1、人教版 必修二第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关点、直线、平面之间的位置关系系2.3 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定课时点睛目标定位直线与平面、平面与平面的相交关系中衍生出一种重要的关系，即垂直关系直线与平面的垂直是如何定义的？用定义判断线面垂直有什么不便？线面垂直应如何判定呢？由线面垂直引入的线面角是如何定义的？如何求呢？1.理解直线与平面垂直的定义2.掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用3.理解直线与平面所成的角的概念，会求直线与平面所成的角.课时目标课时目标温故知新温故知新新知导学新知
2、导学 思考思考 3 3直线与平面所成角的范围是多少？直线与平面所成角的范围是多少？ 提示：0，90 4 4如何作出一个平面的斜线在此平面上的射影？如何作出一个平面的斜线在此平面上的射影？ 提示：在斜线上取一点，作此平面的垂线，斜足与垂足的在斜线上取一点，作此平面的垂线，斜足与垂足的连线是斜线在此平面内的射影连线是斜线在此平面内的射影预习自测预习自测新知解读新知解读课堂讲练探究课堂讲练探究新知应用新知应用变式训练变式训练变式训练变式训练人教版人教版 必修必修2 2第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系2.3 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定
3、及其性质 2.3.1 2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 1掌握直线与平面垂直的定义 2掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线和平面垂直 3知道直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题学习目标学习目标 1我们经常说“立竿见影”在阳光下观察直立于地面的竿及它在地面的影子如果某一时刻，你发现竿与影所成的角不是直角，是否可以断定竿发生了倾斜？情景导入情景导入 2工人师傅通常把角尺的一边放在工作台面上，再看角尺的另一边与钻头是否密合，然后把角尺换一个方向(不是原来的反方向)，照样再检查一次如果两次检查中，钻头与角尺的边都能密合，那么就可断定钻头与工作台面是
4、垂直的相互讨论，这是为什么？ 1如果直线l与平面内的 ，我们就说直线l与平面互相垂直，记作： ，直线l叫做 平面叫做 它们的惟一公共点P叫做 图形表示(如右图)任意一条直线都垂直任意一条直线都垂直l平面平面的垂线的垂线直线直线l的垂面的垂面垂足垂足知识梳理知识梳理 2直线与平面垂直的判定定理：一条直线与平面内的 ，则该直线与此平面垂直 3线面垂直的判定定理的推论：若ab，a，则 .两条相交直线都垂直两条相交直线都垂直b 4平面的斜线：一条直线和一个平面 ，但不和这个平面 ，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做 ，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平
5、面上的 相交相交垂直垂直斜足斜足射影射影 5直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ，叫做这条直线和这个平面所成的角 (2)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ；一条直线和平面 ，或在 内，我们说它们所成的角是0.锐角锐角直角直角平行平行平面平面 探究1：一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，为什么这条直线不一定垂直于这个平面？问题探究问题探究 提示：如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作EFAD交CD于点F，则这样的直线能够作无数条很明显直线AB垂直于平面AC内的这无数条直线，而直线AB平面AC；直线A1B1也垂直于平面AC
6、内的这无数条直线，而直线A1B1平面AC.其原因是，虽然这两条直线都垂直于平面AC内的无数条直线，但是这无数条直线是互相平行的，没有两条相交的直线，所以不满足直线和平面垂直的判定定理的条件“两条相交直线” 因此，一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，这条直线不一定垂直于这个平面直线与平面垂直的判定定理有三个条件：平面内两条直线；这两条直线相交；一条直线同时垂直于这两条直线在应用判定定理时，这三个条件缺一不可 探究探究2 2：直线和平面垂直的判定定理如何用符号语：直线和平面垂直的判定定理如何用符号语言描述？言描述？ 提示提示：ab，ac，b，c，bcO，则a. 探究3：过一点与一个平面垂直的直线
7、有几条？过一点与一条直线垂直的平面有几个？ 提示：注意到一个事实提示：注意到一个事实：过一点与一个平面垂直的直线有且只有一条；过一点与一条直线垂直的平面有且只有一个. 典例 平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PAPBPC，若点O是ABC的外心，求证：PO平面ABC.易错盘点易错盘点 【错解错解】如图所示，连接AO，BO，CO. 因为O是ABC的外心， 所以OAOBOC， 又因为PAPBPC，PO为公共边， 所以AOP BOP COP， 所以AOPBOPCOP90， 所以POOA，POOB，所以PO平面ABC. 【错因分析错因分析】错解仅从三个三角形全
