1、 数学参考答案第 1 页（共 10 页）重庆市第八中学 2023 届高考适应性月考卷（四）数学参考答案 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C C B D C【解析】24i(4i)(34i)(124)(316)i(34i)4i()34i2525bbbbzb bzR，因为z为纯虚数，124033160bbb，故选 D 3 直线1480laxy：与直线23(1)60lxay：平行，所以(1)43a a，解得3a 或4，当3a 时，121234803460lxyl
2、xyll：，：，符合题意；当4a 时，1244803360lxylxy：，：，此时12ll，重合，舍去，故3a，故选 B 4 因 为cos2(cossin)(cossin)1cossinsincossincos3，所 以3sin4 2212(cossin)2236，故选C 5设1122|PFrPFr，则22222121211124|(4)2(2)8rraPFPFrrr，又113acrac，所 以 当12r 时，2212min(|)8PFPF，当13r 时，2212min(|)10PFPF，故选C 6设干扰信号对应的函数解析式为sin()00|2yAxA，由题图得，439(184T T 为干扰信
3、号的周期），解得23T，所以22233T函数的最大值为23，23A 将2934，代入sin(3)23yx，解得2 6k，kZ，数学参考答案第 2 页（共 10 页）|2，6，sin2336yx所以欲消除sin2336yx的波需要选择相反的波，即23sin 36yx，所以023A ，03，06，故选B 7|()|0f xax 在R上恒成立|()|f xax在R上恒成立|()|yf x的图象在yax图象的上方，由ln(1)0|()|e10 xxxf xx，令()ln(1)g xx，()e1xh x，则()exh x，()g xax在(0，上恒成立，则0a；()h xax在(0)，恒成立，则(0)1
4、ah，综上：01a，故选 D 8每个社区至少派一名志愿者，则有2113421322C C CA36A种方法，事件 A：甲派往，则若社区分 2 人，则有33A6种，若社区分 1 人，则有212312C C A6种，共有6612种，121()363P A，同理121()363P B，若 A，B 同时派往社区，则社区分两人，有22A种21()3618P AB，1()()()9P ABP A P B，A错误；由互斥事件概念易知，B错误；事件C：志愿者乙派往社区，若村分2人，则有33A6种，若村分1人，则有212312C C A6种，共有6612种，121()363P C，若事件 A，C 同时发生，则有
5、1132CC5种，5()36P AC，5()536(|)1()123P ACP C AP A，C正确；1()1118(|)1()693P ABP B AP A，D错误，故选C 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BD AD BCD ABC【解析】9对于A，残差平方和越大的模型，拟合的效果越差，故选项A错误；对于B，用决定系数2R来刻画回归效果，2R越大说明拟合效果越好，故选项B正确；对于C，在经验回归方 数学参考答案第 3 页（共 10 页）程0.2
6、0.5yx中，当解释变量 x 每增加1个单位时，预测值y 平均增加0.2个单位，观测值 y 无法确定，故选项C错误；对于D，经验回归直线一定经过样本点的中心()x y，故选项D正确，故选BD 10对于A，1112()3333AEACCEACCBACABACABAC ，故A正确；对于B，ABAC，由题意得 E 为 BC 的一个三等分点（靠C 点更近），所以 AEAB 在上的投影向量为13AB，故B不正确；对于C，易知21123333ADABACAEABAC ，故222222522599999AD AEABACAB ACABAC ，又2CBABACCB 222144ABACAB AC ，所以222
7、144162ABACAB AC ，故222254199AD AEABAC ，故C错误；对于D，222299AD AEABAC 549AB AC ，而222212144()722ABACAB ACAB ACABAC ，代入得22221()44882ABACABAC ，故选项D正确，故选AD 11由题意知圆心必在第一象限，设圆心的坐标为()a a，则圆的半径为a，圆的标准方程为222()()xayaa 由题意可得222(2)(1)aaa，解得1a 或5a，又圆C与ABl：68480 xy相离，所以圆心的坐标为(1 1)，A错误；因为点 P 到直线68480 xy的距离的最大值为|6848|2210
8、5dr，所以1|222ABPSABd，B正确；当PAB最小时，PA 与圆C 相切，由对称性或勾股定理可得22|5PAACr，C正确；假设存在点P使34APB，则ABP的外接圆圆M的半径为1|5 232sin4AB ，可求得圆心M的坐标为(7 7)，因为|6 215 2CM ，所以圆M与圆C相离，点P不存在，D正确，故选BCD 12(2)yg x为偶函数，则(2)(2)g xgx，由(2)()5fxg x知()(2)f xgx 5，进而()(2)5fxgx，将代入得()(2)5fxgx，由知()()fxf x，所以()f x为偶函数，A正确；由条件(2)(2)7g xf x，与此式作 数学参考答
