1、弯 曲 内 力第 十 章单辉祖：材料力学2第 10 章 弯曲内力 本章主要研究:直梁弯曲内力 载荷与弯曲内力间的微分关系 单辉祖：材料力学3 1 引言 2 梁的约束与类型 3 剪力与弯矩 4 剪力、弯矩方程与图 5 FS,M 与 s 间的微分关系 单辉祖：材料力学41 引 言 弯曲实例弯曲实例 弯曲及其特征弯曲及其特征单辉祖：材料力学5 弯曲实例弯曲实例单辉祖：材料力学6吊车梁吊车梁单辉祖：材料力学7立交桥梁立交桥梁单辉祖：材料力学8 弯曲及其特征弯曲及其特征外力或外力偶的矢量垂直于杆轴外力或外力偶的矢量垂直于杆轴变形特征杆轴由直线变为曲线杆轴由直线变为曲线弯曲与梁以轴线变弯为主要特征的变形形
2、式以轴线变弯为主要特征的变形形式弯曲弯曲以弯曲为主要变形的杆件以弯曲为主要变形的杆件梁梁外力特征画计算简图时，通常以轴线代表梁画计算简图时，通常以轴线代表梁计算简图单辉祖：材料力学92 梁的约束与类型 约束形式与反力约束形式与反力 梁的类型梁的类型单辉祖：材料力学10 约束形式与反力约束形式与反力主要约束形式与反力 固定固定铰支座铰支座：支反力支反力 FRx 与与 FRy 可动可动铰支座铰支座：垂直于支承平面的支反力垂直于支承平面的支反力 FR 固定固定端端：支反力支反力 FRx,FRy与矩为与矩为 M 的支反力偶的支反力偶单辉祖：材料力学11 梁的类型梁的类型 简支梁简支梁：一端固定铰支、另
3、一端可动铰支的梁一端固定铰支、另一端可动铰支的梁 外伸梁外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁具有一个或两个外伸部分的简支梁 悬臂梁悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁一端固定、另一端自由的梁常见静定梁静不定梁约束反力数超过有效平衡方程数的梁约束反力数超过有效平衡方程数的梁单辉祖：材料力学123 剪力与弯矩 剪力与弯矩剪力与弯矩 正负符号规定正负符号规定 剪力与弯矩计算剪力与弯矩计算 例题例题单辉祖：材料力学13 剪力与弯矩剪力与弯矩 FS剪力剪力M弯矩弯矩剪力剪力作用线位于所切横截面的内力作用线位于所切横截面的内力弯矩弯矩矢量位于所切横截面的内力偶矩矢量位于所切横截面的内力偶矩单辉祖：材料力学1
4、4 正负正负符号规定符号规定 使微段沿顺时针方使微段沿顺时针方向转动的剪力为正向转动的剪力为正使微段弯曲呈凹使微段弯曲呈凹形的弯矩为正形的弯矩为正使横截面顶部受使横截面顶部受压的弯矩为正压的弯矩为正单辉祖：材料力学15一侧)(1S niiFF 剪力与弯矩计算剪力与弯矩计算 FS剪力剪力M弯矩弯矩 0 0S1FFF,FAyy1S FFFAy 故 0)(,01bFabFMMAyC)(1abFbFMAy 故一侧)(1 niCimM单辉祖：材料力学16任一截面的剪力任一截面的剪力绕截面顺时针转动的外力产生正的剪力绕截面顺时针转动的外力产生正的剪力反之为负反之为负不论取左不论取左 取右取右等于截面左侧（
5、右侧）所有外力的代数和等于截面左侧（右侧）所有外力的代数和任一截面的弯矩任一截面的弯矩等于截面左侧（右侧）所有外力等于截面左侧（右侧）所有外力 对截面形心矩的代数和对截面形心矩的代数和不论取左不论取左 取右取右朝上的外力产生正的弯矩朝上的外力产生正的弯矩反之为负反之为负单辉祖：材料力学17 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象假想地将梁切开，并任选一段为研究对象 画所选梁段的受力图，画所选梁段的受力图，FS 与与 M 宜均设为正宜均设为正 由由 S S Fy=0 计算计算 FS 由由 S S MC=0 计算计算 M，C 为截面形心为截面形心计算方法与步骤单辉祖：材料力学18 例例 题题 例 3
6、-1 计算横截面计算横截面E、横截面横截面A+与与 D-的剪力与弯矩。的剪力与弯矩。解：FFFAyE2S 2elFMMAyE FFAy2 FFBy3 022 lFFlFFFAyA2S AyAFMMeFlFFl 02?S DF?DMFFD S00 FMD单辉祖：材料力学19例例3-2 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1-1与与2-2截面的剪力截面的剪力和和弯矩。弯矩。2112m21.5m3m1.5m1.5mq=12kN/mF=8kNABFAyFBy：0BM解：解：1)求支反力：求支反力：AyF6F5.4 233 q0 kN15 AyF：0yF03 qFFFByAykN29 ByF2)求求11截面
