1、 百校联考百校联考 2020 年高考考前冲刺必刷卷（三）年高考考前冲刺必刷卷（三） 理科数学理科数学 第第卷卷 一一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 02Axx 1 2 log2Bxx ，则AB（ ） A.R B. 02xx C.0x x D. 1 2 4 xx 2.已知1,2A ，2 1B，若点C满足0ACAB，则点C坐标为（ ） A. 1 1 , 2 2 B.3,3 C.33 D.4,5 3.已知命题 0 :0,px，使得 0
2、sinxa命题:q对 1 ,3 2 x ， 1 1a x 若pq为真命题，则a的取值范 围是（ ） A. 4 0, 3 B.0,3 C. 4 1, 3 D.1,3 4.已知点cos300 ,sin0()30P是角a终边上一点，则sincosaa（ ） A. 31 22 B. 31 22 C. 31 22 D. 31 22 5.已知 2 1 lnf xxax x 奇函数，则曲线 f x在1x 处的切线方程为（ ） A.230xy B.210xy C.210xy D.20xy 6. 直 线ya与 函 数 t an0 4 fxx 的 图 象 的 相 邻 两 个 交 点 的距离 为2， 若 f x在
3、(,0)m m m上是增函数，则m的取值范围是（ ） A.0, 4 B.0, 2 C. 3 0, 4 D. 3 0, 2 7.已知定义在R上的偶函数 f x满足 20f xfx，且0,1x时 2 f xxx，则方程 1 4 f x 的 解集为（ ） A. B. 3 4,Z 2 x xkk C. 3 4,Z 2 x xkk D. 3 2,Z 2 x xkk 8.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术” 用现代式子表示即为：在ABC中，角 ABC， ，所对的边分别为abc， ，则ABC的面积 2 222 21 42 abc Sab .根据此公式.若 cos3co0saBbcA，且 22
4、2 2abc，则ABC的面积为（ ） A. 2 B.2 2 C. 6 D.2 3 9 在平行四边形ABCD中，点P在对角线AC上，且 2AC ，则PBPDPA（ ） A.最大值为 1 2 ，没有最小值 B.最小值为 1 2 ，没有最大值 C.最小值为 1 2 ，最大值为 4 D 最小值为4 ，最大值为 1 2 10.已知 1 4 a ， 5 ln 4 b ，c满足 1 2 2log c c ，则下列关系正确的是（ ） A.abc B.cab C. acb D.bca 11.已知函数 sin0f xx 满足 0 1 ) 2 1(f xf x 0 ，且 f x在 00 ,1x x 上有最小值，没有
5、 最大值.给出下述四个结论： 0 1 1 2 fx ；若 0 0x ，则 sin 2 6 f xx ； f x的最小正周期为 3； f x在0,2019上 的零点个数最少为 1346 个. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. B. C. D. 12.已知函数 2 2 x f xxx e，若方程 f xa有 3 个不同的实根 123123 ,x x xxxx ，则 2 2 a x 的取值范围是（ ） A. 1 ,0 e B. 2 2 ,0 e C. 2 2 2 , 2e e D. 2 0, 2e 第第卷卷 二二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13.
