1、第6章 狭义相对论 本章重点：6-1、6-2、6-3、6-4 相对论是二十世纪物理学的伟大成就之一。它建立了新的时空观，并在此基础上给出了 高速运动物体的力学规律。它包括狭义相对论（1905年）和广义相对论（1916年）。Albert Einstein (1879 1955)，20世纪最伟大的物理学家。狭义相对论在物理学史上引起了一场深刻的革命,是物理学发展的一次飞跃,很多物理概念都由此而发生了深刻的变化.相对论的理论比经典理论更广泛,更全面,更深刻地反映了客观世界的规律性.1、狭义相对论的两条基本假设。主要内容：主要内容：4、相对论质量和动量。2、洛仑兹坐标变换和速度变换。5、相对论能量、质
2、能关系。3、时空相对性：同时性的相对性，时间膨胀，长 度收缩。绝对时空观：时间和空间是相互独立的，与任何物质的运动无关?ttzzyyutxx伽利略坐标变换?zzyyxxvvvvuvv速度变换?zzyyxxaaaaaa加速度变换 求导：求导：对两个物理事件:S 系中 (x1,y1,z1,t1)(x2,y2,z2,t2)S?系中 11112222(,),(,)x y z txy z t?同时性是绝对的；时间的测量是绝对的；长度测量是绝对的 对力学规律而言，所有惯性系都是等价的。或：对于任何惯性系，牛顿力学的规律具有相同的形式。经典力学中所有基本定律都具有伽利略变换不变性。6.1 狭义相对论的基本原
3、理 洛伦兹变换 1、狭义相对论产生的历史背景：麦克斯韦建立电磁理论，但遇到了尖锐的矛盾：是与参考系无关的00800m/s102.998?,1c?故 c 应与参考系无关。即在任何参考系中测得光在真空中的速率都应该是同一数值。迈克尔逊-莫雷实验多次反复测量的结果表明真空中的光速沿各个方向都相同，且等于c 但在经典理论中，c 为S系中的光速，c 为S系的光速，则由伽利略变换得：c=cu，u 为S相对S 的速率，表示c 与u 的方向相反或相同。说明在S系中光沿各方向传播速率是不同的。只有一个特殊的惯性系，麦克斯韦方程组才严格成立。6.1.1 狭义相对论的基本原理 (1)电磁现象似乎满足相对性原理；(2
4、)麦克斯韦方程组在伽利略变换下不能保持形式上的不变性（协变性）。在这里，光速起了特别重要的作用。(1)相对性原理：在所有惯性系中，物理定律的表达形式都相同。这就是爱因斯坦相对性原理，即相对性原理。此原理说明所有惯性系对于描述物理规律都是等价的，不存在特殊的惯性系。可以看出，爱因斯坦相对性原理是力学相对性原理的推广。2、狭义相对论的两个基本假设 由此可得出，在任何惯性系中进行物理实验，其结果都是一样的，运动的描述只有相对意义，而绝对静止的参考系是不存在的。因此不论设计力学实验，还是电磁学实验，去寻找某惯性系的绝对速度是没有意义的。(2)光速不变原理：在所有的惯性系中，真空中的光速具有相同的量值而
5、与参考系和光源的运动无关。这就是光速不变原理。由狭义相对论的两条基本原理可以看出，承认狭义相对论的两条基本原理就必须改造绝对时空观和伽利略变换。由于牛顿力学是建立在绝对时空观基础之上的，牛顿力学的规律也必须作相应的修改。而绝对时空观和牛顿力学的规律在长期实践中，在低速情况下被证明是正确的。因此，狭义相对论必须满足对应原理的要求，即狭义相对论力学在低速情况下应与牛顿力学一致。一个新理论应具有：传承性；释疑性；新的理论预言 6.1.2 洛仑兹变换 洛仑兹变换是狭义相对论中关于一个事件在不同惯性系中的两组时空坐标之间的变换关系。设有两惯性系S,S?，在t=0时 原点重合，S?以u 相对S沿x轴正向匀
