1、第五节第五节 空间直线及其方程空间直线及其方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角五、小结五、小结xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已
2、知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxz
3、yx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2,000 zy点坐标点坐标),2,0,1(因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3,1,4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交,所以交点为所以交点为),0,3,0(B取取BAs ,4,0,2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222
4、221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL ,0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0,4,11 s,1,0,02 s,021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例 3 3 求求过过点点)5,2,3(且且与与两两平平面面34 zx和和152 zyx的的交交线线平平行行的的直直线线方方程程.解解设所求直线的方
5、向向量为设所求直线的方向向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1ns,2ns 取取21nns ,1,3,4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程例例 4 4 求求过过点点)3,1,2(M且且与与直直线线12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直线线方方程程.解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131.1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72(N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为M
6、NMN373,1713,272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角,:000pzznyymxxL ,0:DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：L)1(.pCnBmA L)2(/.0 CpBnAm .cos 2 cossin2 例例 5 5
7、设直线设直线:L21121 zyx，平面，平面:32 zyx，求直线与平面的夹角，求直线与平面的夹角.解解,2,1,1 n,2,1,2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21|.637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角例例6 6解解.401284,0405:角的平面方程角的平面方程组成组成且与平面且与平面求过直线求过直线 zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为,0)4(5 zxzyx,04)1(5)1(zyx即即.1,5,1 n其法向量其法向量.8,4,1 n又又已已知知平平面面的的法法向向量量由题设知由题设知114cosn
8、nnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1(,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程为代回平面束方程为.012720 zyx空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）五、小结五、小结思考题思考题 在直线方程在直线方程pznymx 6224中，中，m、n、p各怎样取值时，直线与坐标面各怎样取值时，直线与坐标面xoy、yoz都平
9、行都平行.思考题解答思考题解答,6,2pnms 且有且有.0 s,0 ks,0 is 0206mp,0,6 mp,0 s,0 n故当故当 时结论成立时结论成立,0 m6 p,0 n一、一、填空题：填空题：1 1、通过点通过点)3,1,4(且平行于直线且平行于直线5123 zyx的直线方程为的直线方程为_；2 2、直线直线 012309335zyxzyx与直线与直线 0188302322zyxzyx的夹角的余弦为的夹角的余弦为_；3 3、直线直线 003zyxzyx和平面和平面01 zyx在平在平面面012 zyx上的夹角为上的夹角为_；4 4、点点)0,2,1(在在平平面面012 zyx上上的
10、的投投影影为为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题题5 5、直线直线723zyx 和平面和平面8723 zyx的关系是的关系是_；6 6、直线直线431232 zyx和平面和平面3 zyx的关的关系是系是_.二、二、用 对 称 式 方 程 及 参 数 方 程 表 示 直 线用 对 称 式 方 程 及 参 数 方 程 表 示 直 线L：421zyxzyx .三、三、求过点求过点)2,1,3(且通过直线且通过直线12354zyx 的的平面方程平面方程.四、四、求直线求直线 0923042zyxzyx在平面在平面14 zyx上上的投影直线的方程的投影直线的方程
11、.五、五、求与已知直线求与已知直线1L：13523zyx 及及2L：147510zyx 都相交且和都相交且和3L：137182 zyx平行的直线平行的直线L.六、设一平面垂直于平面六、设一平面垂直于平面0 z,并通过从点并通过从点)1,1,1(A 到直线到直线L：001xzy的垂线，求此平面的方程的垂线，求此平面的方程.七、七、求两直线求两直线1L：1101zyx 和和2L：0212 zyx的公垂线的公垂线L的方程，及公垂线段的长的方程，及公垂线段的长.八、求过点八、求过点)4,0,1(且平行于平面且平行于平面01043 zyx又与直线又与直线31311zyx 相交相交的直线方程的直线方程.九、九、求点求点)2,1,3(P到直线到直线 04201zyxzyx的距的距离离.一一、1 1、531124 zyx；2 2、0 0；3 3、0 0；4 4、)32,32,35(；5 5、垂垂直直；6 6、直直线线在在平平面面上上.二二、311121 zyx,tztytx31121.三三、592298 zyx.四四、014117373117zyxzyx.练习题答案练习题答案五、五、2257265828 zyx或或1755872zyx .六、六、012 yx.七、七、11x234234 zy或或 010542044zyxzyx,1 d.八、八、28419161 zyx.九、九、223.
