1、2.4 2.4 用因式分解法求解一用因式分解法求解一 元二次方程元二次方程 2.2.用公式法解一元二次方程应先将方程化为用公式法解一元二次方程应先将方程化为_； 1 1用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为 _的形式；的形式； 一般形式一般形式 (x+m)(x+m)2 2=n=n（nn0 0） 3 3. . 2 220xx解方程:(1) 2 (2)274xx 2 220xx解方程:(1) 2 222 2 12 22 2( 1)2( 1) (1)3 13 3 1 3 1,3 1 xx xx x x x xx (1) 解析：解析： 2 (2)274xx
2、 2 2 12 2740 474 2 ( 4)810 78179 2 24 1 ,4 2 xx bac x xx 2 a=2,b=7,c=-4 解析：解析： 一个数的平方与这个数的一个数的平方与这个数的3 3倍有可能相等吗？如果能，这倍有可能相等吗？如果能，这 个数是几？你是怎样求出来的？个数是几？你是怎样求出来的？ 解析：解析：设这个数为设这个数为x x，根据题意，根据题意， 可列方程可列方程 x x2 2=3x=3x x x2 2- -3x=03x=0 你能自己解方程吗？你能自己解方程吗？ 2 2 2 12 30 99 3 44 33 () 22 33 22 3,0 xx xx x x x
3、x 解: 2 2 12 30 4 ( 3)4 1 09 0 3933 2 12 3,0 xx ac x xx 2 解: a=1,b=-3,c=0 b 配方法配方法 公式法公式法 , 0, 0. 即 如果两个因式的积 等于那么这两个数 至少有一个为 :小亮是这样想的 00ab那么或 0,a b如果 . 03 xx :小亮是这样解的 . 03 2 xx x0x30. 或 . 3, 0 21 xx :解 解方程：解方程：x2 3x=0 当一元二次方程的一边是当一元二次方程的一边是0,0,而另一边易于分解成两个一次而另一边易于分解成两个一次 因式的乘积时因式的乘积时, ,我们就可以用分解因式的方法求解
4、我们就可以用分解因式的方法求解. .这种用这种用 分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法分解因式法. . 提示提示: : 1.1.用分解因式法的条件是用分解因式法的条件是: :方程左边易于分解方程左边易于分解, ,而右边等于而右边等于 零零; ; 2. 2. 关键是熟练掌握分解因式的知识关键是熟练掌握分解因式的知识; ; 3.3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零理论依旧是“如果两个因式的积等于零, ,那么至少有一那么至少有一 个因式等于零个因式等于零.”.” 1.1.用分解因式法解方程用分解因式法解方程:(1):(1)5x5x2 2=4x; (2)x=4x
5、; (2)x- -2=x(x2=x(x- -2).2). 2 : 1 5x4x0, x 5x40. x05x40. 解 或 12 4 x0;x. 5 12 2 (2)20, 210. 2010. 2;1. xx x xx xx xx 或 (3) (x+1)(3) (x+1)2 2- -25=025=0 解析：解析：原方程可变形为原方程可变形为 (x+1)+5(x+1)(x+1)+5(x+1)- -5=05=0 (x+6)(x (x+6)(x- -4)=04)=0 x+6=0x+6=0或或x x- -4=04=0 xx1 1= =- -6 6 ， x x2 2=4=4 【规律方法规律方法】用分解
6、因式法解一元二次方程的步骤是用分解因式法解一元二次方程的步骤是: : 1.1.方程的右边为方程的右边为0 0，左边可分解因式；，左边可分解因式； 2.2.把左边分解因式；把左边分解因式； 3.3.根据“如果两个因式的积等于零根据“如果两个因式的积等于零, ,那么至少有一个因式那么至少有一个因式 等于零等于零.”.”转化为两个一元一次方程；转化为两个一元一次方程； 4.4.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根. . (1)x(1)x2 2- -4=0;4=0; (2)(x+1)(2)(x+1)2 2- -25=0.25=0. 解析：解析：(
7、x+2)(x(x+2)(x- -2)=0,2)=0, x+2=0x+2=0或或x x- -2=0.2=0. x x1 1= =- -2, x2, x2 2=2.=2. 1.1.你能用分解因式法解下列方程吗？ 解析：解析：(x+1)+5(x+1)(x+1)+5(x+1)- -5=0,5=0, x+6=0x+6=0或或x x- -4=0.4=0. x x1 1= =- -6, x6, x2 2=4.=4. 解析：解析：设这个数为设这个数为x,x,根据题意根据题意, ,得得 x=0x=0或或2x2x- -7=07=0. 2x2x2 2=7x.=7x. 2x2x2 2- -7x=0,7x=0, x(2
8、xx(2x- -7)7) =0,=0, . 2 7 ,0 21 xx 1.1.一个数平方的一个数平方的2 2倍等于这个数的倍等于这个数的7 7倍倍, ,求这个数求这个数. . 参考答案：参考答案： 12 1.5;2.xx 12 2.5;3.xx 12 3.3;2.xx 12 14 4.;. 27 xx 12 5 5.2;. 3 xx )2(5)2(3 . 5xxx 025)25( 2 xx1. 2. 015)53( 2 xx 018)23(. 3 2 xx 4.4. ) 12()24( 2 xxx 2.2.用分解因式法解下列方程用分解因式法解下列方程 ?有没有规律看出了点什么 ; 6, 106
9、7: 21 2 xxxx得解方程 3.3.观察下列各式观察下列各式, ,也许你能发现些什么也许你能发现些什么? ? );6)(1(67 2 xxxx而 ; 1, 3032: 21 2 xxxx得解方程);1)(3(32 2 xxxx而 ; 2 3 , 2 3 09124: 21 2 xxxx得解方程); 2 3 )( 2 3 ( 49124 2 xxxx而 ; 1, 3 4 0473: 21 2 xxxx得解方程);1)( 3 4 ( 3473 2 xxxx而 【解析解析】通过观察上述的式子，可得以下两个结论：通过观察上述的式子，可得以下两个结论： （1 1）对于一元二次方程（）对于一元二次方
10、程（x x- -p p）（）（x x- -q q）=0=0，那么它的两个，那么它的两个 实数根分别为实数根分别为p p、q q； （2 2）对于已知一元二次方程的两个实数根为）对于已知一元二次方程的两个实数根为p p、q q，那么这，那么这 个一元二次方程可以写成（个一元二次方程可以写成（x x- -p p）(x(x- -q)=0q)=0的形式，的形式， 一般地一般地, ,要在实数范围内分解二次三项式要在实数范围内分解二次三项式 axax2 2+bx+c(ao),+bx+c(ao),只要用公式法求出相应的一元二次方程只要用公式法求出相应的一元二次方程 axax2 2+bx+c=0(ao)+bx+c=0(ao)的两个根的两个根x x1 1,x,x2 2, ,然后直接将然后直接将axax2 2+bx+c+bx+c写成写成 a(xa(x- -x x1 1)(x)(x- -x x2 2),),就可以了就可以了. . 二次三项式二次三项式axax2 2+bx+c +bx+c 的因式分解的因式分解 即即axax2 2+bx+c=a(x+bx+c=a(x- -x x1 1)(x)(x- -x x2 2) ) 谢谢！
