1、 数学（文科）试题 第 1 页（共 5 页） 安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试 数学（文科） 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再填涂其他答案标号。 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的。 1. 已知集合 | 21Axx 或23x，集合
2、2, 1,1,2,3B ，则集合AB中的元素 个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知复数z满足：i34iz （i为虚数单位），则z A. 43i B. 43i C. 43i D. 43i 3. 已知命题:p 2 1, 2log1 x xx ，则p为 A. 2 1, 2log1 x xx B. 2 1, 2log1 x xx C. 2 1, 2log1 x xx D. 2 1, 2log1 x xx 4. 为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度某地区在 2015年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%2015年 开始全面实施
3、“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项 目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱 贫率见下表： 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业 参加户占比 40% 40% 10% 10% 脱贫率 95% 95% 90% 90% 那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）倍 A. 7 5 B. 48 35 C. 47 35 D. 37 28 5. 已知首项为正数的等比数列 n a中， 2479 414 99 , 22 aaaa，则 13 a A. 9 3 2 B. 12 3 2 C. 9 3 2 D. 12
4、3 2 6. 已知函数sin() 3 yx 的定义域为 , a b，值域为 1 ,1 2 ，则ba的值可能为 A. 3 B. C. 3 2 D. 2 数学（文科）试题 第 2 页（共 5 页） 7. 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，O为坐标原点， 以OF为直径的圆 与双曲线C的一条渐近线交于点O及点 33 ( ,) 22 A，则双曲线C的方程为 A 2 2 1 3 x y B 2 2 1 3 y x C 22 1 62 xy D 22 1 26 xy 8. 易经包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用， 易经的博大精深， 对今天的几何学和其它学
5、科仍有深刻的影响. 下图就是易经中记载的几何图形 八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边 梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10 m，代表阴阳太极图的圆的半径为4 m，则 每块八卦田的面积约为 A 2 114 m B 2 57 m C 2 54 m D 2 48 m 9. 锐角ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，若sin2cos0 4 ABC （）（）， 6,31bc，则角C的大小为 A. 12 B. 6 C. 3 D. 5 12 10. 函数sin |yxx在 2 ,2 x 上的大致图象是 A B C D 11. 若定义在R上的增函
6、数(1)yf x的图象关于点(1,0)对称，且(2)2f，令 ( )( )1g xf x，则下列结论不 一定成立的是 A. (1)0g B. (0)1g C. ( 1)(1)0gg D. ( 1)(2)2gg x y O22 x y O22 x y O22 x y O22 数学（文科）试题 第 3 页（共 5 页） 12. 如图所示，棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D中，P为线段 1 AB的中点， ,M N分 别 为体对角线 1 AC和棱 11 C D上任意一点，则 2 2 PMMN的最小值为 A. 2 4 B. 2 2 C. 1 D. 2 二、填空题：本题共 4 小题，每题 5
7、分，共 20 分。 13. 已知平面向量, a b ， 满足| 1,| 2ab ， 2 2()baab ， 则向量, a b 的夹角为 . 14. 已知函数( )2sin(2)1,0, 62 f xxx ，则使得( )0f x 的x的取值范围为 . 15. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 . 16. 已知点P为直线40axy上一点，,PA PB是椭圆 2 2 2 :1 x Cy a (1)a 的两条切线，若恰好存在一点P使得PAPB，则椭圆C的 离心率为 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都