7、内力：截面内力：取取左段研究左段研究kN7Q1 FFFAymkN26)5.12(21 FFMAy3)求求22截面内力：截面内力：取取左段研究左段研究kN115.12Q qFFFAymkN3025.135.422 qFFMAy4)也也可可取取右段研究，结论相同。右段研究，结论相同。单辉祖：材料力学204 剪力、弯矩方程与图 剪力与弯矩方程剪力与弯矩方程 剪力与弯矩图剪力与弯矩图 例题例题单辉祖：材料力学21 剪力与弯矩方程剪力与弯矩方程)(SSxFF )(xMM FS,M 沿杆轴（沿杆轴（x轴）变化的解析表达式轴）变化的解析表达式剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程2qlFFByAy qxFFAy
8、S)(0lx 2xqxxFMAy )(0lx qxqlF 2S222xqxqlM 单辉祖：材料力学22 剪力与弯矩图剪力与弯矩图表示表示 FS 与与 M 沿杆轴（沿杆轴（x轴）变化情况轴）变化情况的图线，分别称为的图线，分别称为剪力图剪力图与与弯矩图弯矩图2)(,2(0)SSqllFqlF 二次抛物线二次抛物线直线直线qxqlF 2S222xqxqlM 画剪力图 画弯矩图土建等类技术部门画法土建等类技术部门画法单辉祖：材料力学23 例例 题题例 4-1 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图解解：1.支反力计算支反力计算laFF,lbFFByAy 2.建立剪力与弯
9、矩方程建立剪力与弯矩方程)(0 ,1S1axlbFFFAy )(0 ,2S2bxlaFFFBy )(0 ,1111axxlbFxFMAy )(0 ,2222bxxlaFxFMBy AC 段段CB 段段laFFlbFFByAy 单辉祖：材料力学243.画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图11xlbFM 22xlaFM lbFF S1laFF S2 剪力图剪力图:弯矩图弯矩图:最大值最大值:lFabM max时）时）（maxS,ablbFF 4.讨论讨论在在 F 作用处，作用处，左右横截面上左右横截面上的的弯矩相同，剪力值突变弯矩相同，剪力值突变FFF 左左右右SS单辉祖：材料力学25解：1.支反力计算支
10、反力计算2 2qaM,qaFCCy 2.建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程AB 段段BC 段段)(0 11S1axqxF )(0 2S2axqaF )(0 21211axqxM )(0 22222axqaqaxM 例 4-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图单辉祖：材料力学263.画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图4.讨论讨论在在 Me 作用处，作用处，左右横截面上左右横截面上的的剪力相同，弯矩值突变剪力相同，弯矩值突变eMMM 左左右右1S1qxF qaF S22211qxM 2222qaqaxM 剪力图：剪力图：弯矩图：弯矩图：剪力弯矩最大值剪力弯矩最大值:
11、22maxqaM maxSqaF 单辉祖：材料力学27例 4-3 载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩解：1.FS 与与 M 图图lFlFAy)(lFlFFAy)()(S lFFMAy 1)(2.FS 与与 M 的最大值的最大值FFF )0(SmaxS,42maxFllMM lFM 21d)(d0 2l 单辉祖：材料力学285 载荷集度、剪力与弯矩间的微分关系 FS,M 与与 s 间的间的微分关系微分关系 利用利用微分关系画微分关系画 FS 与与 M 图图 例题例题 微分关系法要点微分关系法要点单辉祖：材料力学29 FS，M 与与 s 间的间的微分关