8、等，就认为必有AOPBOPCOP90，这是没有根据的，三个三角形全等只能保证AOPBOPCOP，没有说这些角都是直角因此，上述证明是错误的 【正解正解】如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE. 因为PAPBPC， 所以PDAB，PEBC， 因为O是ABC的外心， 所以ODAB，OEBC， 又因为PDDOD，OEPEE， 所以AB平面PDO，BC平面PEO， 于是有ABPO，BCPO，ABBCB， 从而推得PO平面ABC. 易错补练 如图，已知l，PA于A，PB于B，AQl于Q.求证：BQl. 证明证明：连接AB.l，PA，PB， PAl，PBl.又PAPBP，l面P
9、AB.lAB. 又AQl，而AQABA，l面AQB.lBQ. 1直线和平面垂直的定义 需注意的几点：(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式 要点归纳要点归纳(3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但在直线和平面垂直时，却可以得到直线和平面内的任何一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来方便，如若a，b，则ab.简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时，经常使用的一种方法 2直线和平面垂直的判定定理 关于这个定理的理解需注意的几点：(1)判定定理的条件中，“
10、平面内的两条相交直线”是关键性词语，不能改为“平面内的两条直线”(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的 3判定直线与平面垂直的方法：定义法和定理法 4斜线与平面所成的角(空间角)是用斜线和其射影所成的角(平面角)来定义的直线与平面所成的角的范围是0，90 1直线l平面，直线m，则() AlmBlm Cl，m异面 Dl，m相交而不垂直 解析：根据线面垂直的定义知，lm. 答案：A随堂训练随堂训练 2如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况： 三角形的两条边；梯形的两条边；圆的两条
11、直径；正六边形的两条边 不能保证该直线与平面垂直的是() A B C D 解析：梯形和正六边形中均有互相平行的两条边 答案：C 3正方体AC1中，直线A1B1与平面AC所成的角等于() A0 B30 C45 D60 解析：A1B1AB，A1B1平面AC， 所成的角为0. 答案：A 4已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PCBD，平行四边形ABCD一定是_ 解析：如图，PA平面ABCD， PABD.PCBD， BD平面PAC，ACBD. 答案：菱形人教版人教版 必修必修2 2第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系2.3 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质直
12、线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定演示结束演示结束课标解读1.了解直线与平面垂直的定义(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直(重点、难点)3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题(重点、易错点)直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 知识一知识一文字语言图形语言符号语言如果直线l与平面内的 直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直，l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，它们惟一的公共点P叫做垂足 任意一条任意一条l直线和平面垂直的判定定理直线和平面垂直的判定定理 知识二知识二两条相交直线两条
13、相交直线 直线与平面所成的角直线与平面所成的角 锐角锐角 PAO 知识三知识三直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义 类型一类型一线面垂直的判定线面垂直的判定 类型二类型二求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角 类型三类型三易错辨析易错辨析课堂小结课堂小结随堂练习随堂练习备课资源备课资源第二章第二章 点、直线、平面之点、直线、平面之间的位置关系间的位置关系人教版人教版 必修必修2 22.3 2.3 直线、平面垂直的直线、平面垂直的判定及其性质判定及其性质 2.3.1 2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定1进一步掌握线面垂直的定义和判进一步掌握线面垂直的定义和判定定理；定定理
14、；2掌握直线和平面所成的角的概念掌握直线和平面所成的角的概念,会求直线和平面所成的角会求直线和平面所成的角.1直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义如果直线如果直线l与平面与平面的任意一条直线都垂直的任意一条直线都垂直，我们，我们就说直线就说直线l与平面与平面互相垂直，记作互相垂直，记作l.2直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理一条直线一条直线与一个平面内的与一个平面内的两条相交直线都垂直两条相交直线都垂直，则，则该直线与此平面垂直。该直线与此平面垂直。VABC引课引课我们知道我们知道,当直线和平面垂直时当直线和平面垂直时,该直线叫做该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直平面
