1、 2020 届百校联考高考百日冲刺金卷届百校联考高考百日冲刺金卷 全国全国 II 卷卷理理数（三）数（三） 注意事项： 1本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置 3全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 4本试卷满分 150 分，测试时间 120 分钟 5考试范围：高考全部内容 第第 I 卷卷 一一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1已知集合|6MxN x，2,
2、1,0,1,2A ， 2 ,By yxxA，则 M C B （ ） A2,5,6 B2,3,6 C2,3,5,6 D0,2,3,5,6 2已知i是虚数单位，(2)5(1)zii，则z （ ） A1 3i B1 3i C1 3i D1 3i 3 在ABC中，2 3AB ，4AC ，D为BC上一点， 且3BCBD，2AD ， 则BC的长为 （ ） A 42 3 B 42 2 C4 D42 4在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正 六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律” 已知如图所示的多边形镶嵌的图形T，在T内随机取一点，则此 点取自正方形的概率是（
3、 ） A 2 3 B 4 3 74 3 C 7 74 3 D 1 2 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 正视图 侧视图 俯视图 A 24 3 3 B 212 3 3 C 44 3 3 D 412 3 3 6已知O为坐标原点，双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab的右焦点为F，点A，B分别在双曲线C的 两条渐近线上，AFx轴，0BO BA， 四边形OAFB为梯形， 则双曲线C离心率的取值范围是 （ ） A 2 3 1, 3 B 2 3 , 3 C 1,2 3 D 2 3, 7函数 2| | ( )2| x f xxxe的图象大致为（ ） A B C D 8如
4、图给出的是计算 11111 24640384040 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ） A4034?i B4036?i C4038?i D4042?i 9已知大于1的实数x，y满足log (2 )log (3 ) xy xy，则下列结论正确的是（ ） A 22 11 11xy B 22 ln1ln1xy Ctantanxy D 3 3 xy 10 已知抛物线 2 :2C ypx(0)p 的焦点到准线的距离为1， 若抛物线C上存在关于直线:20l xy 对称的不同两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为（ ） A1, 1 B2,0 C 13 , 22 D1,1 11 已知三棱柱 111 AB
5、CABC， 四边形 11 A ACC与 11 B BCC均为边长为2的正方形，M，N分别是 11 C B， 1 CC的中点，0CA CB，则BM与AN所成角的余弦值为（ ） A 1 5 B 2 5 C 4 5 D 21 5 12设函数( )sincosf xaxbx(0)在区间, 6 2 上单调，且 2 236 fff ， 当 12 x 时， f x取到最大值4，若将函数 f x的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数 g x的图象，则函数( ) 3 yg xx 零点的个数为（ ） A4 B5 C6 D7 第第 II 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分第第 13
6、 题题第第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答第第 22 题题第第 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13已知向量(2,1)a ，(2, 1)b ，则(2)bab_ 14已知函数( )ln()f xaxaR在0,0处的切线方程为yx，则满足021f x的x的取 值范围为_ 15若 3 sincos 63 ，则 2 cos2 3 _ 16某饮料厂生产A，B两种饮料生产1桶A饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B 饮料，需该特产原料
7、100公斤，需时间1小时，每天A饮料的产量不超过B饮料产量的2倍，每天生产两种 饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A饮料的时间不低于生产B饮料的时间，每桶A饮料 的利润是每桶B饮料利润的1.5倍， 若该饮料厂每天生产A饮料m桶，B饮料n桶时 * ,m nN利润最大， 则mn_ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知正项等比数列 n a满足 1 2a ， 2 37 32a a ，数列 n b的前n项和为 2 n Snn， （I）求 n a与 n b的通项公式； （II）设 , , n n nn a n c b