6、 2 3 1 2 2 ,2 2,2 x xx f x x ，若且 2f a ，则a _. 14.若 1 tan3 tan x x 则 44 sincosxx_. 15.已知ABC中， 3AB ，5AC ，7BC ，若点D满足 11 32 ADABAC，则DB DC _. 16.在ABC中，角A BC， ，所对的边分别为abc， ，若cos2cosbCB，且2c ，则ABC面积的最大 值为_. 三三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤. 17.已知 ( sin0,0.0)f xAxA 的部分图象如图所示. （1）写出A，的值（直接写出结果
7、） ； （2）若 cos2g xf xx，求 g x在0, 4 上的值域. 18. 已 知 定 义 域 为 ()(,00,)I 的 函 数 f x 满 足 对 任 意 12 (,0,)0x x ， 都 有 121221 x xx fxxxff. （1）求证： f x是奇函数； （2）设 g x x f x ，且1x 时 0g x ， 求证： g x在(0,)上是减函数； 求不等式 213gxgx 的解集. 19.如图， 在ABC中， 3 A ， 在CDE中，4CE ，BCCD， ACCD，ACE， ，三点共线，DFCE 于点F，3DF . （1）若 6 DCE .求DE （2）求BC的最小值。
8、 20.已知函数 ln R() x a f xxea a . （1）若1a ，讨论 f x的单调性； （2）若1a ，求证： 0f x . 21.中国共产党十六届五中全会提出要按照“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的要 求，扎实推进社会主义新农村建设，2018 年 4 月习近平近日作出重要指示强调，要结合实施农村人居环境 整治三年行动计划和乡村振兴战略，建设好生态宜居的美丽乡村。为推进新农村建设某自然村计划在村边 一块废弃的五边形荒地上设置一个绿化区，如图所示，边界ABBCCDDEEA，以及对角线BE均为绿 化区小路（不考虑宽度） ，120BCDCDEBAE ，100 3BC
9、CDm，400DEm. （1）求四边形BCDE的面积； （2）求绿化区所有小路长度之和的最大值。 22.已知函数 2 1 x f xxae. （1）若 f x有两个不同的极值点 12 ,x x，求实数a的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证： 12 4 xx ee a . 百校联考百校联考 2020 年高考考前冲刺必刷卷（三年高考考前冲刺必刷卷（三） 理科数学理科数学 参考答案参考答案 本试卷防伪处为：角终边上一点 求四边形BCDE的面积 1.C【解析】因为 1 2 log 1 02 4 2Axx xxxBx ，所以0ABx x. 2.D【解析】设 ,C x y，由 0ACAB得ACBA，
10、即 1,23,3xy ，所以 13 23 x y ， 解得 4 5 x y ，所以点C坐标为4,5. 3.A【解析】p q 为真命题，则 , p q都是真命题，由p为真命题,得 0a ，由q为真命题，得 4 3 a ， 所以 4 0 3 x. 4.D【解析】由点 cos300 ,sin300P是角终边上一点，可得 31 sincossin300cos300 22 . 5.A【解析】由 2 1 lnf xxax x 是奇函数，可得 0,11af，当0x 时 1 lnf xxx x ， 2 1 ln1fxx x ，1 2f ， 所 以 曲 线 f x在1x 处 的 切 线 方 程 为 121yx
11、， 即 230xy. 6.B【解析】直线 ya 与函数 f x的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以 1 2 ， 1 tan 24 f xx ， 由 1 2242 kxk ， 得 3 22Z 22 kxkk ， 所 以 f x在 3 , 22 上是增函数，由 3 , 22 m m 得0 2 m . 7.C【解析】由 f x为偶函数且 20f xfx，得 f x是周期为 4 的周期函数，当2,2x 时， 1 4 f x 的解集为 3 3 , 2 2 ，所以方程 1 4 f x 的解集为 3 4,Z 2 x xkk . 8.A【解析】由 cos3cos0aBbcA得sincoscossin 3
