1、文科数学试题 第1页（共4页） 长春市长春市普通高中普通高中 2020 届届高三质量监测（二）高三质量监测（二） 文科数学 本试卷共 4 页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠，
2、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 | (2)0Ax x x=， 1,0,1,2,3B= ，则AB = A. 0,1,2 B. 1,3 C. 1,2 D. 0,1,23， 2. 若1 (1)iza= +（aR） ，|2z =，则a = A. 0或2 B. 0 C. 1或2 D. 1 3. 下列与函数 1 y x =定义域和单调性都相同的函数是 A. 2 log 2 x y = B. 2 1 log ( ) 2 x y = C. 2 1 logy
3、 x = D. 1 4 yx= 4. 等差数列 n a中，若 57 32aa=，则此数列中一定为 0 的是 A. 1 a B. 3 a C. 8 a D. 10 a 5. 若单位向量 12 ,e e夹角为60， 12 2=aee，则|=a A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 6. 普通高中数学课程标准（2017 版） 提出了数学学科 的六大核心素养.为了比较甲、 乙两名高二学生的数学核 心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验， 根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为 5 分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是 A. 甲的数据分析素养高于乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽
4、象素养 C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 文科数学试题 第2页（共4页） 7. 命题p： 存在实数 0 x， 对任意实数x， 使得 0 sin()sinxxx+=恒成立；:q0a ， ( )ln ax f x ax + = 为奇函数，则下列命题是真命题的是 A.pq B. ()()pq C. ()pq D. ()pq 8. 已知函数 |ln|,0 ( ) 2 (2),0 x x f x x xx = + ，则函数( )3yf x=的零点个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知为锐角，且 sin() 3 tan() 3 sin() 3 +
5、=+ ，则角= A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 10. 若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的一条渐近线被圆 22 40xyy+=截得的弦长为 2，则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 2 3 D. 2 3 3 11. 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 11 2 2, nn n aaS n + + =（ * nN） ，则 n S = A. 1 21 n + B. 2nn C. 31 n D. 1 23nn 12. 在正方体 1111 -ABCD ABC D中，点,E F G分别为棱 11 AD， 1 DD， 11 AB的中点，给 出下列命题：
6、1 ACEG；/GCED； 1 BF 平面 1 BGC；EF和 1 BB成 角为 4 . 正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 文科数学试题 第3页（共4页） 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 若 , x y满足约束条件 22 20 22 xy y xy + ，则z xy=+ 的最大值为_. 14. 曲线( )2sinf xx=在 3 x =处的切线与直线10axy+ =垂直，则a =_. 15. 在半径为2的圆上有,A B两点， 且2AB =， 在该圆上任取一点P， 则使得PAB 为 锐角三角形的概率为_. 16. 三棱锥A BCD的顶点都在
7、同一个球面上，满足BD过球心O，且2 2BD = ，则 三棱锥A BCD体积的最大值为_；三棱锥A BCD 体积最大时，平面 ABC截球所得的截面圆的面积为_. （本题第一空 2 分，第二空 3 分.） 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 2223 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （12 分） 已知在ABC的三个内角分别为A、B、C， 2 sinsin2cosBAA=， 1 cos 3 B =. （）求A的大小； （）若2AC =，求AB长. 18. （12 分） 2
8、019 年入冬时节，长春市民为了迎接 2022 年 北京冬奥会， 增强身体素质， 积极开展冰上体 育锻炼. 现从速滑项目中随机选出100名参与 者， 并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进 行评估打分 （满分为 100 分） 并且认为评分不 低于 80 分的参与者擅长冰上运动，得到如图 所示的频率分布直方图： （）求m的值； （）将选取的 100 名参与者的性别与是否擅 长冰上运动进行统计，请将下列2 2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概 率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？ 擅长 不擅长 合计 男性 30 女性 50 合计 100 P(K2k) 0.15 0.10
9、0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ( 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd = + ，其中nabcd=+ + +) 405060708090 频率/组距 成绩(分) 0.005 0.015 0.030 0.020 100 m O 文科数学试题 第4页（共4页） 19. （12 分） 如图，直三棱柱 111 ABCABC中，底面ABC为等腰直 角三角形，ABBC， 1=2 =4AAAB，,M N分别为 11 ,CC BB 的中点，G为棱 1 AA上
10、一点，且 1 AB NG. （）求证 1 ABGM； （）求点 1 A到平面MNG的距离. 20. （12 分） 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab +=的左、右顶点分别为A、B，焦距为 2，点P 为椭圆上异于A、B的点，且直线PA和PB的斜率之积为 3 4 . （）求C的方程； （）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作/OMAP交椭圆于点 M，试证明 2 | | | APAQ OM 为定值，并求出该定值. 21. （12 分） 已知函数 32 1 ( ). 3 f xxxmxm=+ （）若 1 x为( )f x的极值点，且 12 ( )()f xf x= 12 ()x
