1、1.1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 菱形的性质 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系； 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点） 学习目标 问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？ 平行四边形的性质： 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. 角：对角相等,邻角互补. 导入新课导入新课 活动: 观察下列图片， 找出你所熟悉的图形. 问题1: 观察上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么 样的共同特征？ 平行四边形 菱形 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱
2、形的概念及其与平行四边形的关系 一 讲授新课讲授新课 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有 性质，但平行四边形不一定是菱形. 问题2: 菱形与平行四边形有什么关系？ 归纳 平行四边形 菱形集合 平行四边形集合 1.做一做:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： 问题1:菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？ 问题2:菱形中有哪些相等的线段？ 菱形的性质探究和证明 二 2.发现菱形的性质： 菱形是轴对称图形，有两条对称轴(对称轴直线AC 和直线BD). 菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD). 菱形的对角线互相垂直(ACBD). A B C O
3、D 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O. 求证:(1）AB = BC = CD =AD； （2）ACBD. 3.证明菱形性质: 证明：（1）四边形ABCD是菱形， AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又AB=AD; AB = BC = CD =AD. A B C O D （2）AB = AD, ABD是等腰三角形. 又四边形ABCD是菱形, OB = OD . （菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中, OB = OD, AOBD, 即ACBD. A B C O D 4.归纳结论 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性 质外
4、，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直. 角：对角相等，邻角互补. 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 菱形面积的计算 三 A B D C a h (1)菱形的面积计算公式：S = ah. (2)菱形的面积计算公式：S = S ABD+SBCD = AODB + CODB = AC DB. O 2 1 2 1 2 1 例1：如右图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线 BD长10cm. 求： （1）对角线AC的长度； （2）菱形ABCD的面积. A B C D E 解: (1)
5、四边形ABCD是菱形,AC与BD相交 于点E. AED=90(菱形的对角线互相垂直), DE= BD = 10 = 5(cm) . (菱形的对角线互相平分) 2 1 2 1 A B C D E AE= =12(cm). AC=2AE=2 12= 24(cm)（菱形的对角 线互相平分）. (2)如图，菱形ABCD的面积 = BD AC =120(cm2). 2222 513 DEAD 2 1 例2：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， BAD=60，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 解：四边形ABCD是菱形， ACBD(菱形的对角线互相垂直) OB=OD= BD =
6、 6=3(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形ABC中， BAD=60， ABD是等边三角形. AB = BD = 6. 2 1 2 1 菱形的性质应用 四 A B C O D 在RtAOB中，由勾股定理，得 OA2+OB2=AB2， OA = = = AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）. 22 OBAB 22 36 .33 36 A B C O D 1.填一填：根据右图填空 （1）已知菱形的周长是12cm，那么它 的边长是_. （2）菱形ABCD中ABC120 ，则 BAC_. （3）菱形的两条对角线长分别为6cm和 8cm，则菱形的边长是（ ） A.10cm B.7cm C. 5cm
7、 D.4cm 3cm 30 C A B C O D 当堂练习当堂练习 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD 相交于点O. 已知AB=5cm， AO=4cm，求BD的长. A B C O D 解：四边形ABCD是菱形， ACBD (菱形的两条对角线互相垂直). AOB=90. BO= =3(cm). BD=2BO=23=6(cm). 22 AOAB 平行四边形 有一组邻边相等的平行四边 形叫做菱形. 1.菱形是轴对称图形. 2.菱形的四条边相等. 3.菱形的对角线互相垂直平分. 菱形 定义 性质 课堂小结课堂小结 1.1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 导入新课 讲授新课 当