8、n 为偶数 为奇数 ，求数列 n c的前2n项和 2n T 18已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收 费10元的基础上，每超过1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元该快递公司承揽了一个工艺品厂家的 全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如下： 表 1 包裹重量kg 0,1 1,2 2,3 3,4 4,5 包裹数 40 25 20 10 5 损坏件数 1 3 2 3 0 表 2 包裹重量kg 0,1 1,2 2,3 3,4 4,5 出厂价（元/件） 20 25 30 40 50 卖价（元/件）
9、60 65 70 90 110 （I）估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值； （II）将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客 户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的90%赔偿给厂家现该厂准备给客户邮寄重量在区 间2,3和3,4内的工艺品各1件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望 19 如图， 在三棱锥ABCD中，ABD是等边三角形，BCCD，2BCCD，E为三棱锥ABCD 外一点，且CDE为等边三角形 （I）证明：ACBD； （II）若平面ABD 平面BCD，平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为 3 3 ，求BE
10、的长 20在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1 xy E ab (0)ab的四个顶点围成的四边形面积为2 2，圆 22 :1O xy经过椭圆E的短轴端点 （I）求椭圆E的方程； （）过椭圆E的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆E相交于A，C和B，D四点，求四边形 ABCD面积的最小值 21已知函数( )ln() xa f xax x (0)a 的最小值为0 （I）求 f x的解析式； （II）若函数 1 ( )( ) 2 g xf xm x 有两个零点 1 x， 2 x，且 12 xx，求证： 12 1xx 请考生从第请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用题中任选一题作答
11、，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方 框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题不涂，按本选考题 的首题进行评分的首题进行评分 22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 1 2 2 1 2 xt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A，B，C的极坐标分别为4, 6 ， 5 4, 6 ， 3 4, 2 ，且ABC 的顶点都在圆 2 C上，将圆
12、2 C向右平移3个单位长度后，得到曲线 3 C （I）求曲线 3 C的直角坐标方程； （II）设1,1M，曲线 1 C与 3 C相交于P，Q两点，求| |MPMQ的值 23 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数( ) |31|2|f xxx （I）求不等式 3f x 的解集； （II）若1m，1n ，对x R，不等式 22 5 3loglog ( ) mn f x 恒成立，求mn的最小值 2020 届百校联考高考百日冲刺金卷届百校联考高考百日冲刺金卷 全国全国 II 卷卷理理数（三）答案数（三）答案 1C 【解析】根据题意， 2 |,0,1,4By yxxA，所以 2,3,5,6 M C B
13、 2B 【解析】 5(1)5(1)(2) 1 3 25 iii zi i 1 3zi 3D 【解析】设BDx，由余弦定理 222 (2 )22 cosACADxADxADC； 222 2cosABADxAD xADB； 即 222 42(2 )2 2 2 cosxxADC ； 222 (2 3)22 2 cosxxADB ， 可得 42 3 x ，所以42BC 4B 【解析】设小三角形的边长为1，每个小三角形的面积为 3 4 ，7个小三角形的面积之和为 37 3 7 44 ，又长方形的长为1，所以3个正方形的面积为3，所以此点取自正方形的概率是 34 3 7 374 3 3 4 5A 【解析】
14、结合三视图可得该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面边长为2，高为3的正四棱 锥，上半部分是一个直径为2的半球，则该几何体的体积为： 32 2124 3 123 333 V 6 A 【解析】 设,0F c， 所以 22 cab， 直线OB的方程为 b yx a ， 直线BF的方程为() b yxc a ， 解得, 22 cbc B a ，, 2 2 c bc BO a ，又直线OA的方程为 b yx a ，则, bc A c a ， 3 , 2 2 cbc BA a ，又 因为0BO BA，所以 222 2 3 0 44 cb c a ， 2 2 1 3 b a ， 2 4 3 e， 2 3
