1、理科数学试题 第1页（共4页） 长春市长春市普通高中普通高中 2020 届届高三质量监测（二）高三质量监测（二） 理科数学 本试卷共 4 页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠，
2、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 | (2)0Ax x x=， 1,0,1,2,3B= ，则AB = A. 1,3 B. 0,1,2 C. 1,2 D. 0,1,23， 2. 若1 (1)iza= +（aR） ，|2z =，则a = A. 0 或 2 B. 0 C. 1 或 2 D. 1 3. 下列与函数 1 y x =定义域和单调性都相同的函数是 A. 2 log 2 x y = B. 2 1 log ( ) 2 x y = C. 2 1
3、logy x = D. 1 4 yx= 4. 已知等差数列 n a中， 57 32aa=，则此数列中一定为 0 的是 A. 1 a B. 3 a C. 8 a D. 10 a 5. 若单位向量 1 e， 2 e夹角为60， 12 =aee，且|3=a，则实数= A. 1 B. 2 C. 0 或1 D. 2 或1 6. 普通高中数学课程标准（2017 版） 提出了数学学 科的六大核心素养. 为了比较甲、乙两名高二学生的 数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行 了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标 值满分为 5 分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是 A. 甲的数据分析素养高于
4、乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 理科数学试题 第2页（共4页） 7. 命题p： 存在实数 0 x， 对任意实数x， 使得 0 sin()sinxxx+=恒成立；:q0a ， ( )ln ax f x ax + = 为奇函数，则下列命题是真命题的是 A.pq B. ()()pq C. ()pq D. ()pq 8. 在ABC中，30C =， 2 cos 3 A= ，152AC =，则AC边上的高为 A. 5 2 B. 2 C. 5 D. 15 2 9. 2020 年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将
5、甲、乙、丙、丁 4 名 干部派遣到A、B、C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派 遣到A县的分法有 A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 36种 10. 在正方体 1111 -ABCD ABC D中，点,E F G分别为棱 11 AD， 1 DD， 11 AB的中点，给 出下列命题： 1 ACEG；/GCED； 1 BF 平面 1 BGC；EF和 1 BB成 角为 4 . 正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知抛物线C： 2 2ypx=（0p ）的焦点为F， 0 1 ( ,) 2 My为该抛物线上一点， 以M为圆心的圆与C的准线相切于点A
6、，120AMF=，则抛物线方程为 A. 2 2yx= B. 2 4yx= C. 2 6yx= D. 2 8yx= 12. 已知 11 ( ) xx f xeex =+，则不等式( )(3 2 )2f xfx+的解集是 A. 1,)+ B. 0,)+ C. (,0 D. (,1 理科数学试题 第3页（共4页） A C B A1 C1 B1 M N G 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 若 , x y满足约束条件 22 20 22 xy y xy + ，则z xy=+ 的最大值为_. 14. 若 1 2 0 5 () 3 ax dx = ，则a =_. 15. 已知函
7、数( )sin() 6 f xx =+（0） 在区间 ,2 )上的值小于 0 恒成立， 则的 取值范围是_. 16. 三棱锥A BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且2 2BD = ，则 三棱锥A BCD体积的最大值为_；三棱锥A BCD体积最大时，平面 ABC截球所得的截面圆的面积为_. （本题第一空 2 分，第二空 3 分.） 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 2223 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （12 分） 2019 年入冬时节，长春市民为了
8、迎接 2022 年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展 冰上体育锻炼. 现从速滑项目中随机选出 100 名参与者，并由专业的评估机构对他们 的锻炼成果进行评估打分（满分为 100 分）并且认为评分不低于 80 分的参与者擅长 冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图： （）求m的值； （）将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2 2 列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上 运动与性别有关系？ 擅长 不擅长 合计 男性 30 女性 50 合计 100 P(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