9、案第 4 页（共 10 页）差得：()(2)2fxf x，所以()f x的图象关于点(11)，对称，B正确；由()f x为偶函数，结合式知：()(2)2f xf x，所以(2)(4)2f xf x，两式作差得：()(4)f xf x，即()f x的周期为4，C正确；(2)()5fxg x中令2x，则(0)1f，(4)(0)1ff，在 中 令1x 得2(1)2(1)1(1)1fff ，(3)(1)1ff，在 中 令0 x得(2)(0)2(2)3fff ，(2)3f，(1)(2)(3)(4)(1)(3)(1)14ffff ，由()f x的 周 期 为4知，20231()4505(1)(3)(1)2
10、025kf k ，D错误，故选ABC 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案 8 34 yx 7；122nn【解析】1322()ln(1)3()ln(1)3f xxxaxfxxxax，则()()6f xfx，又(2)2f ，故(2)8f 14法一：设直线2ykx，1122()()A xyB xy，由已知124xx，联立228ykxxy，28160 xkx，故有1212816xxkxx，结合1224(0)xxx 得12823.4xxk ，法二：角度焦半径公式：设直线l 与 y 轴的夹角为，由已知4434cos1cos1cos5，设直线与x轴夹角的正弦
11、值为35，正切值为34，由于 B 在第一象限，故0k，则34k 15 设()()f xg x，上的切点分别为11122(e)(ln(1)xA xB xx，由11()exfx，21()1g xx，1121e1xkx，故()f x在A处的切线方程为11111ee()xxyxx11111ee(1)xxyxx，()g x在 B 处 的 切 线 方 程 为222222211ln(1)()ln(1)111xyxxxyxxxxx，由已知 数学参考答案第 5 页（共 10 页）111122121221e1ln(1)1e(1)ln(1)1xxxxxxxxx，故22222221ln(1)ln(1)111xxxxx
12、xx 222ln(1)1xxx，故20 x 或2ln(1)1x，而22ln(1)11exx 21111e2x，不合题意舍去，故20 x，此时直线l 的方程为 yx 16显然(1)1p当有(2)n n个圆盘时，求()p n分三步：第一步，先将上面的1n个圆盘移到辅助柱，至少需要(1)p n 次；第二步，将起始柱上最大的一个圆盘移动到目标柱子，需1次；第三步，将辅助柱上的1n个圆盘移动到目标柱至少需要(1)p n 次因此()2(1)1(2)p np nn，且(1)1p可求得()21np n，所以(3)7p，1()nip i 1(21)nii12(12)22.12nnnn 四、解答题（共 70 分解
13、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）解：（1）由已知22()2 3sincos2cos13sin22cos1f xxxxxx 3sin2cos222sin 226xxx，故，()2sin 22422()662f BBBkkZ，故()6BkkZ，又(0)B，故6B（5 分）（2）法一：向量22211()()(2)24BDBABCBDBABCBA BC ，及221374222 324042aaaa ，解得2 3a（舍负）（8 分）故111sin2 323222ABCSacB（10 分）法二：把已知长度，角度，目标放入一个三角形，解三角形.取 BC 的中点 E，如图 1
14、，在BDE中（已知两边及一角），DEAB，15126DEABBED，7BD，图 1 数学参考答案第 6 页（共 10 页）由余弦定理得：2222532cos172162BEDEBDBE DEBEBE ，即23603BEBEBE，即2 3a，（8 分）故111sin2 323222ABCSacB（10 分）18（本小题满分 12 分）（1）证明：当n为奇数，225(1)44 1 102nnnnaaaa ，即数列na的奇数项21na成等差数列，且首项为11a ，公差为2d，所以211(1)12(1)21naandnn ，21nbn （5 分）（2）解：当n为偶数，251441 10nnaa223n
15、naa，即数列na的偶数项2na成等比数列，首项为223a，公比为23q，所以12223nnnaaq ，2122(21)3nnnncaan ，（8 分）1232222135(21)3333nnTn ，2312222213(23)(21)33333nnnTnn ，（9 分）两式相减得123122222(21)2333333nnnTn 2111122133221022(21)2(21)623333313nnnnnn 1102(25)33nn，故210(410)3nnTn（12分）数学参考答案第 7 页（共 10 页）19（本小题满分12分）（1）证明：取BC中点D，连接AD以及PD，如图2，在AC
16、P和ABP中，ABAC，APAP，PACPAB，所以ACPABP，（2分）所以CPBP，所以PDBC，又因为ADBC，ADPAD PDPAD平面，平面，所以BCPAD 平面，（4分）又因为APADP 平面，所以PABC （5分）（2）解：在平面PAD中，过P点作PEAD，垂足为E，连接CE，BE，PE，如图3，由（1）BCPAD 平面，则BCPE，则PE 平面ABC，在PCA中，232PACAPACPCA，同理2PBA ACPEACCP，且PECPP，则ACCPE 平面，又CECPEACCE平面，同理可得ABBE，则四边形ABCE为正方形，2ABACBECE，则在RtPBE中，可求出2 32
