1、第四章三角形初中数学（北师大版）初中数学（北师大版）七年级 下册第四章三角形知识点一三角形的有关概念1.三角形的概念:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三角形的基本要素:组成三角形的三条线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边夹的角叫做三角形的内角.3.三角形的符号表示:三角形用符号“”表示,顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”,读作“三角形ABC”.一般地,ABC的三边用a、b、c表示时,A所对的边BC用a表示;B所对的边AC用b表示;C所对的边AB用c表示.4.有两边相等的三角形叫做等腰三角形.三边都相等的三角形是等边三角形.例1如
2、图4-1-1所示,图中共有多少个三角形?请把它们分别表示出来.图4-1-1分析分析因为所有三角形都有一条边在BC上,所以要数清三角形的个数,其实只要数清线段BC上共有多少条线段就行了.解析解析共有6个三角形,分别是ABD、ABE、ABC、ADE、ADC、AEC.知识点二三角形三个内角之间的关系1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180.2.三角形内角和定理的应用:在三角形中,已知任意两个内角的度数可以求出第三个内角的度数;已知三角形三个内角的关系,可以求出各个内角的度数;求一个三角形中各角之间的关系.3.三角形按角分类:?直角三角形 有一个角是直角的三角形锐角三角形 三个角都是锐角的三
3、角形钝角三角形 有一个角是钝角的三角形温馨提示温馨提示按内角的大小判断一个三角形的形状时主要看三角形中最大内角的度数,若最大内角为锐角,则该三角形为锐角三角形;若最大内角为直角,则该三角形为直角三角形;若最大内角为钝角,则该三角形为钝角三角形.4.表示方法:通常我们用“RtABC”表示“直角三角形ABC”.直角所对的边叫做直角三角形的斜边,夹直角的两条边叫做直角边.如图4-1-2所示.图4-1-2性质:直角三角形的两个锐角互余.如在RtABC中,C=90,则A+B=90.例2根据下列所给条件,判断ABC的形状.(1)A=45,B=65,C=70;(2)C=110;(3)C=90;(4)AB=B
4、C=3,AC=4.分析分析根据三角形的分类标准进行判断.若已知的是角,则按角的分类标准去判断.若已知的是边,则按边的分类标准去判断.解析解析(1)因为A=45,B=65,C=70,所以ABC90,所以ABC是钝角三角形.(3)因为C=90,所以ABC是直角三角形.(4)因为AB=BC=3,AC=4,所以ABC是等腰三角形.知识点三三角形的三边关系文字叙述数学语言理论依据图形三角形的三边关系内容三角形任意两边的和大于第三边在ABC中,a,b,c为三边长,则有a+bc,b+ca,a+cb两点之间,线段最短三角形任意两边的差小于第三边在ABC中,a,b,c为三边长,则有a-bc,b-ca,c-ab应
5、用(1)判断三条线段能否组成三角形.(2)已知三角形的两边,求第三边的取值范围知识详解(1)三角形第三边的取值范围:两边之差的绝对值第三边c,b+ca,a+cb都成立时,a,b,c可构成三角形;b.当|a-b|ca时,a,b,c可构成三角形例3(2017江苏扬州中考)若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三角形的周长可能是()A.6B.7C.11D.12解析解析设第三边的长为x,三角形两边的长分别是2和4,4-2x2+4,即2x6.则三角形的周长C满足8CAC+CE.在CBE中,CE+BEBC.由和得AD+DE+BE+CEAC+BC+CE.所以AD+BDAC+BC.图4-1-5点拨点拨(1)实
6、际问题首先需要抽象为几何模型,为此,视村庄为点,道路为线,路程的长短用线段和的不等关系表示.(2)解决几条线段间的不等关系,应利用三角形的三边关系,为此,连接AB,得BD+DA AB,CA+CBAB,但仍无法得出结论,故可考虑构造另外的三角形,找到所要说明的线段之间的关系.例2如图4-1-6所示,在ABC中,已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点,且ABC的面积是4 cm2,则阴影部分的面积等于()图4-1-6A.2 cm2B.1 cm2C.0.25 cm2D.0.5 cm2题型二三角形的中线与面积解析解析点F是CE的中点,BF是BCE的中线,SBEF=SBEC,同理得SBDE=SABD
7、,SEDC=SADC,SEBC=SABC,SBEF=SABC,又SABC=4 cm2,SBEF=1 cm2,即阴影部分的面积为1 cm2.1212121214答案答案B点拨点拨三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形.易错点对三角形高的概念掌握得不好例已知在钝角ABC中,A为钝角,作出ABC的高BD.错解如图4-1-7.图4-1-7错因分析没有弄清楚三角形的高的概念.正解正解如图4-1-8.图4-1-8知识点一三角形的有关概念1.下列4个图形都是由三条线段组成的图形,其中是三角形的是()答案C按三角形的定义进行判断.观察每一个选项中的图形,只有C中的图形是三角形.2.图4-1-1中有几个
