1、和倍问题应用题和倍问题应用题 ( (整数、小数、分数整数、小数、分数及奥数专题训练及奥数专题训练） 知识点说明：知识点说明： 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题 解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题， 画出线段图， 使数量关系一目了然， 从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。 和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍， 要求两个数， 一般是把较小数 看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大 数.和倍问题的数量关系式是： 和(倍数+1)=小数 小数倍数=大数 或 和一小数=大数 如果要求两个数的差，要
2、先求1份数： l份数(倍数1)=两数差. 解决和倍问题， 关键是学会画线段图， 这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。 例题精讲： 【例【例 1】 根据线段图列式：根据线段图列式： 【解析】【解析】 列式：28(3 1)7（米） 【巩固】【巩固】 小敏有小敏有14元，小花有元，小花有10元，小花给小敏几元，小敏的钱元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的数就是小花的2倍？倍？ 【解析】【解析】 小花现在的钱数：(1410)(12)8（元） ，小花给小敏：1082（元） 【巩固】【巩固】 小华和爷爷今年共小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的岁，爷爷的岁数是小华的7倍倍. .爷爷比小华
3、大多少岁？爷爷比小华大多少岁？ 【解析】【解析】 小华：72(17)9（岁） ， 爷爷：9 763（岁） ，63954（岁）或9(71)54（岁）. 【例【例 2】 有两盘苹果， 如果从第一盘中拿有两盘苹果， 如果从第一盘中拿 2 2 个放到第二个盘里， 那么两盘的苹果数相个放到第二个盘里， 那么两盘的苹果数相 同同( (条件条件 A)A)；如果从第二个盘中拿；如果从第二个盘中拿 2 2 个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数 是第二盘的是第二盘的 2 2 倍倍( (条件条件 B).B).第一盘有苹果多第一盘有苹果多少个少个? ? 【解析】【解析】 本题的数量关系
4、更为隐蔽首先须理解条件表述语中隐含的数量关系 条件 A 的数量关系为：第一盘中的苹果数比第二盘多 2+2=4(个).从条件 B 可知， 如果从第二个盘中拿 2 个放到第一盘里， 那么第一盘就比第二盘多 4+(2+2)=8(个)； 此时，第一盘的苹果数是第二盘的 2 倍 (1)原来第一盘比第二盘多：2+2=4(个)或 22=4(个) (2)从第二盘拿 2 个到第一盘里，第一盘就比第二盘多：4+(2+2)=8(个)或 4+2 2=8(个) (3)第二盘拿走 2 个后剩下的苹果：8(2-1)= 8(个) (4)第一盘原有苹果：82-2=14(个) 答：第一盘有苹果 14 个 【巩固】【巩固】 一个长
5、方形的周长是一个长方形的周长是 3636 厘米，长是宽的厘米，长是宽的 2 2 倍，这个长方形的面积是多少平倍，这个长方形的面积是多少平 方厘米？方厘米？ 【解析】【解析】 先求出长方形长和宽的和：362=18（厘米）把长方形的宽看作 1 份，长就是 2 份，长和宽的和对应的就是 3 份，所以长方形的宽是：18（2+1）=6（厘米） 长是：62=12（厘米）这个长方形的面积是：126=72（平方厘米） 【巩固】【巩固】 5 5 箱苹果和箱苹果和 5 5 箱葡萄共重箱葡萄共重 7575 千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的 2 2 倍。每箱苹果和倍。每箱苹果和 每箱葡萄各
6、重多少千克？每箱葡萄各重多少千克？ 【解析】【解析】 5 箱苹果和 5 箱葡萄共重 75 千克，平均分成 5 份，1 箱苹果与 1 箱葡萄重量和为： 755=15（千克）。 把 1 箱葡萄的重量看作一份，重量为：15（2+1）=5（千克）； 每箱苹果重量为：52=10（千克）。 【例【例 3】 师、徒两人共加工师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒个零件，师傅加工的个数比徒弟的弟的3倍还多倍还多5个，师傅和徒个，师傅和徒 弟各加工零件多少个？弟各加工零件多少个？ 【解析】【解析】 引导学生画图时，一定要注意“多 5 个”的画图方法，并找和与份数之间的关系 【详解】【详解】 从线段图上
7、可以看出，把徒弟加工的个数看作1份数，师傅加工的个数就比3份数 还多5个，如果师傅少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为(1055)个， 这样这道题就转化为例5类型的题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了.列 式：如果师傅少做5个，师、徒共做： 1055100(个)， 徒弟做了： 100(3 1)25(个),师傅做了：25 3580 (个) 【巩固】【巩固】 实验小学共有学生实验小学共有学生956人，男生比女生人，男生比女生2倍少倍少4人人. .问：实验小学男学生和女学生问：实验小学男学生和女学生 各有多少人？各有多少人？ 【解析】【解析】 女生：(9564)3320（人） ， 男生：