6、速运动。)()(t,z,y,x:St,z,y,x:S?考虑到一个真实事件在S系和S?系中的时空坐标是一一对应的,因此时空坐标的变换关系应是线性的.故 u?)()(t,z,y,xt,z,y,xP?zz?yy?xx?S?o?oSzz,yy?（1）（2）设想(x,t)与(x,t)之间的变换形式为:)(t uxkx?式中k是与x，t无关而与u有关的恒量 根据狭义相对论的两个基本原理，惯性系S和S的物理方程应有同样的形式，所以，逆变换应为)(utxkx?式中u前面的负号只表示S系相对S系的速度沿x轴的负方向.设想S系和S系坐标原点重合时，从原点发出一个沿x轴方向传播的光脉冲，按光速不变原理，对S和S系观
7、察者来说，光速都是c。光脉冲波前所在点的空间坐标为：对S系来说，x=ct，对S系来说，x=ct。将其分别代入以上两式得：tuckt ut ckct?)()(tuckutctkt c)()(?两式相乘得)(22ucuct tkt tc?2222/11cuucck?则：带入(x,t)与(x,t)之间的变换形式得：2222/1;/1cuutxxcutuxx?从上两式中消去x或x，便可得到时间的变换式。222/1cucuxtt?222/1cucxutt?这样，就得到了一组狭义相对论的坐标变换式，即洛伦兹变换 洛伦兹逆变换只是把洛伦兹变换中的u-u，x与x，y与y，z与z交换位置。说明：洛伦兹变换表示同
8、一事件在不同惯性系中时空坐标的变换关系。规定每个惯性系使用对该系统为静止的时钟和尺进行量度。在 u/c 1时，洛伦兹变换退化为伽利略变换。222221/1/xutxucyyzzuxtctuc?洛仑兹变换 222221/1/xutxucyyzzuxtctuc?洛仑兹逆变换 例题1 在地面参考系S中的x=1.0106 m处，在t=0.02 s 时刻爆炸了一颗炸弹。若有一沿x轴正向以u=0.75c的速率飞行的飞船，试求在飞船参考系S 中的观察者测得这颗炸弹爆炸的地点和时间。解 由洛伦兹变换式可得 6862221 100.753 100.02m5.29 10 m1/1(0.75)xutxuc?6282
9、220.751100.0231 0s0.0265 s1/1(0.75)utxctuc?例题2 甲、乙两人所乘飞行器沿x轴作相对运动，甲测得两事件的时空坐标为x1=6104m，y1=z1=0，t1=210-4 s，x2=12104 m，y2=z2=0，t2=110-4 s，。如果乙测得这两个事件同时发生于 时刻，问：（1）乙对于甲的运动速度是多少？（2）乙测得的两个事件的空间间隔是多少？1t?解 （1）设乙对甲的运动速度为u，由洛伦兹变换得 212122122()()1/uttxxcttuc?012?tt由于 4444222(11 021 0)(121 061 0)01/ucuc?所以（2）由洛
10、伦兹变换 212121224484442()()1/(1210610)(1.510)(110210)5.2010 m10.5xxu ttxxuc?2cu?解得6.1.3 相对论速度变换 由洛伦兹正坐标变换得：22222d1d()dd1/ddddddddd1d(1)dd1/xxuttucyyttzztttuxtctuc?第1、2、3式分别与第4式相除得：2222222ddddd1dd1/dddd1dd1/dddd1dxuxtuxtctyucytuxtctzucztuxtct?由各速度分量的定义得：tzv,tyv,txvSzyxdddddd?系中tzv,tyv,txvSzyx?dddddd系中22
11、2222211/11/1xxxyyxzzxvuvuvcvucvuvcvucvuvc?速度变换 222222211/11/1xxxyyxzzxvuvuvcvucvuvcvucvuvc?速度逆变换 讨论：当u,v（vx,vy,vz)远小于光速时，相对论速度变换式退化为伽利略速度变换。相对论速度变换式与光速不变原理自动相符。光信号在系中vx时，在 系中测得 21cuvuvvxxx/?c?cuuc/?1cucuc?可见光在系和系中的速度都是 由速度变换式不可能得出大于光速的速度。在极端情况下，u=c，vx=c，即S系相对S系以c沿x轴正方向匀速运动，ccccvuuvvxxx?11/12而在伽利略变换下