15、的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是不是也该给它取个名字呢是也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢直线和平面的这种关系呢?直线与平面所成的角直线与平面所成的角如图如图,若一条直线若一条直线PA和一个平面和一个平面相交相交,但不垂直但不垂直,那么这条直线那么这条直线就叫做这个平面的斜线就叫做这个平面的斜线,斜线和斜线和平面的交点平面的交点A叫做斜足。叫做斜足。PA斜足斜足斜线斜线1.平面的斜线平面的斜线如图如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线垂线PO,过垂足过垂足O和斜足和斜足A的直线的直线AO叫叫做斜线在这个平面上的射影做斜
16、线在这个平面上的射影.平面的一条平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫叫做这条直线和这个平面所成的角做这条直线和这个平面所成的角。斜线斜线斜足斜足射影射影垂足垂足垂线垂线一条直线垂直于平面一条直线垂直于平面,我们说它所成的我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行角是直角；一条直线和平面平行,或在或在平面内平面内,我们说它所成的角是我们说它所成的角是00的角。的角。规定规定:想一想想一想:直线与平面所成的角直线与平面所成的角的取值范围是什么的取值范围是什么?2.直线和平面所成的角直线和平面所成的角A1B1C1D1ABCD例例1、如图，正方体、如图，正方体
17、ABCD-A1B1C1D1中，求中，求（1）直线）直线A1B和平面和平面BCC1B1所成的角。所成的角。（2）直线）直线A1B和平面和平面A1B1CD所成的角。所成的角。O分析分析:找出直线找出直线A1B在平面在平面BCC1B1和平面和平面A1B1CD内的射内的射影影,就可以求出就可以求出A1B和平面和平面BCC1B1和平面和平面A1B1CD所成的所成的角。角。1.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确（1）两条平行直线在同一平面内的射影）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线一定是平行直线 （ ）（2）两条相交直线在同一平面内的射影）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线一
18、定是相交直线 （ ）（3）两条异面直线在同一平面内的射影）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线要么是平行直线，要么是相交直线 （ ）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等的射影长也相等 （ ）2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCB2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）AB1在面在面BB1D1D
19、中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCBO线段线段B1O2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCBE线段线段B1E2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1
20、中的射影中的射影A1D1C1B1ADCB线段线段C1D巩固练习巩固练习3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB0o3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与
21、面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB90o3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB45o3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与
22、面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCBE30o1直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念（1）利用定义；）利用定义；（2）利用判定定理）利用判定定理4数学思想方法：转化的思想数学思想方法：转化的思想空间问题空间问题平面问题平面问题3直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直垂直于平面内任意一条直线垂直于平面内任意一条直线2. 线面角的概念及范围线面角的概念及范围0 90范围： ，人教版人教版 必修必修2 2第二章第二章 点、直线、平面之点、直线、平面之间的位置关系间的位置关系2.3 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质2
23、.3.1 2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 1在初中平面几何中能够转化为垂直关系的有：等腰三角形底边上的中线_底边；菱形对角线互相_；正方形对角线互相_；圆的直径所对圆角等于_. 2在上一节，我们已经学习了直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理及其应用，线面平行、面面平行的判定最终归结为线线平行的判定，并且研究了线面平行和面面平行的三种判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)反证法垂直平分垂直平分垂直平分垂直平分垂直平分垂直平分90优效预习优效预习知识链接知识链接 1直线与平面垂直定义如果直线l与平面内的_直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关