8、必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17.（12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 1* 2333() n nn San N. （1）设 3 n n n a b ，求证：数列 n b为等差数列，并求出数列 n a的通项公式； （2）设 3 nn n n aa c n ， 123nn Tcccc，求 n T （第 15 题图） 33 1 4 正视图 侧视图 俯视图 P M N A BC D 1 D1 A 1 B 1 C 数学（文科）试题 第 4 页（共 5 页） 18.（12 分） 受“非洲猪瘟”的影响，10月份起，某地猪肉的单价随着
9、每周供应量的不足而上涨， 具体情形统计如下表所示： 自受影响后第x周 1 2 3 4 5 猪肉单价y（元/斤） 16 18.5 20.6 23.7 26.2 （1）求猪肉单价y关于x的线性回归方程 ybxa； （2）当地有关部门已于 11 月初购入进口猪肉，如果猪肉单价超过30元/斤，则释放进 口猪肉增加市场供应量以调控猪肉价格， 试判断自受影响后第几周开始需要释放进口猪肉？ 参考数据： 5 1 340.6 ii i x y ，参考公式： 1 22 1 , n ii i n i i x ynx y baybx xnx . 19.（12 分） 如图， 四棱锥PABCD中， 侧面PAB是等腰直角三
10、角形，PAPB，BC 平面PAB， 2,5ABBCADBD. （1）求证：PA 平面PBC； （2）求顶点C到平面PAD的距离. 20.（12 分） 已知函数( )(cos )1 xx f xe ex，且曲线( )yf x在0x 处的切线经过点( 1, 2) （1）求实数的值； （2）若函数 ( ) ( ) x f x g x e ，试判断函数( )g x的零点个数并证明 P AB C D 数学（文科）试题 第 5 页（共 5 页） 21. （12 分） 已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F， 点( ,3)A a，P为抛物线C上一动点，O为坐标原点 （1）若|PAPF的最小值为5，求实数a的
11、值； （2）若梯形OPMN内接于抛物线C，OPMN，,OM PN的交点恰为A，且 | 5 13MN ，求直线MN的方程 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos 2sin xt yt （t为参数，为实数）， 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 8sin，曲线 1 C与曲线 2 C交于,A B两点，线段AB的中点为M. （1）求线段AB长的最小值； （2）求点M的轨迹方程. 23选修 4
12、5：不等式选讲（10 分） 已知非零实数, a b满足ab. （1）求证： 3322 22aba bab； （2）是否存在实数，使得 22 11 () ba abab 恒成立？若存在，求出实数的取值范 围；若不存在，请说明理由. 数学（文）参考答案第 1 页 （共 4 页） 安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试 文科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，满分 60 分） 选项123456789101112 答案BADCBBACDDAC 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分） 13.12014., 6 2 15.3216. 6 3 三
13、、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17.（12 分） 【解析】（1）由已知 1* 2333() n nn San N 2n 时， 11 2333 n nn Sa 得： 11 2332 332 3 nn nnnnn aaaaa ，故 11 11 22 3333 nnnn nnnn aaaa ， 即 1 2 (2) nn bbn ，又1n 时， 111 23936aaa，则 1 1 2 3 a b 故数列 n b是以2为首项，2为公差的等差数列
14、， 22(1)223n nn bnnan.（6 分） （2）由 3 nn n n aa c n ，得2 32 n n cn 212 3(13 )(1) 2 (333 )2(12)2233 132 n nn n n n Tnnn .（12 分） 18.（12 分） 【解析】（1）3x ，21y ， 5 2 1 55 i i x ，故 5 1 52 22 1 340.65 321 2.56 555 3 ii i i i x ynx y b xnx ， 212.56313.32aybx，故2.5613.32yx.（8 分） （2）6x 时，28.68y ，7x 时，31.24y ，故应从第 7 周开