8、三角形?将它们分别表示出来,并指出它们的顶点和边.图4-1-1解析解析题图中有3个三角形,可分别表示为ABC、ABE、AEC.ABC的顶点是A、B、C,边是AB、BC、CA;ABE的顶点是A、B、E,边是AB、BE、AE;AEC的顶点是A、E、C,边是AE、EC、AC.知识点二三角形三个内角之间的关系3.(2017广西南宁中考)如图4-1-2,ABC中,A=60,B=40,则C等于()图4-1-2A.100B.80C.60D.40答案答案B由三角形内角和定理得,C=180-A-B=80,故选B.4.(2017四川巴中中考)若一个三角形三个内角的度数之比为123,则这个三角形是()A.锐角三角形
9、B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形答案答案D设三个内角的度数分别为x,2x,3x,根据三角形内角和定理得x+2x+3x=180,解得x=30,三个内角的度数分别为30,60,90,则这个三角形为直角三角形,故选D.知识点三三角形三边的关系5.(2017江苏淮安中考)若一个三角形的两边长分别为5和8,则第三边长可能是()A.14B.10C.3D.2答案答案B设第三边长为x,则8-5x5+8,即3x5,能构成三角形,但不是等腰三角形;C.4+55,能构成三角形,且是等腰三角形;D.6+620,不能构成三角形.知识点四三角形的高、中线和角平分线7.如图4-1-3,在ABC中,C=90,D,E
10、是AC上两点,且AE=DE,BD平分EBC,则下列说法中不正确的是()图4-1-3A.BE是ABD的中线B.BD是BCE的角平分线C.1=2=3D.BC是ABE的高答案答案C在ABD中,AE=DE,说明点E是ABD的边AD的中点,所以BE是ABD的中线,故A中说法正确.在BCE中,EBC是BCE的一个内角,又BD平分EBC交EC于点D,所以BD是BCE的角平分线,故B中说法正确.由条件只能得到BE是ABD的中线,而不能得到BE是ABD的角平分线,所以不能得到1=2,故C中说法错误.由C=90 得BC垂直于AE,交AE的延长线于点C,在ABE中,AE是一边,所以BC是ABE的高,故D中说法正确.
11、故选C.8.如图4-1-4所示,AD是ABC中BC边上的中线,DE是ADC中AC边上的中线,若ABC的面积为4,则DEC的面积为.图4-1-4答案1解析AD是ABC的中线,SABD=SACD=SABC=2.同理,SDEC=SACD=2=1.1212121.如图,A=35,B=C=80,则D的度数是()A.35B.55C.65D.75答案答案AAOB=COD,A+B+AOB=180,COD=AOB=180-35-80=65,又C+D+COD=180,D=180-80-65=35.2.适合下列条件的ABC中,直角三角形的个数是()ABC=123;A+B=C;A=90-B;A=B=2C.A.1B.2
12、C.3D.4答案答案C设A=x,B=2x,C=3x,则x+2x+3x=180,x=30,C=3x=90.A+B+C=180,A+B=C,2C=180,C=90.A=90-B,A+B=90.C=180-(A+B)=90.由A+B+C=180,A=B=2C,得2C+2C+C=180,C=36,A=B=72.故选C.3.(2016江苏海安二模)若三角形的三边长分别为3,4,x,则x的值可能是()A.1B.6C.7D.10答案答案B4-3=1,4+3=7,1xAC,AB=8 cm,ABD与ACD的周长差为2 cm,则AC=cm.答案答案6解析解析ABD的周长=AB+BD+AD,ACD的周长=AC+AD
13、+DC.AB AC,AD是ABC的中线,ABD的周长-ACD的周长=AB-AC=2 cm,AB=8 cm,AC=8-2=6 cm.1.已知三角形的两边长分别是2 cm、3 cm,则该三角形的周长l的取值范围是()A.1 cml5 cmB.2 cml6 cmC.5 cml9 cmD.6 cml10 cm答案答案D设三角形第三边的长为xcm,则l=2+3+x=(5+x)cm.3-2x2+3,1x5,6 cml0,(a+b+c)(a-b)=0,a-b=0,a=b,ABC是等腰三角形.2.将一副直角三角板按图所示的方式放置,使含30 角的三角板的较短直角边和含45 角的三角板的一条直角边重合,则1的度
14、数为()A.75B.60C.45D.30答案答案A如图.2+3=90+90=180,CBDF,4=F=30.又B=45,4+5+B=180,5=180-30-45=105.又1+5=180,1=180-105=75.3.如图,已知在ABC中,AE平分BAC,过AE延长线上一点F作FDBC于D,若F=6,C=30,则B=.答案答案42解析解析FDBC,EDF=90,又F=6,DEF=90-F=84,又AED+DEF=180,AED=180-84=96.在AEC中,AED+EAC+C=180,EAC=180-96-30=54,AE平分BAC,BAC=2EAC=108.在ABC中,BAC+B+C=1
15、80,B=180-108-30=42.一、选择题一、选择题1.(2018福建莆田仙游期中,3,)在下列长度的四组线段中,不能组成三角形的是()A.3 cm,4 cm,5 cmB.5 cm,7 cm,8 cmC.3 cm,5 cm,9 cmD.7 cm,7 cm,9 cm答案答案CA项,3+45,能够组成三角形,故此选项不合题意;B项,5+78,能够组成三角形,故此选项不合题意;C项,3+59,能够组成三角形,故此选项不合题意.故选C.2.(2018江苏扬州树人学校阶段练习,8,)如图4-1-8,在ABC中,已知点D,E分别为BC,AD的中点,EF=2FC,且ABC的面积为12,则BEF的面积为