24、概念直线l叫做平面的_，平面叫做直线l的_它们唯一的公共点P叫做_图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直任意一条任意一条垂线垂线垂面垂面垂足垂足自主预习自主预习 破疑点(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语 (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式 (3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线 2判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言la，lb，a，b，_l作用判断直线与平面_相交相交abP
25、垂直垂直 破疑点直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可 3 3直线和平面所成的角直线和平面所成的角 (1)定义：一条直线和一个平面_，但不和这个平面_，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引_，过_和_的直线叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角相交相交垂直垂直交点交点垂线垂线垂足垂足斜
26、足斜足锐角锐角900 1直线l平面，直线m，则l与m不可能() A平行 B相交 C异面 D垂直 答案A 解析直线l平面，l与相交， 又m，l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知lm.故l与m不可能平行预习自测预习自测 2直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面的关系是() Al和平面相互平行 Bl和平面相互垂直 Cl在平面内 D不能确定 答案D 解析如下图所示，直线l和平面相互平行，或直线l和平面相互垂直或直线l在平面内都有可能故选D 3.如右图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是() A60 B45 C30 D120 答案A 点评垂线段、斜线段
27、及其射影构成直角三角形 4如下图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：AC平面BDD1B1. 分析转化为证明ACBD，ACBB1. 证明证明 BB1AB，BB1BC， BB1平面AC， 又AC平面AC，BB1AC 又四边形ABCD是正方形，BDAC又BD平面BDD1B1，BB1平面BDD1B1，BB1BDB， AC平面BDD1B1.如图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F.求证： (1)BC平面PAB； (2)AE平面PBC； (3)PC平面AEF.一一. .线面垂直的判定线面垂直的判定高校课堂高校课堂互动探究互动探究 探究探究 本题是证
28、线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用如看到PA平面ABC，可想到PAAB、PABC、PAAC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PABC，联系已知，问题得证 证明(1)PA平面ABC，BC平面ABC， PABC ABC90，ABBC 又ABPAA，BC平面PAB (2)BC平面PAB，AE平面PAB，BCAE. PBAE，BCPBB， AE平面PBC (3)AE平面PBC，PC平面PBC， AEPCAFPC，AEAFA， PC平面AEF. 规律总结规律总结：线面垂直的判定定理的应用 (1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤： 在这个平面内找两条直
29、线，使它和这条直线垂直； 确定这个平面内的两条直线是相交的直线； 根据判定定理得出结论 (2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧： 证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法 如图，在ABC中，ABC90，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC (1)求证：SD平面ABC； (2)若ABBC，求证：BD平面SAC 探究题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，ABBC，D是AC的中点，要证(1)需在平面ABC内找两
30、条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，而(1)的结论可利用跟踪联系跟踪联系 证明证明 (1)因为SASC，D是AC的中点， 所以SDAC在RtABC中，ADBD， 由已知SASB，所以ADS BDS， 所以SDBD，又ACBDD， 所以SD平面ABC (2)因为ABBC，D为AC的中点， 所以BDAC，由(1)知SDBD， 又因为SDACD，所以BD平面SAC规律总结规律总结：利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤：(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线
31、是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论 在正方体ABCDA1B1C1D1中， (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值； (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角二二. .线面角线面角 探究探究 求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求 规律总结：规律总结：求线面角的方法： (1)求直线和平面所成角的步骤：寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三