15、始.（12 分） 19.（12 分） 【解析】（1）由题：PAPB，BC 平面PABBCPA 又PBBCB，故PA 平面PBC.（4 分） 数学（文）参考答案第 2 页 （共 4 页） （2）取AB的中点O，连接,OP OD，因为,PABDAB均为等腰三角形 故,POAB DOAB，又BC 平面PAB 平面PAB 平面ABCD 平面PAB平面ABCDAB，故PO 平面ABCD，PODO 易求得1,2,2,1AOBOPADOPO，故5PD /,ODBC ODBC DOABOBCD为矩形 故 11 1 22 ACD SCD DOOB DO 22 123 2( 5)() 222 PAD S 在三棱锥
16、PACD中，设顶点C到平面PAD的距离为d，由 C PADP ACD VV 则 32 1 23 dd ，故顶点C到平面PAD的距离为 2 3 .（12 分） 20.（12 分） 【解析】（1） 2 ( )2(sincos ) xx f xeexx，(0)2f，(0)f 所以曲线( )yf x在0x 处的切线方程为(2)yx 将（1,6）代入得2 （4 分） （2）考虑方程g( )0x ，等价于2cos0 xx eex ，记( )2cos xx F xeex 则( )2sin22sin22sin0 xxxx F xeexeexx 于是函数( )F x在R上单调递增，又 22 ()0 2 Fee
17、，(0)20F 所以函数( )F x在区间(,0) 2 上存在唯一零点，即函数( )g x存在唯一零点（12 分） 21. （12 分） 【解析】（1）当线段AF与抛物线C没有公共点，即 9 4 a 时， 设抛物线C的准线为l，过点P作l的垂线，垂足为Q 过点A作l的垂线，垂足为B，则| | |1PAPFPAPQABa 故154aa 当线段AF与抛物线C有公共点，即 9 4 a 时， 22 | |(1)3PAPFAFa 故 22 (1)353aa 综上：4a 或3.（5 分） （2）解法一：设 222 (,2 ),(,2 ),(,2 )P bbM mmN nn（,0,0,0bn mn bmn）
18、 由题, ,P A N共线，, ,O A M共线 数学（文）参考答案第 3 页 （共 4 页） 当bn 时， 222 2232bnb bnab ， 2 23m ma ，联立得3()2bmnbn（*） 又OPMN，则 222 222bmn bmn 即bmn代入（*）得3b 当bn 时，由题： |233 3 |3223 PAOAb b ANAMnm 故3b ， 2 22 3 MNOP b kk b ，设直线MN的方程为 2 3 yxt， 1122 ( ,),(,)M x yN xy 22 2 2 412(3)903 4 yxt xtxt yx ， 2 1212 9 3(3), 4 t xxtxx
19、22222 1212 2 |1()41( )9(3)913 965 13 3 MNkxxxxttt 解得： 8 3 t ，故直线MN的方程为 28 33 yx即2380xy.（12 分） 解法二：设 001122 (,),( ,),(,)P xyM x yN xy，则 00 2 000 4 4 OP yy k yxy ， 1212 22 121212 4 44 MN yyyy k yyxxyy ， MNOP kk， 012 yyy，即 012 22 yyy 即线段OP与MN的中点纵坐标相同，故OP中点与MN中点连线平行于x轴 由平面几何知识知：点A在OP与MN中点连线上，故 0 0 36 2
20、y y 于是 2 0 0 9 4 y x ， 0 0 2 3 MNOP y kk x ，设直线MN的方程为 2 3 yxt，后同解法一. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 【解析】（1）曲线 2 C的方程化成直角坐标方程为 22 8xyy即 22 (4)16xy 圆心 2(0,4) C，半径4r ，曲线 1 C为过定点(2,2)P的直线，易知(2,2)P在圆 2 C内 当 2 PCAB时，线段AB长最小， 最小值为 2222 2 2|2 16(20)(24) 4 2rPC.（5
21、 分） （2）当点M与点P不重合时，设( , )M x y， 2 C MPM 2 (2)(4)(4)0C M PMx xyy，化简得： 22 (1)(3)2xy 当点M与点P重合时，也满足上式， 故点M的轨迹方程为： 22 (1)(3)2xy.（10 分） 数学（文）参考答案第 4 页 （共 4 页） 23选修 45：不等式选讲（10 分） 【解析】（1） 332222 (22)()()2()aba babab aabbab ab 22 ()()ab aabb 22 3 ()() 24 b abab ab，0ab，又 22 3 ()0 24 b ab， 3322 22aba bab.（5 分） （2） 22 11 () ba abab ，即 33 22 baba a bab ，即 22 22 baba a bab （*） 当0ab 时，（*）即 22 1 bababa abab 恒成立， 22 bab a aba b （当且仅当ab时取等号），故3 当0ab 时，（*）即 22 1 bababa abab 恒成立， ()()2 () ()2 bababa ababab （当且仅当ab 时取等号），故1 综上， 1,3 .（10 分）