9、 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ( 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd = + ，其中nabcd=+ + +) 18. （12 分） 如图，直三棱柱 111 ABCABC中，底面ABC为等腰直角 三角形，ABBC， 1 24AAAB=，M，N分别为 1 CC， 1 BB的中点，G为棱 1 AA上一点，若 1 AB 平面MNG. （）求线段AG的长； （）求二面角BMGN的余弦值. 405060708090 频率/组距 成绩(分) 0.005 0.015 0.030 0.020 100
10、m O 理科数学试题 第4页（共4页） 19. （12 分） 已知数列 n a满足， 1 1a =， 2 4a =，且 21 430 nnn aaa + +=（ * nN）. （）求证：数列 1 nn aa + 为等比数列，并求出数列 n a的通项公式； （）设2 nn bn a=，求数列 n b的前n项和 n S. 20. （12 分） 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab +=的左、右顶点分别为A、B，焦距为 2，点P 为椭圆上异于A、B的点，且直线PA和PB的斜率之积为 3 4 . （）求C的方程； （）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作/OMAP交椭圆于点M，
11、试探究 2 | | | APAQ OM 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21. （12 分） 已知函数( ) x f xe=. （）求曲线( )yf x=在点(1, (1)f处的切线方程； （）若对任意的mR，当0x 时，都有 2 1 (2 ( )2 21mf xkm x +恒成立， 求最大的整数k. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第 一题计分. 22. 选修 4-4 坐标系与参数方程（10 分） 已知曲线 1 C的参数方程为 22cos 2sin x y =+ = （为参数） ，曲线 2 C的参数方程为 3 8cos
12、 4 3 sin 4 xt yt =+ = （t为参数）. （）求 1 C和 2 C的普通方程； （）过坐标原点O作直线交曲线 1 C于点M（M异于O） ，交曲线 2 C于点N， 求 | | ON OM 的最小值. 23. 选修 4-5 不等式选讲（10 分） 已知函数( ) |1|1|f xaxx=+. （）若2a =，解关于x的不等式( )9f x ； （）若当0x 时，( )1f x 恒成立，求实数a的取值范围. 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第1页（共4页） 长春市长春市普通高中普通高中 2020 届届高三质量监测（高三质量监测（二二） 数学（理科）试题参考答案及评分参考数学（理
13、科）试题参考答案及评分参考 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. B 2. A 3. C 4. A 5. D 6. D 7. A 8. C 9. B 10. C 11. C 12. A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，16 题第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分） 13. 4 14. 2 15. 5 11 ( , 6 12 16. 2 2 4 33 ， 三、解答题 17. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】解： （）由题意0.025m=. （4 分） （） 22 2 ()100 (800300) 4.762 (
14、)()()()50 50 30 70 n adbc K ab cd ac bd = + . 对照表格可知，4.7626.635， 不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. （12 分） 18. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】解： （）由题意， 1 1 ABMNG ABGN GNMNG 平面 平面 ， 设 1 AB与GN交于点E， 在BNE中，可求得 4 5 5 BE =，则 1 6 5 5 AE =， 可求得 1 3AG =，则1AG =. （6 分） （）以 1 B为原点， 1 B B方向为x轴， 1 BC方向为y轴， 11 B
