1、22.1 22.1 一元二次方程一元二次方程 一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为长为m，宽为，宽为m如果地毯中央长方形图案的面如果地毯中央长方形图案的面 积为积为m2 ，则花边多宽，则花边多宽? 你怎么解决这个问题？ 新知探索新知探索 解：如果设花边的宽为解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案那么地毯中央长方形图案 的长为的长为 m,宽为宽为 m,根据题意根据题意,可得方程：可得方程： （82x） （52x） (8 2x) (5 2x) = 18. 5 x x x x （82x） 8 18m2 数学化 新知探索新知探索 x
2、 8m 1 7m 6m 解：由勾股定理可知，滑动前梯解：由勾股定理可知，滑动前梯 子底端距墙子底端距墙 m 如果设梯子底端滑动如果设梯子底端滑动X m，那么滑，那么滑 动后梯子底端距墙动后梯子底端距墙 m 根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： 72(X6)2102 6 X6 如图，一个长为如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂 直距离为直距离为8m如果梯子的顶端下滑如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多，那么梯子的底端滑动多 少米？少米？ 数学化 新知探索新知探索 由上面二个问题，我们可以得到二个方程：由上面二个问题，我们可以
3、得到二个方程： (8-2x)(5-2x)=18; 即 2x2 13x 11 = 0 . (x)22102 即 x2 12 x 15 0. 上述二个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方上述二个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方 程和分式方程有什么区别？程和分式方程有什么区别？ 新知探索新知探索 特点特点: 都是整式方程都是整式方程; 只含一个未知数只含一个未知数; 未知数的最高次数是未知数的最高次数是2. 我们把我们把ax bxc(a，b，c为常数为常数,a)称称 为为一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式，其中，其中ax ， ， bx ， c 分别称为分别称为二次项
4、二次项、一次项一次项和和常数项常数项，a， b分别称分别称 为为二次项系数二次项系数和和一次项系数一次项系数 新知探索新知探索 一元二次方程的概念一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式像这样的等号两边都是整式, , 只含有只含有 一个未知数一个未知数( (一元一元) )，并且未知数的最，并且未知数的最 高次数是高次数是2(2(二次二次) )的方程叫做的方程叫做一元二次一元二次 方程方程。 下列方程哪些是一元二次方程下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？为什么？ (2)2x25xy6y0 (5)x22x31x2 (1)7x26x0 解解: (1)、 (4) (3)2x2 1 0 1 3x
5、(4) 0 y2 2 练习巩固练习巩固 1.关于关于x的方程的方程(k3)x2 2x10, 当当k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程 2.关于关于x的方程的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20, 当当k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程 当当k 时，是一元一次方程时，是一元一次方程 3 1 1 例题精讲例题精讲 3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系 数、一次项系数和常数项：数、一次项系数和常数项： 方方 程程 一般形式一般形式 二次项二次项 系系 数数 一次项一次项 系系 数数 常数常数 项项 3x2=
6、5x-1 (x+2)(x -1)=6 4-7x2=0 3x25x10 x2 x80 或或7x2 0 x40 3 5 1 1 1 8 7 0 4 3 5 1 1 1 8 7 0 4 或7x2 40 7 0 4 7x2 40 例题精讲例题精讲 解：设竹竿的长解：设竹竿的长 为为x尺尺,则门的宽则门的宽 度为度为 尺尺,长长 为为 尺尺,依题依题 意得方程：意得方程： 4从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去， 横着比门框宽横着比门框宽尺尺，竖着比门框高，竖着比门框高尺尺，另一个醉汉教他沿着，另一个醉汉教他沿着 门的两个对角斜着拿竿，这
7、个醉汉一试，不多不少刚好进去门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去 了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程 (x4)2 (x 2)2 x2 即 x212 x 20 0 4尺尺 2尺尺 x x4 x2 数学化 (x4) (x2) 例题精讲例题精讲 拓展提高拓展提高 1.已知方程已知方程x2+mx12=0的一个根是的一个根是x=2， 求求m的值。的值。 3.方程方程(x21)(2x+5)=0的解为的解为 。 2.方程方程(x1)(x+3)(x 2)=0的解为的解为 。 4.已知已知m是方程是方程x2+x2009=0的一个根，的一个根，
8、 求求m2+m的值为的值为 。 拓展提高拓展提高 5.方程方程x22007x2008=0的解为的解为 A. 1；2 B. 2；2008 C. 1；2008 D. 1；2008 6. 已知已知6和和7是某一个方程的两个根，则该方程是某一个方程的两个根，则该方程 可以是可以是 A. (x7)(x+6)=0 B. (x+7)(x+6)=0 C. x2x+42=0 D. x2+x42=0 本节课你又学会了哪些新知识呢？本节课你又学会了哪些新知识呢？ 学习了什么是一元二次方程，以及它的一般学习了什么是一元二次方程，以及它的一般 形式形式axax bxbxc c（a a，b b，c c为常数为常数，aa）
9、 和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次 项系数、一次项系数项系数、一次项系数 会用一元二次方程表示实际生活中数量关系会用一元二次方程表示实际生活中数量关系 3根据题意，列出方程：根据题意，列出方程： （）有一面积为（）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短的长方形，将它的一边剪短5m，另一边，另一边 剪短剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ 解：设正方形的边长为解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为，则原长方形的长为(x5) m,宽宽 为为(x2) m，依题意得方程：，依题意得方程： (x5) (x2) 54 即即 x2 7x44 0 2 5 x x X5 54m2 （）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为（）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数，这三个数 分别是多少？分别是多少？ x (x1) x(x2) (x1) (x2) 242. x2 2x8 00. 即即 解：设第一个数为解：设第一个数为x，则另两个数分别为，则另两个数分别为x, x2，依题意得，依题意得 方程方程：