12、会得出vxc的错误结论 例题3 设想有一飞船以0.8c的速率相对地球飞行，如果这时从飞船上沿前进方向抛射一物体，该物体相对飞船的速率是0.9c，问地球上的人看来，该物体的飞行速度是多大？解 设地面为S系，沿飞船速度方向为x轴正方向，飞船为S系。根据相对论速度变换式有 ccccccvuuvvxxx 988.09.08.01 8.0 9.01222?例题4 在地面上测得有两个飞船分别以+0.9和-0.9的速度向相反方向飞行。求一个飞船相对另一个飞船的速度是多大？解：取-0.9c的飞船为S系，地面为S系，则 u=0.9c vx=0.9c 0.9c 0.9c x y S S 0.994c?0.90.9
13、10.90.9cc?21/xxxvuvuvc?说明：vx=0.994c，这和伽利略变换vx=vx+u=1.8c 的结果是不同的，此处vx 0，事件1先于事件2，然而对于不同的x2-x1x,（t2-t1）可以大于、小于或等于零。即在S系中观测事件1既可能先于、也可能后于事件2发生，还可能与事件2同时发生。222/1/tu xctuc?发生。后于事件时，事件当2102?cxut?同时发时当,cxut,t002?发生；先于事件时，事件当2102?cxut?2.同地事件的同时性是绝对的 在S系中同一地点（x=0，x1=x2）同时（t=0）发生的两个事件，在S系中也是同时发生的。即x=0,t=0，则t=
14、0;或x=0,t=0，则t=0;4.关联（因果）事件的时间次序是绝对的 时间次序不能颠倒，否则会违背因果律。如炮弹从发射到爆炸的次序不能颠倒。222/1/cucxutt?而x/t 正是事件进展的速度。因此，因果事件先后次序的绝对性对相对论的要求是：所有物体运动的速度、讯号传输的速度及作用传递的速度等不能超过光速。,ctx,cu?满足此式的条件为同号与即必有 tt,t,t00?，即要求22ctxucxut?例题6 北京和上海直线相距1000km，在某一时刻从两地同时各开出一列火车，现有一艘飞船沿北京到上海的方向在高空飞过，速率为u，若u=9km/s，u=0.999c，问在这两种情况下宇航员测得两
15、列火车开出时刻的间隔是多少？那一列先开出？解：取地面为S系，坐标原点在北京，以北京到上海方向为x轴的正方向，北京和上海的位置坐标分别是 x1 和 x2，取飞船为S系，现已知两地距离x=x2x1=106m,S系中两列火车开出时刻的间隔是t=t2t1=0.在S系中，以t1 和 t2 分别表示在飞船上测得从北京发车的时刻和从上海发车的时刻，由洛仑兹变换 221212122()()/1/ttu xxcttuc?222/1/u xcuc?当u=9km/s时，t2-t110-7s 当u=0.999c 时，t2-t17.4510-2s“”表示宇航员发现从上海发车的时刻比北京发车的时刻早10-7s 或7.45
16、10-2s 因为x1=0，t1=t2=0时从北京、上海同时发车，则在S系中认为 211122/01/tuxctuc?2222222222/01/1/tuxcuxctucuc?表示上海先发车。例题7 一列高速火车以速度u驶进车站时，停在站台上的人观察到固定在站台上相距1m的两只机械手在车厢上同时划出两痕迹，则车厢上观察者测出这痕迹之间的距离是多少？解：以站台为S系，火车为S系。则S系中x=1m，t=0,221/xutxuc?在S系中 221(m)1/uc?x?由u决定 若u=0.8c,m.x667160164011?则若u=0.999c,m.x366229990112?则在S系的人看来，两痕迹并