8、堂练习 课堂小结 第2课时 菱形的判定 1.理解并掌握菱形的两个判定方法.（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点） 学习目标 问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？ 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形. 菱形的性质：1. 轴对称图形. 2. 四边相等. 3. 对角线互相垂直平分. A B C D 导入新课导入新课 思考与动手: 1.在一张纸上用尺规作图作出边长为10cm的菱形; 2.想办法用一张长方形纸剪出一个菱形; 3.利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法？ 请向同学们展示你的作品,全班交流. 做一做：先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中的虚线 剪下,将纸
9、展开,就得到了一个菱形. (1) (2) (3) (4) 你能说说这样做的道理吗? 菱形判定定理 一 问题：根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱形.除此之 外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形? 1.小明的想法 平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题. 受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对角线垂直的 平行四边形是菱形. 讲授新课讲授新课 2.小颖的想法 我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形.但 “四边相等的平行四边形是菱形”实际上与“邻边 相等的平行四边形是菱形”一样. 你是怎么想的?你认为小明的想法如何? A B C O D 已知：右图中四边形AB
10、CD是平行四边形,对角线AC与BD相交 于点O ,ACBD. 求证：ABCD是菱形. 证明： 四边形ABCD是平行四边形. OA=OC. 又ACBD, BD是线段AC的垂直平分线. BA=BC. 四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理 试一试:对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 定理运用格式： 四边形ABCD是平行四边形, 又ACBD, 四边形ABCD是菱形. (对角线互相垂直的平行四边形为菱形) A B C O D 小刚小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相较于点B , D,依次 连接A、B、C、D四点. 议一议：已知线
11、段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD,使AB为菱形的一条对角线？ C A B D 想一想：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？ 2.怎么验证四边形ABCD是菱形？ 提示：AB = BC=CD =AD 证明：AB=BC=CD=AD; AB=CD , BC=AD. 四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）. 又AB=BC, 四边形ABCD是菱形 (菱形的定义). A B C D 已知：右图中四边形ABCD,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 四边相等的四边形是菱形. 定理 定理的运用格式 AB=BC=CD=DA， 四边形ABCD是菱形 (四边相等的四边形为
12、菱形). A B C D 证明：在AOB中. AB= = , OA=2,OB=1. AB2=AO2+OB2. AOB是直角三角形, AOB是直角. ACBD. ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 例1：已知：如右图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, AB= ,OA=2,OB=1. 求证： ABCD是菱形. 5 A B C O D 典例精析 利用菱形判定定理进行证明 二 2 例2：已知：如图,在ABC, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形. A C B E D F 证明： 1= 2, 又又AE=AC,
13、 ACD AED (SAS). 同理同理ACFAEF(SAS) . CD=ED, CF=EF. 又EF=ED, 四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）. 1 1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ） A. ACBD ,AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA C. AB=BC,AD=CD,AC BD D. AB=CD,AD=BC,AC BD A B C O D C 当堂练习当堂练习 2.如下图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形 A B C D E F O 1 2 证明: 四边形ABCD是平行
14、四边形, AEFC. 1=2. EF垂直垂直平分AC, AO = OC . EO =FO. 四边形AFCE是平行四边形. 又EFAC 四边形AFCE是菱形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 定理1：对角线互相垂直的平行四边形 是菱形. 定理2：四边相等的四边形是菱形. 运用定理进行计算和证明. 菱形的判定 定义 定理 课堂小结课堂小结 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 矩形的性质 1.了解矩形的概念及其与平行四边形的关系； 2.探索并证明矩形的性质定理.（重点） 3.应用矩形的性质定理解决相关问题.（难点） 学习目标 活动
