1、 在本节中所讨论的曲线和曲面,由于它们 的方程是以隐函数(组)的形式出现的,因此 在求它们的切线或切平面时,都要用到隐函 数(组)的微分法.3 几 何 应 用三、曲面的切平面与法线 一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 *四、用参数方程表示的曲面 一、平面曲线的切线与法线 曲线曲线 L：(,)0;F x y ()();yy xxx y或或 0000()()()xyyyFPFPxx000(,)P xyL为为0P在在条件：条件：上一点上一点,近旁近旁,F 满足满足 隐函数定理条件隐函数定理条件,可确定可微的隐函数可确定可微的隐函数:处的切线：处的切线：0LP在在 0000()()(
2、).yxxxFPFPyy或或总之总之,当当 00(),()(0,0),xyFPFP 时 就有时 就有0000000000:(),();:()()()()0;(1):()()()()0.xyxyyxnFPFPFPxxFPyyFPxxFPyy 法向量法向量切线方程切线方程法线方程法线方程例例1 求笛卡儿叶形线求笛卡儿叶形线 332()90 xyxy0(2,1)P在点在点 处的切线与法线处的切线与法线.33(,)2()9.F x yxyxy解解 设设 由由1 例例 2 的讨的讨 论论 近旁满足隐函数定理近旁满足隐函数定理 0(3),2aFP 这里在点这里在点的条件的条件.容易算出容易算出 00(),
3、()(15,12),xyFPFP于是所求的切线与法线分别为于是所求的切线与法线分别为 15(2)12(1)0,5460;12(2)15(1)0,45130.xyxyxyxy即即即即2:sin0Lxyxy例例2 用数学软件画出曲线用数学软件画出曲线 3230(,)P 的图象；并求该曲线在点的图象；并求该曲线在点处的处的 切线与法线切线与法线.解解 在在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令指令窗内执行如下绘图指令:syms x,y;ezplot(x2+y-sin(x*y),-4,4,-8,1);就立即得到曲线就立即得到曲线 L 的图象的图象(见本例末页图见本例末页图186).令令 容易求出容易
4、求出:2(,)sin,F x yxyxy00323030()(2cos)2,()(1cos)1.xPyPFPxyxyFPxxy 由此得到由此得到 L 在点在点 处的切线与法线分别为：处的切线与法线分别为：0P2222(2)()(1)()0,(1)()(2)()0.xyxy 33333333333333333333若在上面的若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指指令窗里继续输入如下指 令令,便可画出上述切线与法线的图象便可画出上述切线与法线的图象.hold on;a=(pi)(1/3);b=a2;ezplot(2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b);ezplot(1+a)*(
5、x-a)-(2*a-b)*(y+b)2sin()0 xyxy L0P图图 18622:2220,LAxBxyCyDxEyF0000()Ax xB y xx yCy y00()()0.D xxE yyF000000()222,()222.xyGPAxByDGPBxCyE 则有则有例例3 设一般二次曲线为设一般二次曲线为 000(,).P xyL 0P试证试证 L 在点在点 处的切线方程为处的切线方程为 22(,)222,G x yAxBxyCyDxEyF令令证证 000()()AxByDxx000()()0,BxCyEyy0000()Ax xB y xx yCy y00()()0.D xxE y
6、yF22000000(222),FAxBx yCyDxEy 由此得到所求切线为由此得到所求切线为 利用利用 满足曲线满足曲线 L 的方程的方程,即即 00(,)xy整理后便得到整理后便得到 二、空间曲线的切线与法平面(),(),xx tyy tt00000000()(),.()()()y txxyyyyxxx tx ty t 或或先从参数方程表示的曲线开始讨论先从参数方程表示的曲线开始讨论.在第五章在第五章3 已学过已学过,对于平面曲线对于平面曲线00000(,)(),()P xyx ty t 若若 是其上一点是其上一点,则曲线则曲线 0P在点在点 处的切线为处的切线为 下面讨论空间曲线下面讨
