吉林省长春市2020高三理科数学二模试题含答案.pdf

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1、理科数学试题 第1页(共4页) 长春市长春市普通高中普通高中 2020 届届高三质量监测(二)高三质量监测(二) 理科数学 本试卷共 4 页。考试结束后,将答题卡交回。 注意事项: 1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写 的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁,不要折叠,

2、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 | (2)0Ax x x=, 1,0,1,2,3B= ,则AB = A. 1,3 B. 0,1,2 C. 1,2 D. 0,1,23, 2. 若1 (1)iza= +(aR) ,|2z =,则a = A. 0 或 2 B. 0 C. 1 或 2 D. 1 3. 下列与函数 1 y x =定义域和单调性都相同的函数是 A. 2 log 2 x y = B. 2 1 log ( ) 2 x y = C. 2 1

3、logy x = D. 1 4 yx= 4. 已知等差数列 n a中, 57 32aa=,则此数列中一定为 0 的是 A. 1 a B. 3 a C. 8 a D. 10 a 5. 若单位向量 1 e, 2 e夹角为60, 12 =aee,且|3=a,则实数= A. 1 B. 2 C. 0 或1 D. 2 或1 6. 普通高中数学课程标准(2017 版) 提出了数学学 科的六大核心素养. 为了比较甲、乙两名高二学生的 数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行 了测验,根据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标 值满分为 5 分,分值高者为优),则下面叙述正确的是 A. 甲的数据分析素养高于

4、乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 理科数学试题 第2页(共4页) 7. 命题p: 存在实数 0 x, 对任意实数x, 使得 0 sin()sinxxx+=恒成立;:q0a , ( )ln ax f x ax + = 为奇函数,则下列命题是真命题的是 A.pq B. ()()pq C. ()pq D. ()pq 8. 在ABC中,30C =, 2 cos 3 A= ,152AC =,则AC边上的高为 A. 5 2 B. 2 C. 5 D. 15 2 9. 2020 年是脱贫攻坚决战决胜之年,某市为早日实现目标,现将

5、甲、乙、丙、丁 4 名 干部派遣到A、B、C三个贫困县扶贫,要求每个贫困县至少分到一人,则甲被派 遣到A县的分法有 A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 36种 10. 在正方体 1111 -ABCD ABC D中,点,E F G分别为棱 11 AD, 1 DD, 11 AB的中点,给 出下列命题: 1 ACEG;/GCED; 1 BF 平面 1 BGC;EF和 1 BB成 角为 4 . 正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知抛物线C: 2 2ypx=(0p )的焦点为F, 0 1 ( ,) 2 My为该抛物线上一点, 以M为圆心的圆与C的准线相切于点A

6、,120AMF=,则抛物线方程为 A. 2 2yx= B. 2 4yx= C. 2 6yx= D. 2 8yx= 12. 已知 11 ( ) xx f xeex =+,则不等式( )(3 2 )2f xfx+的解集是 A. 1,)+ B. 0,)+ C. (,0 D. (,1 理科数学试题 第3页(共4页) A C B A1 C1 B1 M N G 二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共20 分. 13. 若 , x y满足约束条件 22 20 22 xy y xy + ,则z xy=+ 的最大值为_. 14. 若 1 2 0 5 () 3 ax dx = ,则a =_. 15. 已知函

7、数( )sin() 6 f xx =+(0) 在区间 ,2 )上的值小于 0 恒成立, 则的 取值范围是_. 16. 三棱锥A BCD的顶点都在同一个球面上,满足BD过球心O,且2 2BD = ,则 三棱锥A BCD体积的最大值为_;三棱锥A BCD体积最大时,平面 ABC截球所得的截面圆的面积为_. (本题第一空 2 分,第二空 3 分.) 三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考 题,每个试题考生都必须作答. 第 2223 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17. (12 分) 2019 年入冬时节,长春市民为了