15、:观察下面的图形,它们都含有平行四边形,请把它们全部找 出来. 问题：上面的平行四边形有什么共同的特征？ 导入新课导入新课 矩形的定义 一 活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一 个内角变化,请同学们注意观察. 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形 讲授新课讲授新课 矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有 性质,但平行四边形不一定是矩形. 归纳 平行四边形 矩形集合 平行四边形集合 矩形性质的探究和证明 二 活动探究： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. （1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅 笔盒等）的四条边长度、四个
16、角度数和对角线的长度及夹角度数, 并记录测量结果. （2）根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时, 发现的结论是否仍然成立？ （3）通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？ A B C D O AB AD AC BD BAD ADC AOD AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） 填一填 根据上面探究出来结论填在下面横线上. 角： . 对角线： . A B C D 四个角为90 相等 O 证明：（1）四边形ABCD是矩形. ABC=CDA,BCD=DAB(矩形的对角线) ABDC(矩形的对边平行). ABC+BCD=180. 又ABC = 90, BCD
17、 = 90. 证明性质: 已知：如右图,四边形ABCD是矩形,ABC=90,对角线 AC与DB相较于点O. 求证：（1）ABC=BCD=CDA=DAB=90; （2）AC=DB. A B C D O ABC=BCD=CDA=DAB =90. (2)四边形ABCD是矩形, AB=DC(矩形的对边相等). 在ABC和DCB中, AB=DC,ABC=DCB,BC= CB, ABCDCB. AC=DB. 1.矩形的四个角都是直角. 2.矩形的对角线相等. 定理 A B C D O 做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考. （1）矩形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是什么？
18、（2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 2条 归纳结论 矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性 质外,还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 角：四条角都是90. 对角线：相等. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. 矩形的特殊性质 平行四边形的性质 已知：如右图,四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD交于点E. 证明：在RtABC中,BE= AC. A B C D E 2 1 证明：四边形ABCD是矩形. AC = BD(矩形的对角线相等). BE= DE= BD,A
19、E=CE= AC (矩形对角线相互平分), BE= AC. 直角三角形斜边上的中线上的性质 三 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. . 定理 练一练：根据右图填空 已知ABC中,ABC = 90,BD是斜边 AC上的中线. (1)若BD=3cm,则AC =_cm; (2)若C = 30 , ,AB = 5cm,则 AC =_cm, BD = _cm. A B C D 6 10 5 例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O, AOD=120,AB=2.5 ,求矩形对角线的长. 矩形的性质定理的应用 四 解：四边形ABCD是矩形. AC = BD(
20、矩形的对角线相等). OA= OC= AC, ,OB = OD = BD , (矩形对角线相互平分) OA = OD. A B C D O 典例精析 A B C D O AOD=120, ODA=OAD= (180- 120)=30. 又DAB=90 , （矩形的四个角都是直角） BD = 2AB = 2 2.5 = 5. 提示：AOD=120 AOB=60 OA=OB=AB AC=2OA =22.5=5. 你还有其他解法 吗？ 例2：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DFAE , 垂足为F. 求证：DF=DC. A B C D E F 证明：连接DE. AD =AE,AED
21、 =ADE. 四边形ABCD是矩形, ADBC,C=90. ADE=DEC, DEC=AED. 又DFAE, DFE=C=90. 又DE= DE, DFEDCE, DF=DC. 1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC , BD交于点O ,已知 AOB=60 , AC=16,则图中长度为8的线段有（ ） A.2条 B.4条 C.5条 D.6条 D A B C D O 60 当堂练习当堂练习 2.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BEAC 交DC的延长线于点E. （1）求证：BD=BE, （2）若DBC=30 , BO=4 ,求四边形ABED的面积. A B C D O E
22、（1）证明：四边形ABCD是矩形. AC= BD,ABCD. 又BEAC, 四边形ABEC是平行四边形, AC=BE, BD=BE. (2)解：在矩形ABCD中,BO=4, BD = 2BO =24=8. DBC=30, CD= BD= 8=4, AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8. 在RtBCD中, BC= 四边形ABED的面积= (4+8) = . A B C D O E 平行四边形 1.矩形是轴对称图形和中心对称图形 2.矩形四个角都是直角 3.矩形的对角线相等且相互平分 矩形 性质 有一个角是 直角 转换 直角三角形 等腰三角形 课堂小结课堂小结 1.2 矩形的性质与判定