15、 1 3 e 7B 【解析】根据题意， 2| | ( )2| x f xxxe显然为偶函数，排除 C； 代入1x ，则(1)1fe ，排除 A，D故选 B 8C 【解析】根据题意，可得2i ， 11 24 T ，6i ， 1111 2468 T ，10i ， 111111 24681012 T ， 14i ， 11111111 246810121416 T ， 4038i ， 11111111 2468101240384040 T 9B 【解析】因为 2 1 log (2 )1 log 21 log xx x x ， 3 1 log (3 )1 log 31 log yy y y ，因为log
16、 (2 )log (3 ) xy xy， 所以 23 11 11 loglogxy ， 23 loglogxy，1xy ，A 中应为 22 11 11xy ， C 中tan x，tan y大小不确定，D 中应为 3 3 xy 10A 【解析】因为焦点到准线的距离为p，则1p ， 所以 2 2yx设点 11 ,P x y， 22 ,Q xy 则 2 11 2 22 2 2 yx yx ，则 121212 2yyyyxx， 12 2 PQ k yy ，又P，Q关于直线l对称1 PQ k ，即 12 2yy ， 12 1 2 yy ， 又PQ的中点一定在直线l上， 1212 21 22 xxyy 线
17、段PQ的中点坐标为 1, 1 11B 【解析】根据0CA CB，可知ACBC，取BC中点D，连接 1 C D，再取CD的中点E，连 接EN， 则 1 / /ENC D， 同理可证 1 / /BMC D， 所以ANE为异面直线BM与AN所成的角 （或其补角） 又 1CN ， 根 据 勾 股 定 理 ，5AN ， 5 2 EN ， 17 2 AE ， 在AEN中 ， 由 余 弦 定 理 得 222 2 cos 25 ANENAE ANE AN EN ，故异面直线BM与AN所成角的余弦值为 2 5 12D 【解析】设 22 ( )sin()f xabx(0)， 1 2 2622 T ，即03， 又
18、2 236 fff ， 2 7 23 212 x 为 22 ( )sin()f xabx的一条对称轴， 且 26 23 ，则,0 3 为 22 ( )sin()f xabx的一个对称中心，由于03，所以 7 12 x 与,0 3 为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，则 7 4 123 T ，2 又 22 4ab，且 22 sincos 121212 fab ，解之得2a ，2 3b 故( )2sin22 3cos24sin 2 3 f xxxx ，由图象变换可得，( )4sin 3 g xx 因为( )4sin 3 g xx 在,0 3 处的切线斜率为4cos4 333 g ， 3 yx 在
19、,0 3 处切线斜率不存在，即切线方程为 3 x 所以 3 x 右侧 g x图象较缓如图所示，同时4 3 x 时，16 3 x ，所以( ) 3 yg xx 的 零点有7个 131 【解析】根据题意，2(2,3)ab，(2)431bab 142,1e 【解析】因为 1 ( )fx ax ， 1 (0)1f a ， 1a ，所以( )ln(1)f xx， f x是 ( 1,) 上的增函数，又 00f，(1)ln(1 1)1f ee ，所以021xe ，21xe 15 7 9 【解析】由 3 sincos 63 ，展开化简可得 1 sin 33 ， 所以 2 2 217 cos21 2sin1 2
20、 3339 167 【解析】设每天A，B两种饮料的生产数量分别为x桶，y桶，则有 0,0 2 3 1001007500 xy xy xy yx 则其表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数为1.5zxy，则1.5yxz ，z表示直线在y轴 上的截距，因为x，y只取整数，所以当直线1.5yxz 经过点4,3即4m，3n时，z取得最大 值，则7mn 17 【解析】 （I）根据题意， 1 2a ， 22 5 32a， 1 2a， 5 32a ，2q，所以2n n a ， 因为 2 n Snn， 22 1 (1)(1)22 nnn bSSnnnnn (2)n ， 又 11 0bS，所以22 n bn
21、（II）根据题意，数列 n c的奇数项构成一个等比数列，首项为2，公比为4； 数列 n c的偶数项构成一个等差数列，首项为2，公差为4， 所以 21 2 2 2 1 4 (242)22 2 1 423 n n n nn Tn ； 故 21 2 2 22 2 3 n n Tn 18 【解析】 （I）根据题意，设公司对每件包裹收取的快递费的平均值为x， 40 1025 1520 20 10 255 30 15.75 100 x （元） （II）重量在2,3的产品数为20，其损坏率为 2 0.1 20 重量在3,4的产品数为10，其损坏率为 3 0.3 10 ， 设重量在2,3的这件产品的利润记为X
22、， 则 1 70302020X ， 2 (3020)30 0.923X ， 设重量在3,4的这件产品的利润记为Y， 则 1 90402525Y ， 2 (4025)40 0.929Y ， 所以45XY，2，9，52， 则(45)0.9 0.70.63P XY，(9)0.9 0.30.27P XY ， (52)0.1 0.30.03P XY ， 所以其分布列为： 利润 45 2 9 52 P 0.63 0.07 0.27 0.03 根据题意，()45 0.632 0.079 0.2752 0.0324.5E XY 19 【解析】 （I）取BD的中点O，连接OC，OA， 因为ABD是等边三角形，所