12、sincos0ABABCA 即sin3sincos0ABCA,即sin1 3cos0CA，因为sin0C ，所以 1 cos 3 A ， 由 余 弦 定 理 得 222 2 2c o s2 3 abcb cAb c ， 所 以3bc ， 由ABC的 面 积 公 式 得 2 222 2 22 11 312 424 cba Sbc （也可由 1 cos 3 A ，求出 2 2 sin 3 A,得ABC 的面积 1 sin2 2 SbcA） 9.C 【 解 析 】 连 接BD与AC交 于 点O， 若 点P在 线 段 AO上 ， 则 2 2 11 2222 222 POPA PBPDPAPO PAPO
13、 PA ， 点P在 线 段OC上 ， 则 2222 1 24PBPDPAPO PAPO PACO CA ，故最小值为 1 2 ，最大值为4. 10.B【解析】由 1 4 1 2 1 22log 4 ， 1 1 2 20log 1 ，可得 1 1 4 c，构造函数 ln)11(f xxxx，则 1 10fx x ，所以 f x在1,)上是减函数，由 5 1 4 ff 得 51 ln 44 . 11.C【解析】由题意可得 f x在区间 00 ,1x x 的中点处取得最小值，所以 0 1 1 2 fx ，正确；对于 函数 sin 2 6 f xx ， 1 1 3 f ， 1 3 f 为 f x在0,
14、1上的最大值，不满足已知条件，所以错误； 因为 0 1 ()1 2 f xf x 0 ，且 f x在 00 ,1x x 上有最小值，没有最大值，不妨令 0 5 2 6 xk ， 0 12Z 6 xkk ，两式相减得 2 3 ，所以 f x的最小正周期 2 3T ，正确；区间 0,2019的长度恰好为 673 个周期，当 00f时，即k时， f x在0,2019上的零点个数最少为 673211345 ，错误. 12.A【解析】由 2 2 x f xxx e得 2 2 x fxxe，所以 f x在 ,2 ， 2,上是增函数，在 2,2上是减函数，结合 f x的图象可得 2 20x，又 2 2 2
15、22 22 x f xa x e xx ， 设 0)2( x g xxex则 (1) x gxxe，所以 g x在 2, 1上是减函数，在1,0上是增函数，由 由 1 1g e ， 2 22ge ， 00g，可得 2 2 a x 的取值范围是 1 ,0 e . 13. 2 2 或6【解析】若2a ，由 2 3 2f aa ，得 2 8a ，所以2 2a （舍去）或2 2a ，若2a ， 由 1 2 2 22 a 得6a . 14. 7 9 【解析】由 1 tan3 tan x x 得 22 sincossincos1 3 cossinsin cossin cos xxxx xxxxxx ，所以
16、 1 sin cos 3 xx ， 所以 2 44 27 sincos12 sin cos1 99 xxx . 15.12【解析】 由 2 222 2BCACABACABAB AC及3AB ，5AC ，7BC 得 15 2 AB AC ， 所以 2221112112515 212 322394244 DB DCABADACADABACACABABACAB AC 16.3【解析】由cos2 cosbCcB得sincos 2cossinBCBC， 所以sinsinsincoscossin3cossinABCBCBCBC，由2c ，可得 2 sinsinsin ab CAB ， 所以 2sin si
17、n A a C ， 2sin sin B b C ， 所以 2 11 4sinsinsin sinsin2sin6sincos3sin23 22sinsin ABC ABA SabCCBBBB CC ， 当 4 B 时ABC面积取得最大值 3. 17.【解析】 （1）2A，2， 3 ， （2）由（1）知， 2sin 2sin23cos2 3 f xxxx ， 所以 2 3 1cos41 sin2 cos23cos 2sin4 22 x g xxxxx 3 sin 4 32 x ， 当 0, 4 x 时， 4 4 333 x ，所以 3 sin 41 23 x ， 所以 3 01 2 g x ，
18、即 g x在0, 4 上的值域为 3 0,1 2 . 18.【解析】 （1）取 12 1xx，得 10f， 取 12 1xx ，得 1 110 2 ff ， 取 12 ,1xx x ，得 1fxf xxff x， 所以 f x是奇函数. （2）由 f x g x x 及 1 21221 f x xx f xx f x ， 可得 g x是偶函数且 1 212 g x xg xg x ， 设 12 0xx，则 1 2 1 x x ， 由1x 时 0g x ，得 1 2 0 x g x ， 所以 11 1222 22 xx g xg xg xgg x xx ， 所以 g x在0,上是减函数. 由 g