32、角形中，通过解三角形，求出该角 (2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等 答案D跟踪练习跟踪练习如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，ADPD，E，F分别为CD，PB的中点 (1)求证：EF平面PAB；三三.线面垂直的综合应用线面垂直的综合应用探索延拓探索延拓 探究探究 (1)要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得EFPB，EFAF，所以本题得证；(2)要求线面角，得先找出或作出这个角根据条件易得BP平面EFA故
33、在BEF中，只需过AC与BE的交点G作BF的平行线GH，则GH平面EFA，GAH为所求角 解析解析 (1)证明：连结BE，EP. EDCE，PDADBC， RtPDE RtBCE，PEBE. F为PB中点，EFPB PD底面ABCD，DAAB，PAAB 在RtPAB中，PFBF，PFAF. 又PEBEEA，EFP EFA，EFFA PBAFF，EF平面PAB规律总结：规律总结：(1)中还可取AB中点Q，连结EQ，FQ，证明AB平面EFQ，则ABEF，加上EFPB，则EF平面PAB(2)中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角 如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周
34、上任意一点，ANPM，N为垂足 (1)求证：AN平面PBM. (2)若AQPB，垂足为Q，求证：NQPB 探究探究 根据根据PAPA平面平面ABMABM，证得，证得BMBM平面平面PAMPAM，再利用线面，再利用线面垂直的判定定理证明垂直的判定定理证明ANAN平面平面PBMPBM. .而证线线垂直，可先证线面垂而证线线垂直，可先证线面垂直直跟踪训练跟踪训练 证明证明 (1)AB为 O的直径， AMBM. 又PA平面ABM，PABM. 又PAAMA，BM平面PAM. 又AN平面PAM，BMAN. 又ANPM，且BMPMM， 又AN平面PBM. (2)由(1)知AN平面PBM， PB平面PBM，A
35、NPB 又AQPB，ANAQA， PB平面ANQ. 又NQ平面ANQ，PBNQ.规律总结：规律总结：证明线面垂直时，在平面内找两条相交直线是关证明线面垂直时，在平面内找两条相交直线是关键，同时注意判定定理的条件键，同时注意判定定理的条件已知四边形ABCD中，四个角ABC，BCD，CDA，DAB都是直角，求证：四边形ABCD是矩形 错解四边形ABCD中，四个角ABC，BCD，CDA，DAB都是直角，四边形ABCD是矩形 错因分析把ABCD当作平面四边形(未加共面证明)就得出结论 易错点一在几何题的证明中，只考虑平面情形，而忽略空易错点一在几何题的证明中，只考虑平面情形，而忽略空间情形间情形误区警
36、示误区警示 思路分析思路分析 四边形ABCD有两种存在形式：平面四边形ABCD和空间四边形ABCD，需分类证明 正解正解 当四边形ABCD是平面图形时，它显然是矩形若四边形若四边形ABCDABCD是空间四边形时，可设点是空间四边形时，可设点C C在平面在平面ABDABD之外如图，过点之外如图，过点C C作作CCCC1 1平面平面ABDABD，则，则ABAB面面BCCBCC1 1，ABCABC1 19090. .同理，同理，ADCADC1 19090. . 如图所示，ab，点P在a，b所确定的平面外，PAa于点A，ABb于点B求证PBb. 错解PAa，ab，PAb， PA平面，PBb. 错因分析
37、上述证法的错误在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由PAa，PAb，得PA，忽略了a与b不相交针对训练针对训练 正解正解 PAa，ab，PAb. 又ABb，且PAABA，b平面PAB 又PB平面PAB，PBb. 1若直线a与平面内的两条直线垂直，则直线a与平面的位置关系是() A垂直 B平行 C斜交或在平面内 D以上均有可能 答案D 解析a与内的两条直线垂直，而这两条直线的位置关系不确定，a与可能平行、垂直、斜交或a在内当堂检测当堂检测 2如果一条直线垂直于一个平面内的： 三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边 则能保证该直线与平面垂直() A B C D 答案A 解析三角形
38、的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是. 3下列命题中正确的个数是() 如果直线l与平面内的无数条直线垂直，则l； 如果直线l与平面内的一条直线垂直，则l； 如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线； 如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直 A0 B1 C2 D3 答案B 解析只有正确 4在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于_. 答案45解析解析如图所示，因为正方体如图所示，因为正方体ABCDA1B1C1D1中，中，B1B平面平面ABCD，所以，所以AB即为即为AB1在平面在平面ABCD中的射影，中的射影，B1AB即为直线即为直线AB1与平面与平面ABCD所成的角由题意知，所成的角由题意知，B1AB45，故所求角为，故所求角为45.规律总结：规律总结：求直线与平面所成的角的关键是找出平面的求直线与平面所成的角的关键是找出平面的垂线，从而找出直线在平面内的射影垂线，从而找出直线在平面内的射影