23、 第一章 特殊平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时 矩形的判定 1理解并掌握矩形的判定方法（重点） 2能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题. .(难点) 学习目标 问题: 什么是矩形？矩形有哪些性质？ A B C D O 矩形：有一个角是直角的平行四边形. 矩形性质：是轴对称图形; 四个角都是直角; 对角线相等且平分. 导入新课导入新课 矩形判定的定理及其证明 一 活动1: 利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的 顶点时, 注意观察两条对角线的长度. 问题1:我们会看到对角线会随着变化而变化,当两条对角线 长度相等时,平行四边形有什么特征？ 讲授新课讲授新
24、课 已知：如图,在ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：ABCD是矩形. 证明：AB = DC,BC = CB,AC = DB, ABCDCB , ABC = DCB. ABCD, ABC + DCB = 180, ABC = 90, ABCD是矩形（矩形的定义）. 猜想:当对角线相等时，该平行四边形可能是矩形. A B C D 对角线相等的平行四边形是矩形. 定理 活动2: 李芳同学通过画“边直角、边直角、边直角、边” 这样四步画出一个四边形. 问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形？你认为她的 判断正确吗？如果正确,你能证明吗？ 已知：如图,在四边形ABC
25、D中,A=B=C=90 . 求证：四边形ABCD是矩形. 猜想:当三个角都是直角,该四边形可能是矩形. 证明: A=B=C=90, A+B=180,B+C=180. ADBC,ABCD. 四边形ABCD是平行四边形. 四边形ABCD是矩形. A B C D 有三个角是直角的四边形是矩形. 定理 例1：如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , ABO 是等边三角形, AB=4,求ABCD的面积. 解：四边形ABCD是平行四边形, OA= OC,OB = OD. 又ABO是等边三角形, OA= OB=AB= 4,BAC=60. AC= BD= 2OA = 24 = 8. 定理的应用 二
26、典例精析 A B C D O ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. ABC=90（矩形的四个角都是直角） . 在RtABC中,由勾股定理,得 AB2 + BC2 =AC2 , BC= . S ABCD=AB BC=4 = A B C D O 例2：如图，在ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为 邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC. （1）求证：ADCECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形. 证明：（1）ABC是等腰三角形, B=ACB. 又四边形ABDE是平行四边形, B=EDC,AB=DE, ACB=EDC, ADCECD. A D
27、C E B (2)AB=AC,BD=CD, ADBC,ADC=90. 四边形ABDE是平行四边形, AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC, 四边形ADCE是平行四边形. 而ADC=90, 四边形ADCE是矩形. A D C E B 1.如图,直线EFMN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、 CD、AD分别是EAC、 MCA、 ACN、CAF的角 平分线,则四边形ABCD是（ ） A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 D E F M N Q P A B C C 当堂练习当堂练习 2.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DEAC，CEBD， DE、CE交于点E，四边形CE
28、DO是矩形吗？说出你的理由. D A B C E O 解：四边形CEDO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ACBD. BOC=90. DEAC,CEBD， 四边形CEDO是平行四边形. 四边形CEDO是矩形（矩形的定义）. 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 定理1：对角线相等的平行四边形是矩形. 定理2：有三个角是直角的四边形是矩形. 运用定理进行计算和证明. 矩形的判定 定义 定理 课堂小结课堂小结 1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 正方形的性质 1.了解正方形的定义及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明正
29、方形的性质定理.（重点） 3.应用正方形的性质定理解决相关问题.（难点） 学习目标 活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？ 四个角呢？ 导入新课导入新课 正方形的定义 一 活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到 一个四边形. 问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？ 正方形 讲授新课讲授新课 活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形 框架的形状. 问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形 正方形的性质探究和证明 二 A B C D 填一填： 角： 边： 对角线： 对
30、称性： 四个角都是直角. 四条边相等. 对角线相等且互相垂直平分. a a a a 轴对称图形（4条对称轴）. 1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 定理 已知：如右图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：四边形ABCD是正方形. A=90, AB=AC . （正方形的定义） 又正方形是平行四边形. 正方形是矩形, （矩形的定义） 正方形是菱形.(菱形的定义) A=B =C =D = 90, AB= BC=CD=AD. 定理证明 已知：如右图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于