19、 x是偶函数且在0,上是减函数， 可 得 22 1 210 2 213213300 213213 x x gxgxgxgxxx xxxx 1x 或 11 52 x或 1 2 x ， 所以不等式 213gxgx 的解集为 1 11 , 1, 5 22 . 19.【解析】 （1）由3DF ， 6 DCE 及DFCE得 22 3CDDF， 在CDE中，由余弦定理得 222 2cosDECDCECD CEDCE 3 121622 344 2 ， 所以2DE . （2）设DCEa，则 3 sin ACCD a ， 在ABC中， 3 A ， 2 ACBa ， 6 ABCa ， 由正弦定理得 sinsin
20、BCAC AABC ，即 所以 sin3 sin 2sin sin 6 ACA BC ABC aa 2 33 3sinsin cos331 cos2sin2 222 aaa aa 33 6 23 33 sin 21 322 a . 当2 32 a ，即 5 12 a 时取等号. 所以BC的最小值为 6 23. 20.【解析】 （1）当1a 时， 1 ln1 x f xxe ， 所以 1 1 x fxe x 显然 fx 在(0, )上是减函数，且 10 f ， 所以 0,1x 时， 0fx ， f x是增函数， ,()1x时， 0fx ， f x是减函数， 故 f x在0,1上是增函数，在(1,
21、)上是减函数. （2）由 ln x a f xxea 得 1 x a fxe x ， fx 在(0,)十是减函数，1x 且x a时 1 0 x a fxe x ， 当1x 且x a时， 1 0 x a fxe x ， 所以存在 0 0(),x ，使得 0 0fx ， 所以 f x在 0 0,x 上是增函数，在 0 (),x 上是减函数， 0 f xf x ， 由 0 0fx 得 0 0 1 xa e x ， 00 ln xxa， 00 lnaxx ， 由1a 得 0 01x 因为 0 0000 0 1 ln2ln xa f xxeaxx x ， 设 1 2ln()01g xxxx x ， 则
22、g x在0,1上是增函数， 所以 10g xg，即 0 0f x ， 所以 0f x . 21.【解析】 （1）连接BD，BCD的面积 2 1 1 sin7500 3 2 SBC CDBCDm， 在BCD中，由余弦定理得 222 2cos90000BDBCCDBC CDBCD， 所以300BDm. 又BCCD，所以30CBDCDB ， 又120CDE所以90BDE， 所以BDE的面积 2 2 1 60000 2 SBD DEm 所以四边形BCDE的面积 2 12 600007500 3SSSm. （2）由已知及（1）可知100 3BCCDm，400DEm， 22 500BEBDDEm ， 可知
23、要使所有绿化区小路长度之和最大时，应使ABAE最大， 在BAE中由余弦定理得 222 2cosBEABAEAB AEBAE 即 2222 22 13 250000 44 ABAEAB AEABAEAB AEABAEABAEABAE， 所以 1000 3 3 ABAEm，当且仅当 500 3 3 ABAEm时取等号. 此时绿化区所有小路长度之和取得最大值为 1600 3 900 3 m. 22【解析】 （1）由 2 1 x f xxae得 2 x fxxae. f x有两个不同的极值点 12 ,x x，则 f x有两个不同的零点， 即方程 2 x x a e 有两个不同的实根， 即直线y a 与
24、 2 x x y e 的图象有两个不同的交点， 设 2 x x g x e ，则 2 1 x x gx e ， ),(1x 时 0g x ， g x单调递增， 且 g x的取值范围是 2 , e ， ,()1x时 0g x ， g x单调递减, 且 g x的取值范围是 2 0, e ， 所以当 2 0a e 时，直线y a 与 2 x x y e 的图象有两个不同的交点， f x有两个不同的极值点 12 ,x x， 故实数a的取值范围是 2 0, e . （2）由（1）知 2 0a e ，设 12 xx， 则 12 01xx ， 由 1 2 1 2 2 2 x x xae xae 得 12 1
25、2 2 xx xxa ee ， 12 12 2 xx xx a ee 所以要证 12 4 xx ee a ，只需证 12 4 xx a ee ， 即证 12 12 12 2 xx xx xxee ee ， 即证 12 12 12 1 2 1 xx xx xxe e ， 设 12 0xxt t ，即证 1 2 1 t t t e e ， 即证 21 0 1 t t e t e ， 设 21 0 1 t t e g ttt e ， 则 2 1 0 1 t t e g t e 所以 g t在,0 是增函数， 00g tg ， 所以 21 0 1 t t e t e ，从而有 12 4 xx ee a .