11、x，求 12 2xx+的值； （）求证：当0m时，( )f x有唯一的零点. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第 一题计分. 22. 选修 4-4 坐标系与参数方程（10 分） 已知曲线 1 C的参数方程为 22cos 2sin x y =+ = （为参数） ，曲线 2 C的参数方程为 3 8cos 4 3 sin 4 xt yt =+ = （t为参数）. （）求 1 C和 2 C的普通方程； （）过坐标原点O作直线交曲线 1 C于点M，交曲线 2 C于点N，求 | | ON OM 的最 小值. 23. 选修 4-5 不等式选讲（10 分）
12、 已知函数( ) |1|1|f xaxx=+. （）若2a =，解关于x的不等式( )9f x ； （）若当0x 时，( )1f x 恒成立，求实数a的取值范围. A C B A1 C1 B1 M N G 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第1页（共3页） 长春市长春市普通高中普通高中 2020 届届高三质量监测（高三质量监测（二二） 数学（数学（文文科）试题参考答案及评分科）试题参考答案及评分参考参考 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. A 2. A 3. C 4. A 5. C 6. D 7. A 8. B 9. C 10. D 11. B 12. C
13、 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，16 题第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分） 13. 4 14. 1 15. 1 6 16. 2 2 4 33 ， 三、解答题 17. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】 （） 2 sinsin2cosBAA=中， 2 2 sin 3 B =， 2 2sin3cosAA=， 2 2(1 cos)3cosAA=，解得 1 cos 2 A=， 3 A = （6 分） （） 3 11 2 232 2 sinsin()sincoscossin 23236 CABABAB + =+=+=+= 由正弦定理 sinsin
14、ABAC CB =， 6 sin1 sin4 AC ABC B =+ （12 分） 18. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】 （）由题意0.025m=. （4 分） （） 22 2 ()100 (800300) 4.762 ()()()()50 50 30 70 n adbc K ab cd ac bd = + ， 对照表格可知，4.7626.635， 不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. （12 分） . 19. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】 （）由题意： 1111 11 1 111 ABB A
15、BCC B MNABB A MNBB ABABB A 平面平面 平面 平面 1 1 11 MNAB ABMNG ABMGGNAB MGMNG 平面 平面 . （6 分） 擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 30 70 100 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第2页（共3页） （）设 1 AB与GN交于点E，在BNE中，可求得 4 5 5 BE =，则 1 6 5 5 AE =， 可知 1 A到平面MNG的距离为 6 5 5 . （12 分） 20. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】 （）已知点P在椭圆C： 22 22 1(0
16、) xy ab ab += 上， 可设 00 (,)P x y，即 22 00 22 1 xy ab +=， 又 22 000 222 000 3 4 APBP yyyb kk xa xaxaa = = + ， 且22c =，可得椭圆C的方程为 22 1 43 xy +=. （4 分） （）设直线AP的方程为：(2)yk x=+，则直线OM的方程为ykx=. 联立直线AP与椭圆C的方程可得： 2222 (34)1616120kxk xk+=， 由2 A x =，可得 2 2 68 34 p k x k = + ， 联立直线OM与椭圆C的方程可得： 22 (34)120kx+=， 即 2 2 1
17、2 34 M x k = + ，即 222 | | | |2| |02| 2 | PAQA P MM xxxx APAQx OMxx + =. （12 分） 21. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】 （）由题可知 12 ( )()f xf x=，且 1 ( )0fx=， 又 2 ( )2fxxxm=+，即得 3232 111222 2 11 11 33 20 xxmxmxxmxm xxm +=+ += ， 化简并分解因式可得 12 23xx+=. （6 分） （II）令 32 1 ( )0 3 f xxxmxm=+=，则 32 1 (1) 3 xxm x+= +，
18、令 32 1 3 ( )xhxx =+， 2 ( )2xxx h =+， 可知( )h x在(, 2) 和(0,)+上单调递增，在 2,0上单调递减， 又 4 ( 2) 3 h =，(0)0h=； (1)m x+为过( 1,0)点的直线，又0m，则0m， 因此 32 1 (1) 3 xxm x+= +有且只有一个交点， 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第3页（共3页） 即 32 1 ( ) 3 f xxxmxm=+有唯一的零点. （12 分） 22. (本小题满分本小题满分 10 分分) 【参考答案与评分细则】 （）曲线 1 C的普通方程为： 22 (2)4xy+=； 曲线 2 C的普通方
19、程为：80xy+ =. （5 分） （）设过原点的直线为tanyx=（ 3 4 ） ；在曲线 1 C中，| 4|cos |OM=. 而O到直线与曲线 2 C的交点N的距离为 8 | sincos ON = + ， 因此 2 8 |24 sincos |4|cos|sincoscos| |2sin(2) 1| 4 ON OM + = + + ， 即 | | ON OM 的最小值为 4 4( 21) 21 = + . （10 分） 23. (本小题满分本小题满分 10 分分) 【参考答案与评分细则】 （）当2a =时， 3 ,1 1 ( ) |21|1|2,1 2 1 3 , 2 xx f xxxxx xx =+=+ ， 由此可知，( )9f x 的解集为 | 33xx （5 分） （）当0a 时，( )f x的最小值为(1)1f； 当0a =时，( )f x的最小值为(1)1f=； 当0a时，( )f x的最小值不恒大于 1. 综上，(0,)a+. （10 分）