31、点O.求证：AO=BO=CO=DO,ACBD. A B C D O 请同学们动手完成以上证明？ 提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形 的定理来完成该题. 想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？ 矩形 菱形 正方形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形. 所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有. 归纳 归纳结论 正方形 对角线 边 边 对角线 对角线 角 对边平行且相等 相互平分 相等 四个角相等都是90 相互垂直且 平分对角 四边相等 对称性 轴对称图形（4条对称轴） 例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延
32、长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由. 正方形性质定理的应用 三 典例精析 解：BE=DF,且BEDF.理由如下： （1）四边形ABCD是正方形. BC=DC,BCE =90 . （正方形的四条边都相等,四个角都是直角） DCF=180-BCE=180-90=90. A B D C F E A B D F E BCE=DCF. 又CE=CF. BCEDCF. BE=DF. (2)延长BE交DE于点M, BCEDCF , CBE =CDF. DCF =90 , CDF +F =90.CBE+F=90 , BMF=90. BEDF. C M 例2：如图，已知四边形A
33、BCD是正方形,对角线AC与BD相 交于点O , MNAB ,且分别于OA , OB相交于点M , N. 求证：（1）BM = CN;（2）BMCN. A B C D O M N 证明：（1）MNAB. 1 =2 =3 =4 = 45. OM = ON. OA= OB, OA- OM = OB - ON,AM=BN. 又2=NBC,AB=BC. ABM BCN(SAS) BM=CN. 1 2 3 4 A B C D O M N (2)延长CN交线段MB于点Q. ABMBCN. 6=8. OCB =ABO =45. 5=7. 又ONC=QNB. 180-5 -ONC = 180-7 -QNB,
34、CON =NQB = 90. BMCN. Q 5 7 6 8 1在正方形ABC中,ADB= ,DAC= , BOC= . 2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则 EBC的度数是 . A D B C O A D B C O E 45 90 22.5 第1题 第2题 45 当堂练习当堂练习 3.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边 ABE,连结DE 、 CE ,求DEC的度数. D A E B C 解：ABE是等边三角形. AB =AE=BE, ABE=BEA=EAB =60. 又四边形ABCD是正方形. AD=BC=AE=BE, DAB=ABC=90.
35、DAE=CBE=150. AED=EDA=CEB=BCE=15. DEC=AEB-AED-CEB=30. 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行 四边形叫做正方形 课堂小结课堂小结 1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时 正方形的判定 1掌握正方形的判定方法（重点） 2会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . .(难点) 学习目标 问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边
36、形. 正方形性质：四个角都是直角; 四条边都相等; 对角线相等且互相垂直平分. O 导入新课导入新课 问题2：你是如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 三个判定定理 正方形判定的定理 一 动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使AB=AD ,作DCAB , BCAD ,得四边形ABCD. A M N B D C 问题1：上面所画四边形ABCD是正方形吗？为什么？ 讲授新课讲授新课 想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形？ （1） （2） （3） （4） 菱形 问题2：满足怎
37、样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 1.对角线相等的菱形是正方形. 2.对角线垂直的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形. 定理 正方形判定的两条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件 菱形条件 (1) (2) 一个直角 对角线相等 一组邻边相等 对角线垂直 例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分ABC , CE平分DCB , BFCE , CFBE. 求证：四边形BECF是正方形. 正方形判定定理的应用 二 典例精析 F A B E C D 解析：先
38、由两组平行线得出四边形BECF平行四边形； 再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可 得正方形； 45 45 F A B E C D 证明: BFCE,CFBE， 四边形BECF是平行四边形. 四边形ABCD是矩形, ABC = 90, DCB = 90, BE平分ABC, CE平分 DCB, EBC = 45, ECB = 45, EBC = ECB . EB=EC, BECF是菱形 . 在EBC中 EBC = 45,ECB = 45, BEC = 90, 菱形BECF是正方形. 例2：已知：如图所示,在RtABC中, C=90 , BAC , ABC的平分线于点D , DEBC于点E