17、不是同时划出的。ABx?S?o?oxS若取一机械手在O 点，则另一机械手在1m处：x1=0，t1=0，x2=1m，t2=0。S认为它们在火车上划痕的时间为 211122/01/tuxctuc?A:B:222222222/1/1/tuxcuctucuc?说明B处先划，A处后划，在B 划痕 222/1/ucuc?时后，若u=0.8c，t2=4.44510-9s；若u=0.999c，t2=7.44810-8s A再划痕，在此时间内火车向前运动。此处：6.2.2 时间膨胀效应 若S系中某处发生了两个事件，如 x0 处灯亮（事件1）到灯灭（事件2），在S系中测得灯亮时t1，灯灭时t2，时间间隔为t=t2
18、-t1，这种在一个惯性系中同一地点发生的两个事件的时间间隔称为原时（固有时）。原时最短。在S系中测得灯亮到灯灭所经历的时间为：220/1cu?222/,1/tuxctuc?由通常把原时用0表示，即：在S系中同一地点发生的原时为0的两个事件，在S系中测得它们的时间间隔等于0 的 221.1/uc?倍220 1/txtuc?可见，0，称为时间膨胀效应或运动的时钟变慢（时钟延缓）反之，若上述事件发生在S系的x 处，时间间隔t=t2-t1为原时0，在S系中测得两事件的时间间隔为t=t2-t1，即，同样 221/ttuc?220/1cu?同样 0，时间也延长了。对于某两个事件发生的时间间隔，不同的观察者
19、测得的结果是不同的，随惯性系间相对运动速率u 而变化。即时间是相对的，但只有在 u 大到可以与光速c 相比拟时，这种效应才明显。当 uc 时，tt,0，其结果与绝对时空观一致。例：以u=0.9998c飞行的飞船，船上的指示灯亮灭一次，在飞船上记录的时间为1s（原时），而在地球上记录的时间为 0222150 s1/10.9998uc?当他们核对时间时，地球上的人认为飞船上的钟变慢了。同样在地球上，该事件发生在地球上某处，经历的时间为1s，飞船上的钟记录为50s，飞船上的人说地球的钟变慢了。时间膨胀效应已由基本粒子物理实验所证实。如近年来观察到的以接近光速飞行的介子、介子和K介子的衰变寿命比静止的
20、衰变寿命延长了几倍，乃至几十倍，而且延长时间与相对论公式计算的结果相符合。4、时间膨胀效应在粒子物理学中有大量的实验证明。1、时间膨胀是相对论效应，变慢的幅度与 u 有关。2、钟慢效应与时钟本身结构无关。说明 3、动系中的人没有感觉。解:由于u=2.4108 m/s0.8c，故在实验室中测得这种介子的平均寿命为 8802222.6104.331010.81suc?衰变前在实验室通过的平均距离为 l=2.4108 4.3310-8=10.4 m 这一结果与实验相符得很好。例题8 带电介子静止时的平均寿命为2.610-8 s，某加速器射出的带电介子的速率为2.4108 m/s，试求：在实验室中测得
21、这种粒子的平均寿命；这种介子衰变前飞行的平均距离。6.2.3 长度收缩效应 设细棒相对S静止，并沿x轴放置，S相对S以恒定速率u 运动，S系中测量出棒的长度称为固有长度：L0=x2x1相对尺（棒）为静止的参考系中测出的尺（棒）的长度称为固有长度（原长）.O O(x1,t1)S S y x x y A B(x1,t1)(x2,t2)(x2,t2)为了在S系中测得细棒的长度L，必须同时(t=t1=t2)测量其两端的坐标值 x1,x2,L=x2x1（必须是同时测量的）212122()()1/xutxutxxuc?022,1/LLuc?即21221/xxuc?2201/LLuc?显然，LL0。即：当细