8、迎接 2022 年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展 冰上体育锻炼. 现从速滑项目中随机选出 100 名参与者,并由专业的评估机构对他们 的锻炼成果进行评估打分(满分为 100 分)并且认为评分不低于 80 分的参与者擅长 冰上运动,得到如图所示的频率分布直方图: ()求m的值; ()将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列2 2 列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上 运动与性别有关系? 擅长 不擅长 合计 男性 30 女性 50 合计 100 P(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

9、 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ( 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd = + ,其中nabcd=+ + +) 18. (12 分) 如图,直三棱柱 111 ABCABC中,底面ABC为等腰直角 三角形,ABBC, 1 24AAAB=,M,N分别为 1 CC, 1 BB的中点,G为棱 1 AA上一点,若 1 AB 平面MNG. ()求线段AG的长; ()求二面角BMGN的余弦值. 405060708090 频率/组距 成绩(分) 0.005 0.015 0.030 0.020 100

10、m O 理科数学试题 第4页(共4页) 19. (12 分) 已知数列 n a满足, 1 1a =, 2 4a =,且 21 430 nnn aaa + +=( * nN). ()求证:数列 1 nn aa + 为等比数列,并求出数列 n a的通项公式; ()设2 nn bn a=,求数列 n b的前n项和 n S. 20. (12 分) 已知椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab +=的左、右顶点分别为A、B,焦距为 2,点P 为椭圆上异于A、B的点,且直线PA和PB的斜率之积为 3 4 . ()求C的方程; ()设直线AP与y轴的交点为Q,过坐标原点O作/OMAP交椭圆于点M,

11、试探究 2 | | | APAQ OM 是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 21. (12 分) 已知函数( ) x f xe=. ()求曲线( )yf x=在点(1, (1)f处的切线方程; ()若对任意的mR,当0x 时,都有 2 1 (2 ( )2 21mf xkm x +恒成立, 求最大的整数k. (二)选考题:共 10 分,请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做则按所做的第 一题计分. 22. 选修 4-4 坐标系与参数方程(10 分) 已知曲线 1 C的参数方程为 22cos 2sin x y =+ = (为参数) ,曲线 2 C的参数方程为 3 8cos

12、 4 3 sin 4 xt yt =+ = (t为参数). ()求 1 C和 2 C的普通方程; ()过坐标原点O作直线交曲线 1 C于点M(M异于O) ,交曲线 2 C于点N, 求 | | ON OM 的最小值. 23. 选修 4-5 不等式选讲(10 分) 已知函数( ) |1|1|f xaxx=+. ()若2a =,解关于x的不等式( )9f x ; ()若当0x 时,( )1f x 恒成立,求实数a的取值范围. 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第1页(共4页) 长春市长春市普通高中普通高中 2020 届届高三质量监测(高三质量监测(二二) 数学(理科)试题参考答案及评分参考数学(理

13、科)试题参考答案及评分参考 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. B 2. A 3. C 4. A 5. D 6. D 7. A 8. C 9. B 10. C 11. C 12. A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,16 题第一空 2 分,第二空 3 分,共 20 分) 13. 4 14. 2 15. 5 11 ( , 6 12 16. 2 2 4 33 , 三、解答题 17. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】解: ()由题意0.025m=. (4 分) () 22 2 ()100 (800300) 4.762 (

14、)()()()50 50 30 70 n adbc K ab cd ac bd = + . 对照表格可知,4.7626.635, 不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. (12 分) 18. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】解: ()由题意, 1 1 ABMNG ABGN GNMNG 平面 平面 , 设 1 AB与GN交于点E, 在BNE中,可求得 4 5 5 BE =,则 1 6 5 5 AE =, 可求得 1 3AG =,则1AG =. (6 分) ()以 1 B为原点, 1 B B方向为x轴, 1 BC方向为y轴, 11 B

15、 A方向为z轴, 建立空间直角坐标系. (4,0,0)B,(2,2,0)M,(3,0,2)G,(2,0,0)N ( 2,2,0)BM = ,( 1,0,2)BG = , 1 (2,2,1)n = (0,2,0)NM =,(1,0,2)NG =, 2 (2,0, 1)n = 12 12 |35 |cos| 5| |35 n n nn = . 即二面角BMGN的余弦值为 5 5 . (12 分) 19. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】 ()已知 21 430 nnn aaa + +=, 则 211 3() nnnn aaaa + =, 擅长 不擅长 合计 男性 20

