)1 12 23 34 45 56 6获纯利润获纯利润(万万元元)0.650.65 1.391.39 1.851.85 2 2 1.841.84 1.401.40投资投资B B种商品种商品金额金额(万元万元)1 12 23 34 45 56 6获纯利
19、润获纯利润(万元万元)0.250.25 0.490.49 0.760.76 1 1 1.261.26 1.511.51该经营者准备下月投入该经营者准备下月投入1212万元经营这两种商品，但不万元经营这两种商品，但不知投入知投入A A，B B两种商品各多少万元才合算两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字结果保留两位有效数字).).【解题指南】【解题指南】制定投资方案时，首先应确定好
20、两种商制定投资方案时，首先应确定好两种商品的投资金额与纯利润之间的函数关系，而题目未明品的投资金额与纯利润之间的函数关系，而题目未明确给出其满足的函数关系，仅仅给定了两个表格阐明确给出其满足的函数关系，仅仅给定了两个表格阐明两者之间的数量关系，很难看出其满足的函数模型，两者之间的数量关系，很难看出其满足的函数模型，因此可画出对应的散点图，根据散点图的特征找到其因此可画出对应的散点图，根据散点图的特征找到其满足的函数关系满足的函数关系.【解析】【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示面直角坐标系中画出散点图，如图所示.
21、观察散点图可以看出，观察散点图可以看出，A A种商品所获纯利润种商品所获纯利润y y万元与投万元与投资额资额x x万元之间的变化规律可以用二次函数模型进行模万元之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图拟，如图所示所示.取取(4(4，2)2)为最高点，则为最高点，则y=a(x-4)y=a(x-4)2 2+2+2，再把点，再把点(1(1，0.65)0.65)代入，得代入，得0.65=a(1-4)0.65=a(1-4)2 2+2+2，解得，解得a=-0.15a=-0.15，所以所以y=-0.15(x-4)y=-0.15(x-4)2 2+2.+2.B B种商品所获纯利润种商品所获纯利润y y万元
22、与投资额万元与投资额x x万元之间的变化规万元之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图如图所示所示.设设y=kx+by=kx+b，取点，取点(1(1，0.25)0.25)和和(4(4，1)1)，代入得，代入得0.25 k b,k 0.25,1 4k b,b 0 解得，所以所以y=0.25x.y=0.25x.即前六个月所获纯利润即前六个月所获纯利润y y关于月投资关于月投资A A种商品的金额种商品的金额x x的的函数关系式是函数关系式是y=-0.15(x-4)y=-0.15(x-4)2 2+2+2；前六个月所获纯利润；前六个月所获纯利润y
23、y关于月投资关于月投资B B种商品的金额种商品的金额x x的函数关系式是的函数关系式是y=0.25x.y=0.25x.设下月投入设下月投入A A，B B两种商品的资金分别为两种商品的资金分别为x xA A，x xB B(万元万元)，总利润为总利润为W(W(万元万元)，那么，那么 所以所以 当当x xA A=3.2(=3.2(万元万元)时，时，W W取最大值，约为取最大值，约为4.14.1万元，万元，此时此时x xB B=8.8(=8.8(万元万元).).即该经营者下月把即该经营者下月把1212万元中的万元中的3.23.2万元投资万元投资A A种商品，种商品，8.88.8万元投资万元投资B B种
24、商品，可获得最大利润约为种商品，可获得最大利润约为4.14.1万元万元.AB2ABABxx12,W yy0.15 x42 0.25x.22A1919W0.15x0.152.6.66()()196【规律总结】【规律总结】数据拟合问题的三种求解策略数据拟合问题的三种求解策略(1)(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解代入表中的数据，问题即可获解.(2)(2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则列式比较法：若题所涉及的
25、是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较可根据表格中的数据先列式，然后进行比较.(3)(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决.【拓展延伸】【拓展延伸】数据拟合过程中假设的作用数据拟合过程中假设的作用一般情况下数学建模，是离不开假设的，假设的作用一般情
26、况下数学建模，是离不开假设的，假设的作用主要表现在以下几个方面：主要表现在以下几个方面：(1)(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用，通常初步接触一个问题，会觉得围绕它的因的作用，通常初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛选，发现有的因素并无实质素非常多，经仔细分析筛选，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗，在假设时对这些因素就不需考虑则越发清晰明朗，在假设时对这些因素就不需考虑.(2)(2)降低解题难度，经过适当的假设就都可
27、以有能力建降低解题难度，经过适当的假设就都可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解立数学模型，并且得到相应的解.(3)(3)一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解而得到更满意的解.【巩固训练】【巩固训练】(2016(2016宁波高一检测宁波高一检测)某种计算机病毒某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5 5天监测天监测到的数据：到的数据：第第x x天天1 12 23 34 45 5被
28、感染的计算机数量被感染的计算机数量y(y(台台)1010 2020 3939 8181 160160则下列函数模型中能较好地反映计算机在第则下列函数模型中能较好地反映计算机在第x x天被感染天被感染的数量的数量y y与与x x之间的关系的是之间的关系的是()A.y=10 x B.y=5xA.y=10 x B.y=5x2 2-5x+10-5x+10C.y=5C.y=52 2x x D.y=10log D.y=10log2 2x+10 x+10【解析】【解析】选选C.C.由监测数据可知被感染的计算机数量由监测数据可知被感染的计算机数量y y随随着着x x增大增长速度越来越快增大增长速度越来越快.故选指数型函数故选指数型函数.对于对于y=5y=52 2x x，经检验，经检验x=1x=1时时y=5y=52=102=10，x=2x=2时，时，y=5y=52 22 2=20=20，x=3x=3时时y=5y=52 23 3=40=40，x=4x=4时时y=5y=52 24 4=80=80，x=5x=5时时y=5y=52 25 5=160.=160.与表中数据基本一致与表中数据基本一致.