22、棒沿其长度方向以速率 u 相对S运动时，静止于S系的观察者测得该运动棒的长度等于原长L0的 221/uc?倍，称为运动物体沿其运动方向长度收缩效应。可见u越大，收缩越大，当u c 时，LL0，u=c时 L0 说明：长度收缩效应只发生在运动方向上，与运动方向垂直的方向上不发生收缩效应。221/uc?只与u有关，与物体的材料、收缩因子 结构无关，它是一种普遍的相对论时空性质。长度收缩是一种相对性效应，静止于S系的直尺在S系中测量缩短了，反过来，静止于S系中的直尺在S中测量也同样缩短了 长度收缩效应也适用于某一惯性系中两固定点距离的测量，在该惯性系中得到的是静止长度，而在其他惯性系中测得的距离是运动
23、长度。尺缩效应仅是一种视觉效果 例题9 在S系中有一根米尺与Ox 轴成30角，且位于x O y 平面内，若要使这一米尺与S系中的Ox 轴成45角，试问：S系应以多大的速率 u 沿 x 轴方向相对S系运动？在S系中测得米尺的长度是多少？解：设在S系和S系中米尺的长度分别为l,l,且 l=1m cos300.866 mxll?sin 300.5m 0.5myyyllll?且 有 222210.866 1xxllu cu c?145 要使?tgllxy?0.707msin45yll?220.8661yxlluc?0.5?0.816uc?u z O O x y z x y 30 例题10 在地面上有一
24、跑道长100m，运动员从起点跑到终点，用时10s，现从以0.8c速度向前飞行的飞船中观测：（1）跑道有多长？（2）运动员跑过的距离和所用的时间。解 以地面参考系为系S，飞船参考系为系S。（1）跑道固定在系S，原长L0=100m。由于S系相对S系高速运动，因而在S 系观测，跑道的长度为 2201/100 0.6m60mLLuc?（2）运动员起跑和到达终点是既不同地也不同时的事件。这里不能应用时间膨胀效应和长度收缩效应的公式进行计算，只能用洛伦兹变换式来计算。由 221/xu txuc?2221/utxctuc?将x=100m，t=10s和u=0.8c代入以上两式，计算得 891000.8 3 1
25、010m4.0 10 m0.6x?计算结果中的负号表示在S系中观测，运动员是沿x 负方向后退。s6.16s6.0100)103(8.01028?t从以上计算可以看出，在（1）中计算的跑道长度并不就是运动员对S跑过的距离。在狭义相对论中讨论运动学问题的思路如下：1、确定两个作相对运动的惯性参照系；2、确定所讨论的两个事件；3、表示两个事件分别在两个参照系中的时空坐标或 其时空间隔；4、用洛仑兹变换讨论。总结 注意 原时一定是在某坐标系中 同一地点发生的两个事件的时间间隔；原长一定是物体相对某参照系静止时两端的空间间隔。6.3.1 相对论质量 6.3 狭义相对论动力学 对于洛伦兹变换，在不同惯性系
26、中质量若为常量，动量守恒定律不能保持其形式不变性。必须修改质量定义以使其满足动量守恒定律在洛伦兹变换下保持形式不变。m(v)的表达式：m0 静止质量 m 相对论质量 相对论质量公式 0221mmvc?1909年德国物理学家布歇勒（Bucherer）用射线实验证明了这个关系式的正确性。注意：速率v是粒子相对于某一参考系 的速率，而不是某两个参考系的相对速率。同一个粒子相对不同参考系有不同的速率时，在这些参考系中测得的这一粒子的质量也是不同的。讨论：v=0时，m=m0，即m0 是物体相对于它静止的参考系测得的质量；vc 时，m 为虚数，无实际意义。也说明c 是一切物体运动速度的极限；对光子，v=c