17、2PBPE，（8分）则以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，如图建立空间直角坐标系，则(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(2 2 2 2)ABCP，设平面PAB的法向量为()mxy z，(2 0 0)AB ，(0 2 2 2)BP ，则2022 20 xyz，令1y，则2200 122xzm，设平面PBC的法向量为()nxy z，(22 0)CB ，(0 2 2 2)BP ，则22022 20 xyyz，令1x，则2211 122yzn，图 2 图 3 数学参考答案第 8 页（共 10 页）记二面角APBC的平面角为，则|15|cos|5|m nmn 又因为为锐角，则15cos5（12分
18、）20（本小题满分12分）解：（1）由题知：2c 得到224ab，又22361ab得到223614aa，得到4213120aa，所以212a（舍）或211aa，则双曲线的C的方程为2213yx （4分）（2）显然直线l与y轴不垂直，设2lxmy：，1122()()A xyB xy，由双曲线的对称性知AP的中点为O，故2PABOABSS，（6分）联立22222(31)129033xmymymyxy，故1222122123136(1)931myymmyym，（7 分）由于 A B，均在双曲线右支，故122122212121224()400310342()4031m yyxxmxxmm y ym y
19、ym，解得2103m，（8 分）2121212122|(|)2()42PABOABSSOEyyyyy y，代入韦达定理得22212110133PABmSmm，（10 分）令22 3113mtt，则212122 3144333PABtStttt，易知43tt随t的增大而减小，则当1t 时，min()12PABS，综上：PAB的面积的最小值为12 （12 分）数学参考答案第 9 页（共 10 页）21（本小题满分 12 分）解：（1）频率分布直方图中 6 个小矩形的面积分别是0.1，0.25，0.3，0.2，0.1，0.05，设 7 月份的水位中位数为 x，则3540 x，0.10.25(35)0
20、.060.5x，解得37.5.x 7月份的水位中位数为37.5.设该河流 7 月份水位小于 40 米为事件1A，水位在 40 米至 50 米为事件2A，水位大于 50米为事件3A，在1()0.10.250.30.65P A，2()0.20.10.3P A，3()0.05.P A 设发生 1 级灾害为事件 B，由条形图可知：1(|)0.1P B A，2(|)0.2P B A，3(|)0.6P B A，111()()(|)0.065P ABP A P B A，222()()(|)0.06P A BP A P B A，333()()(|)0.03.P A BP A P B A 123()()()()
21、0.155.P BP ABP A BP A B（2）由（1）可知7月份该河流不发生灾害的概率为 0.650.90.3 0.750.0500.81，发生 1 级灾害的概率为0.155，发生 2 级灾害的概率为10.810.1550.035.设第 i 种方案的企业利润为(1 2 3)iX i ，若选择方案一，则1X 的取值可能为 600，200，1200，1(600)0.81P X，1(200)0.155P X ，1(1200)0.035.P X 1X的分布列为：1X 600 200 1200 P 0.81 0.155 0.035 1()6000.812000.15512000.035413E X
22、（万元）若选择方案二，则2X 的取值可能为5501250，且2(550)0.810.1550.965P X，2(1250)0.035.P X 数学参考答案第 10 页（共 10 页）2X 的分布列为：2X 550 1250 P 0.965 0.035 2()5500.96512500.035487E X（万元）.若选择方案三，则不会受任何灾害影响，该企业7月份的平均利润为600200400（万元）2()E X最大，从利润考虑，该企业应选择第二种方案 22（本小题满分 12 分）（1）证明：由题，()1lncosfxxax，1()sinfxaxx，注意到(0)x，时，sin0 x，从而()0fx
23、，故()fx在(0)，上单调递增，又11cos0eefa，()1ln0fa，由零点存在性定理知，存在唯一0(0)x，有0()0fx，从而()f x 在0(0)x，上单调递减，在0()x，上单调递增，故0 x 为()f x 在(0)，上的唯一极值点（2）解：当2a时，()ln2sin1f xxxx，当(0)x，时，由（1）可知，()f x 在0(0)x，上单调递减，在0()x，上单调递增，又注意到0 x，()1f x ，且()ln10f，(1)12sin112sin06f ，由极小值定义知：0()(1)0f xf，从而存在10(0)xx，20()xx，有12()()0f xf x，当)x，时，()ln12sin22sin0f xxx，故()f x 在)，上无零点，综上，()f x 在(0)，上有两个零点
