1、1表象:量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象4.1 态的表象 一个粒子的态完全可由归一化的波函数一个粒子的态完全可由归一化的波函数(r,t)来描述，来描述，将将(r,t)称为称为坐标表象坐标表象。下面将讨论用动量为。下面将讨论用动量为变量变量描述波函描述波函数。数。)exp()2(1)(2/1pxixpdpxtpctxp)(),(),(c(p,t)为展开系数，为展开系数，p(x)是动量的本征函数是动量的本征函数 2c(p,t)和和(r,t)描述的是粒子态同一个状态，描述的是粒子态同一个状态，(r,t)是这个状态是这个状态在坐标表象中的波函数，而在坐标表象中的波函数，而c(p,t)为同一
2、状态在动量表象中的为同一状态在动量表象中的波函数。波函数。)(),(),(dxxtxtpcp ),(2dptpc),(tx表示在所描写的态中测量粒子动量所结果在结果在 范围内的几率范围内的几率 dppp如果如果(x,t)描述的状态是具有动量描述的状态是具有动量p 的自由粒子的状态的自由粒子的状态3 )exp()(),(tEixtxpptEiptEipppeppdxxextpc)()()(),(在动量表象中，具有确定动量在动量表象中，具有确定动量p p 的粒子波函数是的粒子波函数是 函数。函数。同样，在坐标表象中，具有确定坐标同样，在坐标表象中，具有确定坐标x 的粒子波函数也是的粒子波函数也是
3、函数。函数。)()(xxxxxx)()(pppppp4解：首先对波函数进行归一化解：首先对波函数进行归一化1)(22dxAxedxxx320224 1AdxexAx0 ,00 ,)(xxAxexx例题：一维粒子运动的状态是例题：一维粒子运动的状态是求：（求：（1）粒子动量的几率分布；粒子动量的几率分布；（2）粒子的平均动量）粒子的平均动量5 )()()(dxxxpcp 2 0/3dxexexipxx)(1 2 233ip动量的几率分布为动量的几率分布为)(1 2)(2222332ppcwxp6动量的平均值为动量的平均值为)()(*xpxp0)(0222dxexxAix另一种解法另一种解法)()
4、()()(*xxxixpxppxxxi)()(*0p7 考虑任意力学量考虑任意力学量Q本征值为本征值为 1,2,n,对应的本征函对应的本征函数数 u1(x),u 2(x),u n(x),则任意波函数则任意波函数（x）按）按Q的本征的本征函数函数展开为展开为 ),(),(xuatxnnn ,),()()(dxtxxutammdxxuxutatadxtxnmnmmn)()()()(),(*,*2)()()()(*,*tatatatannnmnnmmn如果如果（x）和）和un(x)都是归一化的，则都是归一化的，则81)()(*tatannn所以所以2na在（x）所描写的量子态中测量力学量Q所得的结果
5、为Qn的几率.),(.,),(),(),(321tatatatan数列数列就是（x）所描写的量子态中在Q表象中的表示9)()()(21tatatan共轭转置矩阵共轭转置矩阵.),(.,),(),(*2*1tatatan1波函数的归一化表示成波函数的归一化表示成10如果力学量Q除了有分立的本征值，还有连续的本征值，则dxxtaxtatxqqnnn)()()()(),(其中dxxtxtann)(),()(*dxxtxtaqq)(),()(*归一化可表示为1)()()()(*dqtatatataqqnnn11 直角坐标系中，矢量A的方向由i,j,k三个单位矢量基矢决定，大小由Ax,Ay,Az三个分量
6、（基矢的系数）决定。在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数u1(x),u2(x),un(x),看作一组基矢，有无限多个，大小由a1(t),a2(t),an(t),系数决定。常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特（Hilbert）空间.12例 质量为m的粒子在均匀力场V(x)Fx(F0)中运动，试在动量表象中粒子的波函数。解解：FxmPVTH22在动量表象中，坐标在动量表象中，坐标x的算符表示为的算符表示为dpdixdpdFimPFxmPH222213定态的薛定谔方程定态的薛定谔方
7、程)()()(22pEpdpdFipmp)6(exp)(3EpmpFiAp动量表象中粒子的函数变到坐标表象中，则波函数为dpepxipx/)(21)(14dppFExmFpiAp)(6(exp2)(303)(6(cos22dppFExFmpA033cosduuuA3/123/1)2)(/(,)2(mFFExmFpu其中（Ariy 函数）154.2 算符的矩阵表示),(),(txtxF在Q表象中，Q的本征值分别为Q1，Q2，Q3，Qn,对应的本征函数分别为u1(x),u2(x),un(x),.将(x,t)和(x,t)分别在Q表象中按Q的本征函数展开 )(),(xuatxmnm )(),(xubt
8、xmmm16)()(xuaFxubmmmmmm dx )()(*xuxubmmnm )()()(*dxxutaFxummmn)()()()(*tadxxuFxutbmmmnn 两边同乘以两边同乘以 ,并在整个空间积分并在整个空间积分)(*xun利用本征函数un(x)的正交性nmmn dxxuxu)()(*17引进记号引进记号)()(*dxxuFxuFmnnm这就是),(),(txtxF在Q表项中的表述方式表示成矩阵的形式：)()()()(212221121121tataFFFFtbtbmmnmntaFtb)()(得18矩阵Fnm的共轭矩阵表示为)()(*dxxuFxuFmnnm因为量子力学中的