16、()图4-1-8A.5B.C.4D.9272答案答案C由中线把三角形分成两个面积相等的小三角形,可得SABC=SABD+SACD=2SBED+2SCDE=2SBEC=12,所以SBEC=6,SBEF=SBEC=6=4.2323二、填空题二、填空题3.(2018山东临沂月考,15,)如图4-1-9,AD是ABC的中线,已知ABD的周长为25 cm,AB比AC长6 cm,则ACD的周长为cm.图4-1-9答案答案19解析解析AD是BC边上的中线,BD=CD,ABD和ACD周长的差=(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC,ABD的周长为25 cm,AB比AC长6 cm,ACD的周长为
17、25-6=19(cm).1.(2018浙江义乌月考,10,)边长为整数,周长为20的三角形个数是()A.4B.6C.8D.12答案答案C满足条件的三角形有8个,分别是(9,9,2),(8,8,4),(7,7,6),(6,6,8),(9,6,5),(9,7,4),(9,8,3),(8,7,5).故选C.2.(2017山东泰安新泰中考模拟,16,)已知一个三角形的三条边长均为正整数.若其中仅有一条边长为5,且它又不是最短边,则满足条件的三角形个数为()A.4B.6C.8D.10答案答案D当5是最大的边长时,可能的情况有3、4、5;4、4、5;3、3、5;4、2、5,共四种情况.当5是第二大的边长时
18、,可能的情况有2、5、6;3、5、7;3、5、6;4、5、6;4、5、7;4、5、8,共六种情况.所以共有10个三角形.故选D.一、选择题一、选择题1.(2017湖南长沙中考,5,)一个三角形三个内角的度数之比为123,则这个三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案答案B根据三角形的内角和为180,可知三个角分别为30、60、90,因此这个三角形是直角三角形.故选B.2.(2015湖南长沙中考,10,)过ABC的顶点A作BC边上的高,以下作法正确的是()答案答案AABC中BC边上的高是从顶点A向BC边作垂线段.故选A.二、填空题3.(2018甘肃定西中考
19、,15,)已知a,b,c是ABC的三边长,a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,c为奇数,则c=.答案7解析a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,a-7=0,b-1=0,解得a=7,b=1,7-1=6,7+1=8,6c0,c-a-b0,原式=a+b-c+(c-a-b)=0.故选D.1.不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为1+1+2=4;若四条整数长度的线段中,任意三条不能构成三角形,则该四条线段的长度和的最小值为1+1+2+3=7;,依此规律,若八条整数长度的线段中,任意三条不能构成三角形,则该八条线段的长度和的最小值为.答案答案54解析解析1+1+2+3+5+8+13+2
20、1=54.2.(2018天津西青期末)如图4-1-10,ABC中,A1,A2,A3,An为AC边上不同的n个点,首先连接BA1,图中出现了3个不同的三角形,再连接BA2,图中便有6个不同的三角形,图4-1-10(1)完成下表:连接个数123456出现三角形个数(2)若出现了45个三角形,则共连接了多少个点?(3)若一直连接到An,则图中共有个三角形.解析解析(1)(2)共连接了8个点.(3)1+2+3+(n+1)=1+2+3+(n+1)+1+2+3+(n+1)=(n+1)(n+2).故填(n+1)(n+2).连接个数123456出现三角形个数36101521281212121.如图,用四个螺丝
21、钉将四条不可弯曲的木条钉成一个木框,不计螺丝钉大小,其中相邻两螺丝钉间的距离依次为2、3、4、6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝钉间的距离的最大值为()A.6B.7C.8D.10答案答案B已知相邻两螺丝钉间的距离依次为2、3、4、6,故可将4根木条的长看做2、3、4、6.选5(2+3=5)、4、6作为三边长,5-465+4,能构成三角形,此时两个螺丝钉间的最大距离为6;选7(3+4=7)、6、2作为三边长,6-276+2,能构成三角形,此时两个螺丝钉间的最大距离为7;选10(4+6=10)、2、3作为三边长,2+310,不能构成三角形,此种情况不成立;选8(6+2=8)、3、4作为三边长,3+48,不能构成三角形,此种情况不成立.综上所述,任意两个螺丝钉间的距离的最大值为7.故选B.2.(2015广东佛山中考)各边长度都是整数,最大边长为8的三角形共有个.答案答案20解析解析三角形的各边长度都是整数,最大边长为8,三边长可以为1,8,8;2,7,8;2,8,8;3,6,8;3,7,8;3,8,8;4,5,8;4,6,8;4,7,8;4,8,8;5,5,8;5,6,8;5,7,8;5,8,8;6,6,8;6,7,8;6,8,8;7,7,8;7,8,8;8,8,8.故各边长度都是整数,最大边长为8的三角形共有20个.