27、，相对论质量公式要有意义，必须m0=0，否则无意义，所以光子的静止质量为零（m0=0)6.3.2 相对论动力学的基本方程 相对论动量：2201cvvmvmp?这时动量原理、动量守恒定律仍然成立。狭义相对论动力学基本方程为 tvmtpFdddd)(?在洛仑兹变换下，它对所有惯性系都有相同的形式，满足相对性原理的要求。vtmamvtmtvmF?dddddd?当vc 时，mm0 为恒量，故认为牛顿定律是狭义相对论动力学方程在 vc 时的一种特殊情况。6.4.1 相对论动能 6.4 相对论能量 在相对论力学中，力对质点做的功仍然定义为质点动能的增量。当外力 作用到静止质量为m0的自由质点上时，质点经历
28、的位移为 ，其动能的增量为 F?drkddd cosEFrFr?0?若 kddEF r?设外力F作用于质点的时间为dt，则质点所受的外力冲量的大小为Fdt，其动量的增量为 tFpdd?ddrvt?因为：kddddEF rvpF t?所以：2kddd()ddEv pvmvvmmv v?即：0221/mmvc?由：2222220m cm vm c?得：两边取微分，得 2222d2d2d0mcmmvmm v v?22dddcmmv vvm?即：2kddEcm?当v=0时，质量m=m0，动能Ek=0，上式的积分式为 0 2k0 ddkEmmEcm?带入上式 2kdddEvmmvv?中得：22k0Emc
29、m c?即：相对论动能公式 22222221121111cvcvc/v,cv?时当2222220k0000222111221/m cvEm cm cm cm vcvc?与牛顿力学一致。6.4.2 相对论能量 爱因斯坦质能关系式 200Em c?2Emc?如果一物体的质量发生 的变化，物体的能量也一定有相应的变化 m?22()Emccm?2k00=()EEEmm c?物体的静止能量实际上是物体内能的总和，由于c2的值非常大，所以即使m0很小的物体，在静止时，其内部也蕴藏着很大的能量。202cmmcEk?m0c2 表示粒子静止时所具有的能量，称为静止能量，E0。mc2 粒子以速率v 运动时所具有的
30、能量，称为总能量，E。粒子的总能量等于动能与静止能量之和。相对论动能因此也可表示为：动量 220/1cvvmvmp?平方 222202/1cvvmp?联立消去 v 得 224202cpcmE?相对论动量能量关系式 对静止能量E0=0的粒子，其动量并不为零。对光子 m0=0 ,E=h，E=pc,p=E/c=h/c=h/6.4.3 动量和能量的关系 能量 222021c/vcmmcE?平方 2242021c/vcmE?质能关系 表示物体质量的变化与能量变化间的关系。E包括任何形式的能量变化。质能关系不仅反应出质量和能量之间不可分割的联系，而且是人类打开核能仓库的钥匙，核电、原子弹、氢弹等都是质能关
31、系的应用成果，也是对相对论的实验验证。2mcE?Epc20cm22202cPEE?例题11 有一加速器将质子加速到76 GeV(109 eV)的动能。试求：加速后质子的质量；加速后质子的速率。解：设质子被加速后的动能为Ek，则质子加速后的总能量为 220mcEcmEk?2500220(1)1.37 10kkEEmmmcm c?(kg)c.)mm(cm/mcvc/vmm999902111220220220?可得由例题12 两静止质量都是m0 的小球，一个静止，另一个以v0.8c 运动。它们对心碰撞后粘在一起，求碰撞后合成小球的静止质量。解：取两个小球为一个系统，在碰撞前后系统的能量守恒，则有：MmmM cmccm?02220 M 是碰撞后合成小球的质量 两个小球碰撞前后的动量也守恒，则有：u 为碰撞后合成小球的速度 6.0)/8.0(1/1020220mccmcvmm?将代入，得：038mM?cMmvu5.0?解得由220/1cuMM?0202031.2)5.0(138)/(1mccmcuMM?Mumv?