8、956320636（人） 或320 24636 （人） 【巩固】【巩固】 两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的 3 3 倍，而乙组的学生人数比倍，而乙组的学生人数比 甲组的甲组的 3 3 倍少倍少 4040 人，求参加义务劳动的学生共有多少人？人，求参加义务劳动的学生共有多少人？ 【解析】【解析】 把乙组学生人数看作 1 份，画出线段图如下： 甲组学生人数是乙组学生人数的 3 倍，则甲组学生人数的 3 倍就是乙组人数的（3 3=）9 倍。 所以，乙组人数为：40（9-1）=5（人） ； 参加义务劳动的学生共有：5（1+3）=20（人） 。 【巩固
9、】【巩固】 商店运来橘子、苹果、香蕉共商店运来橘子、苹果、香蕉共 5353 千克，橘子的重量是苹果的千克，橘子的重量是苹果的 3 3 倍少倍少 3 3 千克，千克， 香蕉的重量是苹果的香蕉的重量是苹果的 2 2 倍多倍多 2 2 千克，橘子重多少千克千克，橘子重多少千克? ? 【解析】【解析】 我们可以把苹果的重量看作 1 份，如下图： 如果橘子重量增加 3 千克，正好是苹果重量的 3 倍，香蕉 的重量减少 2 千克，正好是苹果重量的 2 倍，这时三种水 果的总重量变为：533254(千克)，正好是苹果重量 的(132)倍，苹果有 (5332)(132) 54 69(千克)，橘子有 93324
10、(千克) . 【例【例 4】 实验小学三、四年级的同学们一共制作了实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件件航模，四年级同学制作的航模件 数是三年级的数是三年级的2 倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？ 【解析】【解析】 已知四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍， 可以想到三年级同学制作的航模 件数是1倍数两个年级共制作了318件，这318件就相当于123倍，这样就可 以求得1倍数三年级同学的制作件数是：3183106 (件)再根据四年级同 学和三年级同学制作航模件数的倍数关系，求出四年级同学制作航模的件数是： 10
11、6 2212(件)或318 106212(件)。 【巩固】【巩固】 一家三口人，三人年龄之和是一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁， 妈妈的年龄是孩子的岁，妈妈和爸爸同岁， 妈妈的年龄是孩子的4倍，倍， 三人各是多少岁？三人各是多少岁？ 【解析】【解析】 妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把 孩子的年龄作为1倍数，已知三口人年龄和是72岁，那么孩子的年龄为： 72(144 =8 ）(岁)，妈妈的年龄是：8 432(岁)，爸爸和妈妈同岁为32岁 【巩固】【巩固】 果园里有梨树和苹果树共果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨棵，苹果树的棵数是
12、梨树的树的5倍，苹果树比梨树多多倍，苹果树比梨树多多 少棵？少棵？ 【解析】【解析】 把梨树的棵数看作l份数，苹果树的棵数就是5份数，54棵就相当于(5+1)份数， 分别求出梨树和苹果树的棵数， 再把苹果树的棵数减去梨树的棵数， 就是苹果树比 梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份， 就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了. （法）梨树：54(51) 9(棵)，苹果树：9 545(棵)，苹果树比梨树多： 45936(棵) （法）梨树：54(51)9(棵)，苹果树比梨树多：9(5 1)36(棵) 【巩固】【巩固】 某镇上有东西两个公交车站，东站有客车某镇上有东西两个公
13、交车站，东站有客车 8484 辆，西站有客车辆，西站有客车 5656 辆，每天从辆，每天从 东站到西站有东站到西站有 7 7 辆车，从西站到东站有辆车，从西站到东站有 1111 辆车，几天后，东站车辆是西站辆车，几天后，东站车辆是西站 的的 4 4 倍？倍？ 【解析】【解析】 “每天从东站到西站有 7 辆车，从西站到东站有 11 辆车”，则每天东站增加 （11-7=） 4 辆车， 西站减少 4 辆车， 但两站车辆总数不变为： 84+56=140 （辆） 。 要使东站车辆是西站车辆的 4 倍，西站只能有车辆：140（4+1）=28（辆）。 用西站需要减少的总车辆数除以每天减少的车辆数，可以得出所
14、求天数： （56-28）4=7（天）。所以，7 天后，东站车辆是西站的 4 倍。 【例【例 5】 果园里有梨树和苹果树共果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨棵，苹果树的棵数是梨树的树的5倍，苹果树比梨树多多倍，苹果树比梨树多多 少棵？少棵？ 【解析】【解析】 把梨树的棵数看作l份数，苹果树的棵数就是5份数，54棵就相当于(5+1)份数， 分别求出梨树和苹果树的棵数， 再把苹果树的棵数减去梨树的棵数， 就是苹果树比 梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份， 就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了. （法）梨树：54(51) 9(棵)，苹果树：9 545(棵)
