1、一、问题的提出一、问题的提出二、级数的概念二、级数的概念一、问题的提出1.1.计算圆的面积计算圆的面积 R正六边形的面积正六边形的面积 正十二边形的面积正十二边形的面积 1a21aa 正正 形的面积形的面积 n23 naaa 21naaaA 21即即 n10310003100310331.2二、级数的概念二、级数的概念1.1.级数的定义级数的定义:nnnuuuuu3211称为称为数项级数数项级数,或或无穷级数无穷级数,或简称或简称级数级数.一般项一般项 称为部分和数列称为部分和数列.niinnuuuus121称为级数的第称为级数的第n个部分和，个部分和，ns定义定义1 1 给定一个数列给定一个
2、数列 ,iu则则 简称级数的部分和简称级数的部分和.2.2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散:定义定义2 2 当当n无限增大时无限增大时,如果级数如果级数 1nnu的部分和数的部分和数列列ns有极限有极限 s,即即 ssnn lim 则称无穷级数则称无穷级数 1nnu收敛收敛,这时极限这时极限s叫做级数叫做级数 1nnu的和的和.并写并写成成 321uuus 如果如果ns没有极限没有极限,则称无穷级数则称无穷级数 1nnu发散发散.即即 常常数数项项级级数数收收敛敛(发发散散)nns lim存存在在(不不存存在在)余项余项 nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 误差为误差为nr)0
3、lim(nnr例例 1 1 讨论等比级数讨论等比级数(几何级数几何级数)nnnaqaqaqaaq20 )0(a的收敛性的收敛性.解解 时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散 时时如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn例例 2 2 判别无穷级数判别无穷级数 11232nnn的收敛性的收敛性
4、.解解nnnu 1232,3441 n已知级数为等比级数，已知级数为等比级数，,34 q公比公比,1|q.原级数发散原级数发散解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21.21,和为和为级数收敛级数收敛例例4 4 试把循环小数试把循环小数3171717.2173.2 表示成表示成分数的形式分数的形式.解解 173.2 7531017101710173.2 03100110173.2nn等比级数等比级数1001 q公比
5、公比10011110173.23 .4951147 一、问题的提出一、问题的提出二、级数的概念二、级数的概念注意注意:常数项级数收敛常数项级数收敛(发散发散)nns lim存在存在(不存在不存在)根据数列Cauchy收敛准则,可得:定理定理12.112.1（柯西收敛准则柯西收敛准则）级数收敛的充分必要条件 是0e，N$，当Nm 时，对任意正整数都有1nnup12.mmmpuuue注意注意:1.由该定理可见:去掉或添加或改变(包括交换次序)级数的有限项,不会影响级数的敛散性.但在级数收敛时,级数的和可能改变.p4,定理12.32.在级数的Cauchy收敛准则中，特别地，取1p 可得级数收敛的一个
6、必要条件.推论推论（级数收敛的必要条件）（级数收敛的必要条件）1nnu收敛lim0.nnu3.3.据据柯西收敛准则柯西收敛准则可得级数发散的充分必要条件：存在及正整数 1nnu0000120.mmmpuuue00,e$对于任意正整数,N0mN0,p使得例5证明级数收敛.211nn2p提示：用Cauchy收敛准则证明12mmmpuuu适当放大成只含m例6证明调和级数发散.11nn提示：用Cauchy收敛准则逆否命题证明1111122mmmmmmm注意有不等式注意注意 1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散;1)1(4332211nnn例如例如 发散发散 2
7、.2.必要条件不充分必要条件不充分.lim0,.nnu有但级数不收敛 n131211例如调和级数例如调和级数性性质质 1 1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛,则则 1nnku亦亦收收敛敛.性性质质 2 2 设设两两收收敛敛级级数数 1nnus,1nnv,则则级级数数 1)(nnnvu收收敛敛,其其和和为为 s.结论结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质性质1+1+性质性质2=2=定理定理12.212.2定理定理12.2 12.2 若级数若级数与与 1nnv1n
8、nu都收敛都收敛,则对于则对于 任意常数任意常数,c d级数级数 1nnncudv也收敛也收敛,且且 111.nnnnnnncudvcudv解解 121)1(5nnnn 1)1(5nnn 121nn 111115)1(5nnnnnn nknkkg11115令令),111(5 n,5)111(lim5lim ngnnn,211是等比级数是等比级数 nn，首项是首项是公比公比21,121 qnnnnh lim211.61521)1(51 nnnn故故,121121 证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 则则.kss 类似地可以证明在
9、级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.证明证明 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 则则,52s ,93s ,mmns因此因此,部分和数列部分和数列m是部分和数列是部分和数列 ns的子列的子列,注意注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(例如例如 1111推推论论 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数发发散散,则则原原来来级级数数也也发发散散.收敛收敛 发散发散 1 1.由由定定义义,若若ssn,则则级级数数收收敛敛;2 2.当当0lim nnu,则
10、则级级数数发发散散;3 3.按按基基本本性性质质.常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法思考题一思考题一 设设 1nnb与与 1nnc都都收收敛敛，且且nnncab ),2,1(n，能能否否推推出出 1nna收收敛敛？思考题解答思考题解答能能由柯西审敛原理即知由柯西审敛原理即知无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上
11、都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花”思考题二思考题二观察雪花分形过程观察雪花分形过程;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角
12、形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形,2,1)34(11 nPPnn)91(431121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn ,3,2 n周长为周长为面积为面积为)94(31)94(31)94(31311221 nA第第 次分叉：次分叉：n于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛）作业:P51(1,4,5),4,7(1,4).