39、 , DFAC于点F. 求证：四边形CEDF是正方形. 证明: 如图所示,过点D作DGAB于点G. DFAC , DEBC , DFC=DEC=90. 又C=90, 四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）. AD平分BAC , DFAC , DGAB. DF=DG. 同理可得 DE=DG , DE=DF. 四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. C E B A F D G 例3：如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且 EGFH.求证：四边形EFGH是正方形. 证明：四边形ABCD为正方形, OB=OC,ABO=BCO =45, BOC=90=CO
40、H+BOH. EGFH, BOE+BOH=90, COH=BOE, CHO BEO, ,OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG, B A C B O E H G F OE=OF=OG=OH. 又EGFH, 四边形EFGH为菱形. EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, 四边形EFGH为正方形. B A C B O E H G F 做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四 边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四 边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 平行四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G
41、 H 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 2四个内角都相等的四边形一定是（ ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形 D C 当堂练习当堂练习 3.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P 是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD ,垂足分别为M、N. (1) 求证： ADB= CDB; (2) 若 ADC=90,求证：四边形MPND是正方形. C A B D P M N 证明：（1）AB = BC,BD平分ABC.
42、1=2. ABDCBD (AAS). ADB=CDB. 1 2 C A B D P M N （2）ADC=90; 又PMAD,PNCD; PMD=PND=90. 四边形NPMD是矩形. ADB=CDB; ADB=CDB=45. MPD=NPD=45. DM=PM,DN=PN. 四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分且相等） 课堂小结课堂小结 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？什么叫方程？我们学过哪些方程？ 2.什么叫一元一
43、次方程？什么叫一元一次方程？ 3.什么叫分式方程？什么叫分式方程？ 你能根据商品的销售利润作出一定的你能根据商品的销售利润作出一定的 决策吗决策吗? 与一元一次方程和分式方程一样与一元一次方程和分式方程一样,一元二一元二 次方程也是刻画现实世界的一个有效数学次方程也是刻画现实世界的一个有效数学 模型。模型。 “知识” 知多少 教室地面有多宽 幼儿园某教室矩形地面的长为幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为，宽为5m，现准，现准 备在地面正中间铺设一块面积为备在地面正中间铺设一块面积为m2 的地毯的地毯 ，四，四 周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求
44、出这 个宽度吗？个宽度吗？ 解：如果设所求的宽为解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图那么地毯中央长方形图 案的长为案的长为 m,宽为宽为 m,根据题意根据题意,可得方可得方 程：程： 你能化简这个方程吗? （82x） （52x） (8 2x) (5 2x) = 18. 5 x x x x （82x） 8 18m2 数学数学 化化 观察下面等式：观察下面等式： 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平 方和等于后两个数的平方和吗？方和等于后两个数的平方和吗？ 如果设五个连续整数中的第一个数为如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四
45、个数依，那么后面四个数依 次可表示为：次可表示为： ， ， ， 你能化简这个方程吗? x1 x2 x3 x4 根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： . (x1)2 (x 2)2 (x3)2 (x4)2 x2 一 般 化 一 般 化 生活中的数学 如图，一个长为如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑如果梯子的顶端下滑1m， 那么梯子的底端滑动多少米？那么梯子的底端滑动多少米？ 解：由勾股定理可知，解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙滑动前梯子底端距墙 m. 如果设梯子底端滑动如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子，那么滑动后梯子 底端距墙底端距墙 m; 根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： 你能化简这个方程吗? 6 x6 72(x6)2 102 xm 8m 7m 6m 数学化 1m 上面的方程都是只含有上面的方程都是只含有 的的 ，并且都可，并且都可 以化为