9、算符都是厄米算符，因为量子力学中的算符都是厄米算符，dxxuxuFdxxuFxuFnmmnnm)()()()(*)()(*dxxuFxunmmnnmFF*即即将满足该式的矩阵称为将满足该式的矩阵称为厄密矩阵厄密矩阵19*)(nmmnmnFFF 若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为到的新矩阵称为F的共轭转置矩阵，简称为共扼矩阵的共轭转置矩阵，简称为共扼矩阵nmmnFFFnm的转置矩阵为的转置矩阵为mnnmFF*根据厄密矩阵的定义根据厄密矩阵的定义所以所以mnmnFF20例 求一维无限深势阱中（宽度为a）粒子的坐标和
10、动量在能量表象中的矩阵元解：在能量表象中解：在能量表象中)()(xExH能量的本征值及本征函数为能量的本征值及本征函数为xanamanEnnsin2 ,2222221)()(*dxxupxupmnnmanmxdxamxixanap0)sin()()sin(2anmxdxamxxanax0)2sin()2sin(2)()(*dxxuxxuxmnnm22(x)dxu(x)Qu(x)dx(x)QuuQmmnmnnmQ在自身表象中的矩阵元)()(xuQxQummmQm为Q在自身空间中的的本征值nmmmnmQ(x)dx(x)uuQ结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵23如x在坐标空间中可表示为)(xx
11、xxmn)()()(pppppdxxpxp动量动量p在动量空间中表示为在动量空间中表示为一维谐振子能量表一维谐振子能量表象中能量的矩阵元象中能量的矩阵元.05000030000121mnE24如果Q只具有连续分布的本征值q，那么算符F在Q表象中依然是一个矩阵：)()(*dxxuFxuFqqqq这个矩阵的行列不再可数，而是用连续变化的下标来表示在动量表象中，算符F的矩阵元为：dxxxixFxFpppp)(),()(*)exp()2(1)(2/1pxixp其中其中p(x)是动量的本征函数是动量的本征函数 254.3 量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述1.平均值公式平均值公式nnnxuta
12、tx)()(),(mmmxutatx)()(),(*dxxutaFxutatxFtxFnnmnmm)()()()(),(),(*,*)()()()(,*tadxxuFxutannmnmm26写成矩阵形式写成矩阵形式)()(),.(),(2122211211*2*1tataFFFFtataF简写为简写为FFnmnmnmtaFtaF,*)()(272.本征值方程 在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。首先，算符首先，算符F的本征函数满足的本征函数满足)()(xxF)()()()(212122211211tatatataFFFF0)(
13、)(2122211211tataFFFFFnn280)()(nnmnmntaaF有非零解的条件是其系数行列式为零有非零解的条件是其系数行列式为零0)det(knknaA这是一个线性齐次代数方程组这是一个线性齐次代数方程组0212222111211nnnnnnFFFFFFFFF这是一个久期（这是一个久期（secular）方程。将有）方程。将有 1，2.n n个解，就个解，就是是F的本征值。的本征值。293.3.矩阵形式的薛定谔方程矩阵形式的薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程Hti不显含时间的波不显含时间的波函数的函数的能量表象能量表象nnEH波函数根据哈密顿本征函数展开波函数根据哈密顿本征函数展开n
14、nnxutatx)()(),(代入薛定谔方程代入薛定谔方程)()()(xutaHxutainnnnnn30两边同乘以两边同乘以mu并积分并积分)()(taHttaimmnnm)()()()()(*tadxxuHxudxxuxutainnnmnmnn)()()()(212221121121tataHHHHtatadtdiHdtdi简写为简写为H,均为矩阵元。均为矩阵元。31例题：例题：求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数线性谐振子线性谐振子的总能量为的总能量为222212xmmpHx解法一：在动量表象中，解法一：在动量表象中，x的算符表示为：的算符表示为：
15、dpdix则则H算符算符表示为表示为2222222dpdmmpH定态的薛定定态的薛定谔方程写为谔方程写为)()(21)(222222pEcpcdpdmpcmp32c(p)是动量表象中的本征函数是动量表象中的本征函数0)()2(1)(2222222pcmpEmpcdpdm仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出c(p)。33例：设已知在 和 的共同表象中，算符 的矩阵为：2LxLzL01010101022xL求 的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵 对角化 xLxL解：设 的本征态为 xL321aaa其本征方程为：321321aaaaaaLx3432101010101022aaa即322311222)(2222aaaaaaa分别有35321,aaa欲求 的非零解，其系数行列式为零：02202222022023得36;0是 的本征值 xL把解得的值代入本征方程，可以得到a1，a2，a3值 本征态为 121210本征态为 101213712121本征态为 矩阵 对角化矩阵为 xL1000100002238习题：第130页 1、2、3、4