16、30 50 女性 10 40 50 合计 30 70 100 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第2页(共4页) 且 21 3aa=,则 1 nn aa + 为以 3 为首相,3 为公比的等比数列, 所以 1 3n nn aa + =, 112211 31 ()()() 2 n nnnnn aaaaaaaa =+=. . (6 分) ()由()得:3n n bnn=, 12 1 32 33n n Tn= + + , 231 31 32 3(1) 33 nn n Tnn + = + + , -可得 1 1211 33 233 333 2 n nnn n Tnn + + =+ = , 则 111

17、 333(21) 33 424 nnn n nn T + + = += 即 1 (21) 33(1) 42 n n nn n S + + =. (12 分) 20. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】解: ()已知点P在椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab +=上, 可设 00 (,)P x y,即 22 00 22 1 xy ab +=, 又 22 000 222 000 3 4 APBP yyyb kk xa xaxaa = = + , 且22c =,可得椭圆C的方程为 22 1 43 xy +=. (4 分) ()设直线AP的方程为:(2)yk x=

18、+,则直线OM的方程为ykx=. 联立直线AP与椭圆C的方程可得: 2222 (34)1616120kxk xk+=, 由2 A x =,可得 2 2 68 34 p k x k = + , 联立直线OM与椭圆C的方程可得: 22 (34)120kx+=,即 2 2 12 34 M x k = + , 即 222 | | | |2| |02| 2 | PAQA P MM xxxx APAQx OMxx + =. 即 2 | | | APAQ OM 为定值,且定值为 2. (12 分) 21. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】 ()已知函数( ) x f xe=,则(

19、1, (1)f处即为(1, ) e, 又( ) x fxe=,(1)kfe=, 可知函数( ) x f xe=过点(1, (1)f的切线为(1)yee x =,即yex=. (4 分) 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第3页(共4页) ()不等式 2 1 (2 ( )2 21mf xkm x +中, 当0m=时,显然成立; 当0m时,不等式可化为 2 12 21 2 ( ) km f x xm + 令 11 ( )2 ( )2 x h xf xe xx =+=+, 则 2 1 ( )2 x h xe x =, 令 0 0 2 0 1 ()20 x h xe x =,解得 0 13 23 x

20、(此处可由验证得到). 即( )h x的最小值为 0 0 2 000 111 ()2 x h xe xxx =+=+,令 0 1 ( 3,2)t x = , 则 2 2 00 11 (33,6)tt xx +=+ +,将( )h x的最小值设为a,则(33,6)a+, 因此原式需满足 2 2 21km a m ,即 2 2 210amkm+ 在mR上恒成立, 又0a ,可知判别式840ka=即可,即 2 a k ,且(33,6)a+ k可以取到的最大整数为 2. (12 分) 22. (本小题满分本小题满分 10 分分) 【参考答案与评分细则】 ()曲线 1 C的普通方程为: 22 (2)4x

21、y+=; 曲线 2 C的普通方程为:80xy+ =. (5 分) ()设过原点的直线为tanyx=( 3 4 ) ;在曲线 1 C中,| 4|cos |OM=. 而O到直线与曲线 2 C的交点N的距离为 8 | sincos ON = + , 因此 2 8 |24 sincos |4|cos|sincoscos| |2sin(2) 1| 4 ON OM + = + + , 即 | | ON OM 的最小值为 4 4( 21) 21 = + . (10 分) 23. (本小题满分本小题满分 10 分分) 【参考答案与评分细则】 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第4页(共4页) ()当2a =时, 3 ,1 1 ( ) |21|1|2,1 2 1 3 , 2 xx f xxxxx xx =+=+ , 由此可知,( )9f x 的解集为 | 33xx (5 分) ()当0a 时,( )f x的最小值为(1)1f; 当0a =时,( )f x的最小值为(1)1f=; 当0a时,( )f x的最小值不恒大于 1. 综上,(0,)a+. (10 分)

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