7、论空间曲线.(A)用参数方程表示的空间曲线用参数方程表示的空间曲线:(),(),(),.Lxx tyy tzz tt0000000(,)(),(),(),P xyzx ty tz tL若且有若且有000000:.(2)()()()xxyyzzx ty tz t 222000()()()0,xtytzt0P类似于平面曲线的情形类似于平面曲线的情形,不难求得不难求得 处的切线为处的切线为 0P 过点过点 且垂直于切线且垂直于切线 的平面的平面 ,称为曲线称为曲线 L 在点在点 处的处的法平面法平面(见图见图187).0P000000()()()()()()0.(3)x txxy tyyz tzz(
8、,)0,:(4)(,)0.F x y zLG x y z 因为切线因为切线 的方向向量即为的方向向量即为 法平面法平面 的法向量的法向量,所以法所以法 平面的方程为平面的方程为 (B)用直角坐标方程表示的空间曲线：用直角坐标方程表示的空间曲线：设设 近旁具有连续的近旁具有连续的 00000(,);,PxyzL F GP在点在点 一阶偏导数一阶偏导数,且且 图图 187 0(,)(0,0,0),xyyzzxPJJJ(,)(,)(,),.(,)(,)(,)xyyzzxF GF GF GJJJx yy zz x其中其中(),(),.xx zyy zzz0()0,xyJP 不妨设不妨设 于是存在隐函数
9、组于是存在隐函数组 这也就是曲线这也就是曲线 L 以以 z 作为参数的一个参数方程作为参数的一个参数方程.根据公式根据公式(2),所求切线方程为所求切线方程为 00000:.()()1xxyyzzx zy z 应用隐函数组求导公式应用隐函数组求导公式,有有 000000()()(),()()().zyxyxzxyx zJPJPy zJPJP 于是最后求得切线方程为于是最后求得切线方程为 000000:.(5)()()()yzzxxyxxyyzzJPJPJP 相应于相应于(3)式的法平面方程则为式的法平面方程则为 0000:()()()()yzzxJPxxJPyy 00()()0.(6)xyJP
10、zz解解 容易求得容易求得 故切向向量为故切向向量为 01,1,2 2,2P 例例 4 求空间曲线求空间曲线 :sin,1cos,4sin(2)Lxttyt zt 在点在点 处的切线和法平面处的切线和法平面.00(2)Pt 对对应应于于000(),(),()x ty tz t 由此得到切线方程和法平面方程分别为由此得到切线方程和法平面方程分别为 (1,1,2).000(1cos,sin,2cos(2)ttt(1)(1)2(2 2)0,:2xyz 24.2xyz 即即 syms t;x=t-sin(t);y=1-cos(t);z=4*sin(t/2);ezplot3(x,y,z,-2*pi,2*
11、pi)绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下:2 2:11;22zxy sin,1cos,4sin(2).xtt yt zt2 t2t 2t 0 t图图 188222222:50,Lxyzxyz222222(,)50,(,).F x y zxyzG x y zxyz例例5 求曲线求曲线 0(3,4,5)P在点在点 处的切线与法平面处的切线与法平面.解解 曲线曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线是一球面与一圆锥面的交线.令令 根据公式根据公式(5)与与(6),需先求出切向向量需先求出切向向量.为此计算为此计算 0PF,G 在点在点 处的雅可比矩阵处的雅可比矩阵:0
12、068102.6810 xyzPPxyzFFFxyzGGGxyz由此得到所需的雅可比行列式由此得到所需的雅可比行列式:0810()160,810yzJP 06 8()0,6 8xyJP0106()120.10 6zxJP(160,120,0)(4,3,0),故切向向量为故切向向量为 据此求得据此求得 34,34250,43:5;50,xyxyzz 切线即切线即:4(3)3(4)0(5)0,430().xyzxyz法平面法平面即平行于轴即平行于轴 三、曲面的切平面与法线 00000()()()().xyzzfPxxfPyy(,)0(7)F x y z 以前知道以前知道,当当 f 为可微函数时为可
13、微函数时,曲面曲面 z=f(x,y)0000(,)P xyz在点在点 处的切平面为处的切平面为 S现在的新问题是现在的新问题是:曲面曲面 由方程由方程 00000(,),(,)P xyzSF x y zP 在在给出给出.若点若点 近旁近旁 具有连续的一阶偏导数具有连续的一阶偏导数,而且而且 000(),(),()(0,0,0),(8)xyzFPFPF P 000000()()(),(),()()yxxyzzFPFPfPfPF PF P 0000000()()()().()()yxzzFPFPzzxxyyF PF P 0()0,zF P 0P不妨设不妨设 则由方程则由方程(7)在点在点 近旁惟一
