1、第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 （第1课时） 1.圆心角的定义? 顶点在圆心的角叫圆心角 2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系? 如图：AOB 弧AB的度数 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 、 两条 中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等。 弧 弦 = 知识回顾 角顶点发生变化时,我们得到几种情况? 思考：三个图中的BAC的顶点A各在圆的什么位 置？ 探索1: 圆周角 点A在圆内 点A在圆外 点A在圆上 . O B C A . O B C A O B C 顶点在圆心 圆心角 . A O B C . 探究新知 圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边分别与圆还
2、有一 个交点的角叫做圆周角. . O B C A 练习、指出图中的圆心角和圆周角 圆心角： 圆周角： AOB、 AOC、 BOC BAC, ABC, ACB O B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C D E D E 问题提出：当球员在B,D,E处射门时,他所处的 位置对球门AC分别形成三个张角 ABC,ADC,AEC.这三个角的大小有什么 关系? 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间有什么关系. 类比圆心角探知圆周角 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关 系？ 探索2: O
3、 A C B 圆周角和圆心角的关系 做一做：如图,AOB=80，（1）请你画出几 个 所对的圆周角，这几个圆周角的大小 有什么关系？ 教师提示:思考圆周角和圆心角有几种不同的位 置关系？ O A B O A C B O A C B C AB 圆周角和圆心角的关系 做一做：如图做一做：如图,AOB=80=80（2 2）这些圆周角与）这些圆周角与 圆心角圆心角AOB的大小有什么关系的大小有什么关系? ? 议一议:改变圆心角A0B的度数，上述结论还成 立吗？ O A B O A C B O A C B C 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半. O A C B O A C B O
4、 A C B 1 2 ACBAOB即 下面对定理进行演绎证明 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半. O A C B O A C B O A C B 已知：如图，ACB是 所对的圆周角， AOB是 所对的圆心角， 求证： AB AB 1 2 ACBAOB 先证明哪一 种情况？ 1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(ACB)的一边(BC)上时,圆 周角ACB与圆心角AOB的大小关系. AOB是ACO的外角， AOB=C+A. OA=OC， A=C. AOB=2C. 1 2 ACBAOB即 A C B O 2.当圆心(O)在圆周角(ACB)的内部时,圆周角 ACB与
5、圆心角AOB的大小关系会怎样? 老师提示:能否转化为1的情况? 过点C作直径CD.由1可得: D O A C B 11 , 22 ACDAODBCDBOD 1 2 ACDBCDAODBOD 1 2 ACBAOB即 3.当圆心(O)在圆周角(ACB)的外部时,圆周角 ACB与圆心角AOB的大小关系会怎样? 老师提示:能否也转化为1的情况? 过点C作直径CD.由1可得: A C B O 11 , 22 ACDAODBCDBOD 1 2 ACDBCDAODBOD 1 2 ACBAOB即 O C A B O C A B O C A B 化 归 化 归 分类讨论、转化分类讨论、转化 D D 方法小结 O
6、 B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C D E D E 问题回顾：当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置 对球门AC分别形成三个张角 ABC,ADC,AEC.这三个角大小有什么关系? 连接AO、CO, 111 , 222 ABCAOCADCAOCAECAOC ABCADCAEC 定理：同弧或等弧所对的圆周角相等. 一 、这节课主要学习了两个知识点： 1、圆周角定义。 2、圆周角定理及其定理应用。 二、方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗 透了类比，“特殊到一般”的思想方法和分类 讨论的思想方法。 三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也 是中考的
7、一个重要考点，望同学们灵活运用。 课堂小结 1.如图，在O中，BOC=50，求BAC的大 小 B A C O 解：在O中，BOC=50 00 11 5025 22 BACBOC 随堂练习 2.如图，哪个角与BAC相等，你还能找到那些 相等的角？ C A B D 解：BAC=BDC ADB=ACB CAD=CBD ABD=ACD 随堂练习 1.如图，OA、OB、OC都是O的直径，AOB=2 BOC，ACB与BAC的大小有什么关系，为什 么？ O A B C 1 2 1 1 2 AOB 1 2 2 BOC 又AOB=2 BOC 11 122 2 22 AOBBOCBOC 解：BAC= 2 ACB，
8、理由: 即BAC= 2ACB 习题讲解 2.如图，A、B、C、D是O上的四点，且 BCD=100，求BOD与BAD的大小 o 1 80 2 BADBOD C O B D A 解：BCD=100 优弧所对的圆心角 BOD=2BCD=200 劣弧所对的圆心角 BOD=36O-200=160 习题讲解 3.为什么电影院的作为排列呈弧形，说一说这设 计的合理性。 答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形， 这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角 相等。 习题讲解 4.船在航行过程中，船长通过测定 角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、 B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B 两点的一个圆形区域内，优弧AB上 任一点C都是有触礁危险的 临界点，ACB就是“危险角”，当船位于安 全区域时，与“危险角”有怎样的大小关系？ 解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域 外（即O外） ，与两个灯塔的夹角小于 “危险角” 。 习题讲解
