1、2.62.6 平面向量数量积的平面向量数量积的坐标表示坐标表示 如果没有运算，向量只是一个如果没有运算，向量只是一个“路标路标”，因，因为有了运算，向量的力量无限为有了运算，向量的力量无限.下面就让平面向量数量积坐标表示的运算顺下面就让平面向量数量积坐标表示的运算顺利起航吧！利起航吧！1.1.掌握掌握“平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示”这个重这个重要的知识点要的知识点.（重点）（重点）2.2.会用会用“平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示”的有关的有关知识解决实际问题知识解决实际问题.如判断垂直、求模、夹角等如判断垂直、求模、夹角等.（难点）（难点）问题问题
2、1 1：向量的加法、减法、数乘都可以用向量的加法、减法、数乘都可以用“坐标坐标语言语言”表示，向量的数量积能否由表示，向量的数量积能否由“坐标语言坐标语言”来来表示？表示？若两个向量若两个向量1122(,),(,)ax ybx y1122()()?a bxiy jx iy j 请计算下列式子：请计算下列式子：=i i =j j=ij=j i 设设x x轴上单位向量为轴上单位向量为,iy y轴上单位向量为轴上单位向量为,j1 11 10 00 0oxyijab【探索练习探索练习】12122112 x x i ix y ijx y j iy y j j 1 212.x xy y1122()()a
3、bx iy jx iy j这就是说，这就是说，两个向量的数量积等于相应坐标乘积两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和的和,即即1212.a bx xy y所以所以问题问题2 2：如何用向量的坐标来表示两向量数量积如何用向量的坐标来表示两向量数量积的相关性质？的相关性质？坐标表示为：坐标表示为：(1)(1)垂直的充要条件：垂直的充要条件：1122,ax ybxy设非零向量则12120.abx xy y0.aba b(2)(2)求模公式：求模公式：|.aa a 坐标表示为：坐标表示为：(,)设，则|=ax ya22.xy222121()().xxyy特别地：特别地：A B|AB|d，两点间的距离11
4、222121A(,)B,AB,若，(),则 x yx yxx yy坐标表示为：坐标表示为：cos|a ba b(3)(3)夹角公式：夹角公式：1122(,),(,),ax ybxyab设非零向量与 的夹角为，则121222221122cosx xy yxyxy例例1 1 已知已知 ，求向量，求向量 与与 的的夹角的余弦值夹角的余弦值.3,2a 1,1b ab22223 12126cos,26321126.26abab 设向量 与 的夹角为，则即向量 与 夹角的余弦值为解：技巧方法技巧方法:1.1.细心代入，精确计算细心代入，精确计算.2.2.分步计算，化整为零分步计算，化整为零.例例2 2 求
5、以点求以点C(C(,b b)为圆心，为圆心，r r为半径的圆的方程为半径的圆的方程.特别地：特别地：如果圆心在坐标原点上，这时如果圆心在坐标原点上，这时a=0,=0,b=0=0，那么圆的标准方程为那么圆的标准方程为 x2 2+y2 2=r2 2.xoy即圆的标准方程即圆的标准方程.解：解：设设M M（x,yx,y)是圆是圆C C上任意一点，上任意一点，所以所以(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r2 2,则则|=|=r,CM 即即 =r2 2.CM CM 因为因为 =（x-a,y-bx-a,y-b),),CM CM总结提升总结提升:设圆上任意一点设圆上任意一点M（x，y）
6、，构造向），构造向量量 ，利用向量的模为定值，列出，利用向量的模为定值，列出相等关系，化简即得所求曲线的方程相等关系，化简即得所求曲线的方程.MC yxo.例例3 3 已知圆已知圆C:C:（x-x-)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2，求与，求与圆圆C C相切于点相切于点P Po o（x xo o,y,yo o)的切线方程的切线方程.(.(如图如图)CP0P.l解解:设设P（x,y)为所求直线为所求直线 l上一点上一点.根据圆的切线性质，根据圆的切线性质，有有 ，即即 =0,0CPloCP0P P 因为因为 =(xo-,yo-b),=(x-xo,y-yo),所以所以(xo-)(