12、系微分关系(a)0)d(d 0SSS FFxqF,Fy(b)0d2ddd 0S MxFxxqMM,MCqxF ddSSddFxM qxM 22dds 向上为正向上为正x 向右为正向右为正注意：注意：梁微分平衡方程单辉祖：材料力学30均布载荷下 FS 与 M 图特点直线直线 2次凹曲线 2次凹曲线 2次凸曲线 2次凸曲线qxF ddSSddFxM qxM 22dd 利用利用微分关系画微分关系画 FS 与与M 图图单辉祖：材料力学31q(x)=0q(x)=q=qx=0dF (x)dx=qq 0q 0q 0F =0F 0水平线水平线斜直线斜直线斜直线斜直线抛物线抛物线抛物线抛物线极大值极大值极小值极
13、小值MxM图图q图图F 图 图常量 常量 QQdF (x)dxQQQQQQ单辉祖：材料力学322.计算支反力、剪力与弯矩计算支反力、剪力与弯矩lMFFByAye s=0，FS 图水平直线，图水平直线，M 图直线图直线 求求 FSA+画画 FS 图图 求求 MA+与与 MB-画画 M 图图应用利用微分关系画梁的剪力与弯矩图利用微分关系画梁的剪力与弯矩图1.问题分析问题分析lMFFAyAeS eMMA 0 BM单辉祖：材料力学33lMFAeS eMMA 0 BM3.画剪力图画剪力图4.画弯矩图画弯矩图FS 图图水平直线水平直线M 图图斜直线斜直线单辉祖：材料力学34 例例 题题例 5-1 画剪力与
14、弯矩图画剪力与弯矩图斜线斜线sl/80sl2/16sl/8-3sl/8sl2/160解：1.形状判断形状判断2.FS 与与 M 计算计算单辉祖：材料力学3513 2 DDxlx83lxD 1289 832838322qllqlqlMD 9sl2/1283.画画FS与与M图图单辉祖：材料力学36Fs+_M(kNm)3.81.413(kN)4.23.8Ex=3.1m32.2例例5-2 外伸梁外伸梁AB承受载荷承受载荷如如图所示，作图所示，作该该梁的梁的Fs M图。图。q=2kN/mMe=6kNmF=3kNDCAB4m1m1mFByFAy_+562134CA和和DB段：段：解：解：1)求支反力：求支
15、反力：kN8.3kN2.7 ByAyFF，2)判断各段判断各段F、M图形状：图形状：AD段：段：Fs图为水平线，图为水平线，M图为斜直线。图为斜直线。q=0Fs图为向下斜直图为向下斜直线，线，M图为上凸抛物图为上凸抛物线。线。q=C03)作剪力、弯矩图：作剪力、弯矩图：单辉祖：材料力学37例例5-3 5-3 梁的受力如图，利用微分关系作梁的FS、M图。2qaqaqaqa2qaqaqaqa2qa20.5qa2aaaaaqaq2qa2qaqFSM单辉祖：材料力学38例 5-4 画组合梁的剪力与弯矩图画组合梁的剪力与弯矩图解：1.问题分析问题分析 组合梁组合梁,需拆开需拆开,以分析梁的受力以分析梁的
16、受力 承受集中载荷承受集中载荷,FS 与与 M 图由直线图由直线构成构成2FFFCyAy 23FFDy 23FaMD 2.受力分析受力分析单辉祖：材料力学39特点特点：铰链传力不传力偶矩，：铰链传力不传力偶矩，与铰相连与铰相连的两横截面上的两横截面上,M=0,FS 不一定为零不一定为零3.画画 FS 图图水平直线水平直线4.画画 M 图图直线直线23maxSFF 23maxFaM 单辉祖：材料力学40 利用微分关系，确定各梁段利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩剪力、弯矩图的图的形状形状 计算各梁段计算各梁段起起、终终与与极值点极值点等等控制截面的控制截面的剪力剪力与弯矩与弯矩 将上述二者结合，绘制梁的将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩剪力与弯矩图图 在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由图一定由直直线所构成线所构成 在分布载荷作用下，剪力或弯矩图线的凹凸性，在分布载荷作用下，剪力或弯矩图线的凹凸性，由其二阶导数的正负确定由其二阶导数的正负确定 微分关系法要点微分关系法要点单辉祖：材料力学41本章结束！