15、 A方向为z轴， 建立空间直角坐标系. (4,0,0)B，(2,2,0)M，(3,0,2)G，(2,0,0)N ( 2,2,0)BM = ，( 1,0,2)BG = ， 1 (2,2,1)n = (0,2,0)NM =，(1,0,2)NG =， 2 (2,0, 1)n = 12 12 |35 |cos| 5| |35 n n nn = . 即二面角BMGN的余弦值为 5 5 . （12 分） 19. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】 （）已知 21 430 nnn aaa + +=， 则 211 3() nnnn aaaa + =， 擅长 不擅长 合计 男性 20
16、30 50 女性 10 40 50 合计 30 70 100 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第2页（共4页） 且 21 3aa=，则 1 nn aa + 为以 3 为首相，3 为公比的等比数列， 所以 1 3n nn aa + =， 112211 31 ()()() 2 n nnnnn aaaaaaaa =+=. . （6 分） （）由（）得：3n n bnn=， 12 1 32 33n n Tn= + + ， 231 31 32 3(1) 33 nn n Tnn + = + + ， -可得 1 1211 33 233 333 2 n nnn n Tnn + + =+ = ， 则 111
17、 333(21) 33 424 nnn n nn T + + = += 即 1 (21) 33(1) 42 n n nn n S + + =. （12 分） 20. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】解： （）已知点P在椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab +=上， 可设 00 (,)P x y，即 22 00 22 1 xy ab +=， 又 22 000 222 000 3 4 APBP yyyb kk xa xaxaa = = + ， 且22c =，可得椭圆C的方程为 22 1 43 xy +=. （4 分） （）设直线AP的方程为：(2)yk x=
18、+，则直线OM的方程为ykx=. 联立直线AP与椭圆C的方程可得： 2222 (34)1616120kxk xk+=， 由2 A x =，可得 2 2 68 34 p k x k = + ， 联立直线OM与椭圆C的方程可得： 22 (34)120kx+=，即 2 2 12 34 M x k = + ， 即 222 | | | |2| |02| 2 | PAQA P MM xxxx APAQx OMxx + =. 即 2 | | | APAQ OM 为定值，且定值为 2. （12 分） 21. (本小题满分本小题满分 12 分分) 【参考答案与评分细则】 （）已知函数( ) x f xe=，则(
19、1, (1)f处即为(1, ) e， 又( ) x fxe=，(1)kfe=， 可知函数( ) x f xe=过点(1, (1)f的切线为(1)yee x =，即yex=. （4 分） 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第3页（共4页） （）不等式 2 1 (2 ( )2 21mf xkm x +中， 当0m=时，显然成立； 当0m时，不等式可化为 2 12 21 2 ( ) km f x xm + 令 11 ( )2 ( )2 x h xf xe xx =+=+， 则 2 1 ( )2 x h xe x =， 令 0 0 2 0 1 ()20 x h xe x =，解得 0 13 23 x
20、（此处可由验证得到）. 即( )h x的最小值为 0 0 2 000 111 ()2 x h xe xxx =+=+，令 0 1 ( 3,2)t x = ， 则 2 2 00 11 (33,6)tt xx +=+ +，将( )h x的最小值设为a，则(33,6)a+， 因此原式需满足 2 2 21km a m ，即 2 2 210amkm+ 在mR上恒成立， 又0a ，可知判别式840ka=即可，即 2 a k ，且(33,6)a+ k可以取到的最大整数为 2. （12 分） 22. (本小题满分本小题满分 10 分分) 【参考答案与评分细则】 （）曲线 1 C的普通方程为： 22 (2)4x
21、y+=； 曲线 2 C的普通方程为：80xy+ =. （5 分） （）设过原点的直线为tanyx=（ 3 4 ） ；在曲线 1 C中，| 4|cos |OM=. 而O到直线与曲线 2 C的交点N的距离为 8 | sincos ON = + ， 因此 2 8 |24 sincos |4|cos|sincoscos| |2sin(2) 1| 4 ON OM + = + + ， 即 | | ON OM 的最小值为 4 4( 21) 21 = + . （10 分） 23. (本小题满分本小题满分 10 分分) 【参考答案与评分细则】 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第4页（共4页） （）当2a =时， 3 ,1 1 ( ) |21|1|2,1 2 1 3 , 2 xx f xxxxx xx =+=+ ， 由此可知，( )9f x 的解集为 | 33xx （5 分） （）当0a 时，( )f x的最小值为(1)1f； 当0a =时，( )f x的最小值为(1)1f=； 当0a时，( )f x的最小值不恒大于 1. 综上，(0,)a+. （10 分）
