1、.,数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形，行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵nmA?.,12阶子式的称为矩阵阶行列式，的中所处的位置次序而得变它们在不改元素处的个），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在定义kAkAknkmkkkAnm?一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念 矩阵的秩.)(0102等于零并规定零矩阵的秩的秩，记作称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵，那末于）全等阶子式（如果存在的话，且所有式阶子的中有一个不等于设在矩阵定义ARArADrDkA?.)(子式的最高阶数中不等于零的是的秩矩阵AARAnm?，对于TA).()(ARART?显有.个阶子式共有的矩阵knkmCCkA
2、nm?例1.174532321的秩求矩阵?A解 中，在 A，阶子式只有一个的又AA3?.03221?，且0?A.2)(?AR例2.00000340005213023012的秩求矩阵?B解 行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，3B?.4阶子式全为零的所有B?,0400230312?而.3)(?BR例3 3，求该矩阵的秩已知?510231202231A,022031?102120231?502320231?解 计算A的3阶子式，,0?,0?510312223?512310221?,0?,0?.0?.2?AR做初等变换，对矩阵?510231202231A另解,000031202231510231202
3、231?显然，非零行的行数为 2，?.2?AR此方法简单！.,梯形等行变换把他变为行阶总可经过有限次初因为对于任何矩阵nmA?问题：经过变换矩阵的秩变吗？?.,1 BRARBA?则若定理证 二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法 ).()(BRARBA?则，经一次初等行变换变为先证明：若.0)(?rDrArAR阶子式的某个，且设时，或当BABAkrrriji?时，分三种情况讨论：当BAjikrr?,.rrDDB相对应的子式中总能找到与在,rrrrrrkDDDDDD?或或由于.)(0 rBRDr?，从而因此行；行但不含第中含第）（行；行和第中同时含第）（行；中不含第）（jiDjiDiDrrr321.)
4、(,0)2(),1(rBRDDDBrrr?故子式对应的中与两种情形，显然对，对情形)3(,?rrjijirDkDrkrkrrD?,0?rD若,?非零子式阶行的中有不含第行知中不含第因riAiDr.)(rBR?,0?rD若若).()(BRARBA?，则经一次初等行变换变为若 ,AB为也可经一次初等变换变又由于.)(,0rBRDDrr?也有则).()(BRAR?因此).()(ARBR?故也有 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变 ).()(,BRARBA?也有经初等列变换变为设,BA经初等列变换变为设).()(),(,BRARBABA?则即经有限次初等变换变为若综上
5、,TTBA 经初等行变换变为则),()(TTBRAR?),()(),()(TTBRBRARAR?且).()(BRAR?证毕 初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4 的一个最高阶非零子式秩，并求的求矩阵设AAA,41461351021632305023?阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对A解?41461351021632305023 A?0502335102163234146141rr?41461351021632305023 A?050233510211340414614241rrrr?12812160117912011340
6、41461?41461351021632305023 A4241rrrr?141332rrrr?84000840001134041461?00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 .3)(?AR233rr?244rr?34rr?.的一个最高阶子式求 A ,3)(?AR?.3阶的最高阶非零子式为知A阶子式共有的 3A .403534个?CC阶梯形矩阵为的行则矩阵记),(),(42154321aaaBaaaaaA?的行阶梯形矩阵，考察A?000400140161,3)(?BR?的前三行构成的子式计算B.3阶非零子式阶非零子式中必有中必有故故 B.4个且共有623502
7、523?1106502523?116522?.016?则这个子式便是 的一个最高阶非零子式.A，阶可逆矩阵设An ,0?A?,AA的最高阶非零子式为?,)(nAR?.,EAEA的标准形为单位阵故.为满秩矩阵，故称可逆矩阵可逆矩阵的秩等于阶数.奇异矩阵为降秩矩阵例5?4321,6063324208421221bA设设 .)(的秩及矩阵求矩阵bABA?解),(bABB?的行阶梯形矩阵为设分析：的行阶梯形矩阵，就是则AA).()(),(BRARbAB及中可同时看出故从?46063332422084211221B?13600512000240011221131222rrrr?143rr?1000050
8、0000120011221?000001000001200112212322rrr?243rr?53?r34rr?.3)(,2)(?BRAR三、小结三、小结(2)初等变换法 1.矩阵秩的概念 2.求矩阵秩的方法 (1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);思考题思考题?)()(,是否相等与为任一实矩阵设ARAARAT 思考题解答思考题解答 答答 相等.,0?x因为对于任一实向量,0时当?Ax,0?AxAT必有有时反之当,0?AxAT0?AxAxTT 即?0?AxAxT;0?Ax由此可知,00同解与?AxAAxT?.ARAART?故