14、近旁惟一 (,).zf x y 地确定了连续可微的隐函数地确定了连续可微的隐函数 因为因为 S0P所以所以 在在 处的切平面为处的切平面为 又因又因(8)式中非零元素的不指定性式中非零元素的不指定性,故切平面方程故切平面方程 一般应写成一般应写成 000000()()()()()()0.(9)xyzFPxxFPyyFPzz随之又得到所求的法线方程为随之又得到所求的法线方程为 000000.(10)()()()xyzxxyyzzFPFPF P回顾回顾 1 现在知道现在知道,函数函数 在点在点 P 的梯度的梯度 (,)F x y zgrad()()()(),xyzF PFP iFP jF P k
15、其实就是等值面其实就是等值面 在点在点 P 的法向量的法向量:(,)F x y zc(),(),().xyznFPFPF P 回顾回顾 2 若把由若把由(4)表示的空间曲线表示的空间曲线 L 看作两曲面看作两曲面(,)0(,)0F x y zG x y z和和的交线的交线(图图189),则则 L0P在在 的切线与此二曲的切线与此二曲 面在面在 的法线都相垂的法线都相垂 0P直直.而这两条法线的而这两条法线的 方向向量分别是方向向量分别是 01(,),xyzPnFFF 02(,),xyzPnGGG 1n L0P(,)0G x y z (,)0F x y z 2n 图图 18912000000()
16、()()()()()xyzxyzijknnFPFPFPGPGPGP 故曲线故曲线(4)的切向向量可取的切向向量可取 的向量积的向量积:12nn与与这比前面导出这比前面导出(5),(6)两式的过程更为直观两式的过程更为直观,也容也容 易记得住易记得住.000(,)(,)(,).(,)(,)(,)PPPF GF GF Gijky zz xx y例例6 求旋转抛物面求旋转抛物面 在点在点 224xyz0(2,4,5)P 解解 令令 则曲面的法向量为则曲面的法向量为 22(,)4,F x y zxyz1(2)2(4)1(5)0,xyz 处的切平面和法线处的切平面和法线.0(2,4,5)(,)(2,2,
17、4)xyzPnFFFxy (4,8,4)(1,2,1).从而由从而由(9),(10)分别得到切平面为分别得到切平面为 法线为法线为25;xyz即即245.121xyz,0 xaybfzczc()例例7 证明证明:曲面曲面 的任一切平的任一切平 面都过某个定点面都过某个定点(这里这里 f 是连续可微函数是连续可微函数).(,),xaybF x y zfzczc()证证 令令 则有则有 (,)xyzFFF 12122()(),.()ffxa fyb fzczczc 10020001002000()()()()()()()()()0.fPxxfPyyxa fPyb fPzzzc 0100201020
18、0()()()()(),(),.xa fPyb fPfPfPzc ()0000(,)Pxyz于是曲面在其上任一点于是曲面在其上任一点 处的法向量处的法向量 可取为可取为 由此得到切平面方程由此得到切平面方程:将点将点 代入上式代入上式,得一恒等式得一恒等式:(,)(,)x y za b c 01002000()()()()()0,()xa fPyb fPczzc 这说明点这说明点 恒在任一切平面上恒在任一切平面上.(,)a b c100200()()()()fPaxfPby:(,),(,),(,).(11)Sxx u vyy u vzz u v*四、用参数方程表示的曲面 曲面也可以用如下双参数
19、方程来表示曲面也可以用如下双参数方程来表示:这种曲面可看作由一族曲线所构成这种曲面可看作由一族曲线所构成:每给定每给定 v 的一的一 个值个值,(11)就表示一条以就表示一条以 u 为参数的曲线为参数的曲线;当当 v 取取 某个区间上的一切值时某个区间上的一切值时,这许多曲线的集合构成了这许多曲线的集合构成了一个曲面一个曲面.现在要来求出这种曲面的切平面和法线现在要来求出这种曲面的切平面和法线的方程的方程.00(,)u v所对应的点所对应的点0000(,),P xyzS 为此假设为此假设且且 0P(11)式中三个函数在式中三个函数在 近旁都存在连续的一阶偏近旁都存在连续的一阶偏 导数导数.因为