23、以AOBD， 又因为BCCD，所以COBD， 因为COAOO，所以BD 平面AOC， 因为AC 平面AOC，故ACBD （II）因为平面ABD 平面BCD， 平面ABD平面CBDBD， 所以AO 平面BCD， 且2BD ，3AO ， 故以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系， 取CD的中点F，连接OF，EF， 同理可证CD平面EOF， 2 2 OF ， 6 2 EF ， 设EFO， 则(0,0,0)O，(1,0,0)C，(0,1,0)D，(0,0, 3)A，0, 1,0B 31316 cos,cos,sin 22222 E 所以( 1,1,0)CD ， 31316 c
24、os,cos,sin 22222 CE ， 设平面ECD的一个法向量为( , , )nx y z， 则 0 0 CD n CE n ， 0 31316 coscossin0 22222 xy xyz ， 令1x ，则 cos 1,1,2 sin n 因为平面ABD的一个法向量为(1,0,0)OC ， 所以 2 2 13 |cos,| 3 cos 22 sin OC n ， 2 2 cos1 sin2 所以 3 cos 3 ， 6 sin 3 ， 所以(1,1,1)E或(0,0,1)E 因为E为三棱锥ABCD外一点， 所以1,1,1E， 所以6BE 20【解析】（I） 根据题意， 四个顶点围成的
25、四边形为菱形， 其面积为 1 2222 2 2 abab，2ab， 因为圆 22 :1O xy经过椭圆E的两个短轴端点，则1b， 所以2a ，1b， 故椭圆E的方程为 2 2 1 2 x y （II）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的方程为(1)yk x(0)k ， 由 2 2 (1) 1 2 yk x x y 消去y得， 2222 214220kxk xk 2 12 2 4 1 2 k xx k ， 2 12 2 22 12 k xx k 2 2 2 21 | 21 k AC k 同理得， 2 2 2 21 | 2 k BD k 令 2 1kt ，则 2 416 11 9 2 S
26、tt 当直线AC的斜率不存在时，2AC ，2 2BD 1 | 2 2 SACBD 当直线AC的斜率为零时，2 2AC ，2BD ， 1 | 2 2 SACBD 16 2 9 ，四边形ABCD面积的最小值为16 9 21 【解析】 （I）由题意知，定义域为0,， 从而 2 ( ) xa fx x ，令 0fx ，由于0a ， 则xa； 故当xa时， 0fx， f x单调递增， 当0xa时， 0fx， f x单调递减， 故 min ( )( )2lnf xf aa，所以2ln0a ，1a ， 故 11 ( )lnln1 x f xxx xx （II）根据题意， 1 ( )ln1 2 g xxm x
27、 (0)x ， 因为 1 x， 2 x是函数 1 ( )ln1 2 g xxm x 的两个零点， 所以 1 1 1 ln10 2 xm x ， 2 2 1 ln10 2 xm x 两式相减，可得 1 221 11 ln 22 x xxx 即 112 212 ln 2 xxx xx x ，故 12 12 1 2 2ln xx x x x x 那么 1 2 1 1 2 1 2ln x x x x x ， 2 1 2 1 2 1 2ln x x x x x 令 1 2 x t x ，其中01t ， 则 12 11 1 1 2ln2ln2ln t t tt xx ttt ， 构造函数 1 ( )2ln
28、h ttt t ，则 2 2 (1) ( ) t h t t 对于01t ， 0h t恒成立，故 10h th， 即 1 2ln0tt t 可知 1 1 2ln t t t ，故 12 1xx 22 【解析】 （I）由cosx，siny可得点A的直角坐标为 2 3,2A， 点B的直角坐标为 2 3,2B ， 点C的直角坐标为0, 4C 设圆 2 C的直角坐标方程为 222 ()xymr，代入A，C可得 22 22 12(2) ( 4) mr mr ，0m，4r ， 所以圆 2 C的直角坐标方程为 22 16xy， 故曲线 3 C的直角坐标方程为 22 (3)16xy （II）由（I）联立曲线
29、1 C， 3 C可得 22 22 13116 22 tt ， 整理可得 2 3 2110tt， 所以 12 3 2tt， 1 2 11t t 所以 121 2 | | |11MPMQtttt 23 【解析】 （I）原不等式可化为|31|2| 3xx， 当 1 3 x 时，原不等式可化为31 23xx ， 解得0x，所以0x； 当 1 2 3 x时，原不等式可化为31 23xx ， 解得1x，所以12x； 当2x时，原不等式可化为31 23xx ，解得 3 2 x ，所以2x， 综上所述，不等式的解集为 |0 1x xx或 （II）因为 1 43, 3 1 ( )21,2 3 43,2 xx f xxx xx 所以 min 15 ( ) 33 f xf 由 22 5 3loglog ( ) mn f x 恒成立知， 不等式 22 loglog1mn恒成立 因为 2222 loglog2 loglog2mnmn， 2 log ()2m n，4m n ，当且仅当2mn时等号成立 故mn的最小值为4