7、x-xo)+(yo-b)(y-yo)=0.0CP0P P 若若=0，b=0,圆的标准方程为圆的标准方程为x2+y2=r2，与它相切于，与它相切于P0（x0，y0）的切线方程为）的切线方程为x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，由于由于x02+y02=r2，故此方程可化为，故此方程可化为x0 x+y0y=r2.特别地：特别地：总结提升总结提升:将相关向量用坐标表示，根据互相垂将相关向量用坐标表示，根据互相垂直的向量的数量积等于零，写出表达直的向量的数量积等于零，写出表达式式.直线的方向向量直线的方向向量 由解析几何知，给定斜率为由解析几何知，给定斜率为k k的直线的直线l，则向量，则向量 =（
8、1 1，k k）与直线）与直线l共线，我们把与直线共线，我们把与直线l共线的非共线的非零向量零向量 称为直线称为直线l的的方向向量方向向量.mm例例4 4 已知直线已知直线l1 1:3x+4y-12=0:3x+4y-12=0和和l2 2:7x+y-28=0:7x+y-28=0，求，求直线直线l1 1和和l2 2的夹角的夹角.解解:任取直线任取直线l1和和l2的方向向量的方向向量222231,1,7.4cos31 1724cos,2311744512和设向量 与 夹角为，因为，从而所以，即直线 和 的夹角为45.mnmnm nm nll 提升总结提升总结:利用斜率为利用斜率为k k的直线的直线l
9、的方向向量为的方向向量为 =（1 1，k k），写出直线），写出直线l1 1和和l2 2的方向向量，的方向向量，然后运用向量的夹角公式计算出夹角的然后运用向量的夹角公式计算出夹角的余弦值，从而求出夹角余弦值，从而求出夹角.注意：注意：直线的夹角取值范围直线的夹角取值范围0,0,当求当求出的向量的夹角为钝角时，应取其补角出的向量的夹角为钝角时，应取其补角.2m1.1.已知点已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量则向量 在在 方向上的投影为方向上的投影为()()A.B.C.-D.-A.B.C.-D.-
10、ABCD 215322321533 22A AC C选选C.C.3.3.已知已知A(1A(1，2),B(4,0),C(82),B(4,0),C(8，6),D(56),D(5，8)8)，则四边，则四边形形ABCDABCD的形状是的形状是 .32314.4.给定两个向量给定两个向量 (3,4),(2,1)ab，若若()xab(),ab_则x()xab(),ab_x则.若若矩形矩形5.5.已知单位向量已知单位向量121cos,3，的夹角为，且=若向量ee1232,=则aeea36.6.已知向量已知向量 (1 sin),，a(1 cos)，b，则，则 的最大值为的最大值为_._.ab27.7.已知向量
11、已知向量（）求（）求 与与 的夹角的夹角的余弦值的余弦值.（）若向量（）若向量 与与 垂直，求垂直，求的值的值.(4,3),(1,2)ab abab2ab14(1)3 22,a b（）因为解：22|(1)25,b225c o s=.2 5|55abab所 以22|435,a又(2)(4,32),ab2(7,8),ab()(2),abab因 为7(4)8(32)0,所以52.9解得1.1.数量积的运算转化为向量的坐标运算：数量积的运算转化为向量的坐标运算：2 2.向量模的坐标公式：向量模的坐标公式：1 212 a bx xy y.1122()()已已 知知 两两 个个 向向 量量 a=x,y,b
12、=x,y，22(,),.ax yaxy设则.向量夹角的坐标公式：向量夹角的坐标公式：4.4.平行、垂直的坐标表示：平行、垂直的坐标表示：121222221122cos.x xy yxyxy1221/0.abx yx y12120.abx xy y5.5.三个重要公式三个重要公式 三个重要公式三个重要公式向量模公式：设向量模公式：设221111a(x,y),axy则两点间距离公式：若两点间距离公式：若1122A(x,y),B(x,y)，222121AB(xx)(yy)则向量的夹角公式：设两非零向量向量的夹角公式：设两非零向量1122121222221122a(x,y),b(x,yabx xy ya bcosa bxyxy )，与 的夹角为，则不患位之不尊，而患德之不崇；不耻禄之不伙，而耻智之不博.张衡