20、因为 在在 处的法线必垂直于处的法线必垂直于 上过上过 的的 S0PS0P任意两条曲线在任意两条曲线在 的切线的切线,0P所以只需在所以只需在 上取两条特上取两条特 S殊的曲线殊的曲线(见图见图1810):000(,),(,),(,)xx u vyy u vzz u v它们的切向量分别为它们的切向量分别为 00001(,)2(,)(,),(,),uuuu vvvvu vxyzxyz000(,),(,),(,),xx u vyy u vzz u v和和Sn 1 2 0()vv 0()uu 0P图图 1810 则所求的法向量为则所求的法向量为 0012(,)(,)(,)(,),.(,)(,)(,)
21、uvy zz xx ynu vu vu v 至此至此,不难写出切平面方程和法线方程分别为不难写出切平面方程和法线方程分别为 000000000000000(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)uuuvvvxxyyzzxuvyuvzuvxuvyuvzuv 000000000(,)(,)(,).(,)(,)(,)(,)(,)(,)uvuvuvxxyyzzy zz xx yu vu vu v2233,.(12)xuvyuvzuv解解 先计算在点先计算在点 处的法向处的法向 (,),(,),(,)P x u vy u v z u v22123123uuuvvvijkijknxyzuuxyzvv 例例
22、8 设曲面的参数方程为设曲面的参数方程为 试对此曲面的切平面作出讨论试对此曲面的切平面作出讨论.量量:6()3()()2().uv vu iuv uv jvu k由此看到由此看到,当当 时时 说明在曲面说明在曲面(12)uv(0,0,0).n 232,2,2,(13)xu yuzu1(6,3(),2).nuvuv 而当而当 时时,法向量可取法向量可取 uv 上存在着一条曲线上存在着一条曲线,其方程为其方程为 在此曲线上各点处在此曲线上各点处,曲面不存在切平面曲面不存在切平面,我们称这我们称这 种曲线为该曲面上的一条种曲线为该曲面上的一条奇线奇线.与之对应的切平面则为与之对应的切平面则为 226
23、()3()()uv xuvuvyuv2233()()().63()2xuvyuvzuvuvuv02100lim(6,6,2)(0,0,0).PPnuu 法线则为法线则为(,),(,),(,)P x u vy u v z u v当动点当动点 趋于奇线趋于奇线(13)上上0000000(,),(,),(,)P x u uy u uz u u1n 的点的点 时时,法向量法向量 存在极限存在极限(一般不一定存在一般不一定存在):332()0;zuv此点处此点处 不存在法不存在法 (),(),()(0,0,0),xyzFO FO F O 223000003(2)3(2)(2)0,uxuuyuzu此时切平
24、面存在极限位置此时切平面存在极限位置:有时需要用此有时需要用此“极限切平面极限切平面”来补充定义奇线上的来补充定义奇线上的 切平面切平面.注注 曲面上的曲面上的孤立奇点孤立奇点往往是曲面的尖点往往是曲面的尖点,如圆锥如圆锥 222(,)0F x y zxyz(0,0,0),O面面的顶点的顶点 在在 线和切平面线和切平面.而曲面上的而曲面上的奇线奇线,则往往是该曲面的则往往是该曲面的 “摺线摺线”、“边界线边界线”或是曲面自身的或是曲面自身的“交叉线交叉线”.曲面曲面(12)及其奇线及其奇线(边界线边界线)的图象如下的图象如下:2233:,.xuv yuvzuv曲面23:2,2,2.xuyuzu
25、边界线 图图 1811定义定义 若若 存在连续的一阶偏导数存在连续的一阶偏导数,且满足且满足 (,)F x y z(,)0F x y z (,)(0,0,0),xyzFFF 则称曲面则称曲面 为为 一一光滑曲面光滑曲面.对于用双参数方程对于用双参数方程(11)表示的曲面表示的曲面,应如何定义应如何定义 它为光滑曲面它为光滑曲面?请读者自行考虑请读者自行考虑.复习思考题 1.模仿例模仿例2、例、例4,使用数学软件使用数学软件(例如例如 MATLAB)分别绘出例分别绘出例1 中的曲线和例中的曲线和例8 中的曲面中的曲面.自几何对象的计算公式也不同自几何对象的计算公式也不同.试考虑怎样才能较试考虑怎样才能较2.曲线或曲面由于它们表示形式的不同曲线或曲面由于它们表示形式的不同,导致各导致各 容易地记住这许多公式容易地记住这许多公式?3.光滑曲面有怎样的几何特征光滑曲面有怎样的几何特征?对于用参数方程对于用参数方程 (11)表示的曲面表示的曲面,应如何定义它为光滑曲面应如何定义它为光滑曲面?为什么说是一条边界线为什么说是一条边界线?uv 4.例例8 所讨论的曲面上所讨论的曲面上,对应于对应于 的那条奇线的那条奇线