15、，苹果树比梨树多： 45936(棵) （法）梨树：54(51)9(棵)，苹果树比梨树多：9(5 1)36(棵) 【巩固】【巩固】 甲、乙两位学生原计划每天自学时甲、乙两位学生原计划每天自学时间间相同相同若甲每天增加自学时间半小时，乙每若甲每天增加自学时间半小时，乙每 天减少自学时间半小时， 则乙天减少自学时间半小时， 则乙自学自学6天的时间仅相当于甲自学天的时间仅相当于甲自学1天的时间天的时间 问： 甲问： 甲、 乙原定每天自学的时间是多少乙原定每天自学的时间是多少？ 【详解】【详解】 改变后，甲每天比乙多自学1小时，即60分钟它是乙现在五天自学的时间，即乙 现在每 天自学：60(61)12（
16、分） ，原来每天自学的时间是：123042（分） 【巩固】【巩固】 光明小学有学生光明小学有学生 760760 人，其中男生比女生的人，其中男生比女生的 3 3 倍少倍少 4040 人，男、女生各有多人，男、女生各有多 少人？少人？ 【解析】【解析】 把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的 3 倍还少 40 人，如果用男、女 生人数总和 760 人再加上 40 人，就等于女生人数的 4 倍（见 下图） 。 女生人数： （76040）（31）=200（人） 男生人数：2003-40=560（人）或 760-200=560（人） 验算：560200=760（人） （560+40）200=3（
17、倍） 。 答：男生有 560 人，女生有 200 人。 【巩固】【巩固】 红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票 5656 张其中红色纸盒张其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒里的彩票是黄色纸盒 的的 2 2 倍，蓝色纸盒里的彩票是红色纸盒的倍，蓝色纸盒里的彩票是红色纸盒的 2 2 倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有 多少张彩票多少张彩票? ? 【解析】【解析】 以黄色纸盒的彩票数为 1 倍数，红纸盒是这样的 2 倍，蓝纸盒是红纸盒的 2 倍，也 就是黄纸盒的 4 倍，一共就是(1+2+4)倍，这样就能建立起彩票总数与总倍数之间 的对应关系，从而求出黄纸盒里有
18、几张彩票56(1+2+4)=8(张)黄纸盒里的 彩票数； 82=16(张)红纸盒里的彩票数 ； 162=32(张)蓝纸盒里的彩票数。 【例【例 6】 有有8只盒子，每只盒内放有同一种只盒子，每只盒内放有同一种笔笔8只盒子所装笔的支数分别只盒子所装笔的支数分别为为17支、支、23 支、支、33支、支、36支、支、38支、支、42支、支、49支、支、51支支在这些笔中，圆珠笔在这些笔中，圆珠笔的支数的支数 是钢笔支数的是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔支数的倍，铅笔支数是钢笔支数的3倍倍，只有一只盒里放的是，只有一只盒里放的是水彩水彩 笔这盒水彩笔共有多少支？笔这盒水彩笔共有多少支？ 【解析】【解析
19、】 铅笔数是钢笔数的3倍，圆珠笔数是钢笔数的2倍，因此这三种笔支数的和是钢笔 数的32 16 倍1723333638424951289除以6余1，所以水彩 笔的支数除以6余1， 在上述8盒的支数中， 只有49除以6余1， 因此水彩笔共有49 支 【巩固】【巩固】 六张卡片上分别标上六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲六个数，甲取取3张张， 乙取乙取2张，丙取张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另个人个人 的的2倍，则丙手中卡片上的数是倍，则丙手中卡片上的数是_ 【解析】【解
20、析】 根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、 乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数 计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565，10565除以 3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片 上的数除以3余2六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193 【例【例 7】 甲、乙、丙三个小朋友共有甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克块，那么乙和丙的巧克 力就一样多；如果乙给甲力就一样多；如果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的块巧
21、克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有倍，丙原有 块巧克力块巧克力 【解析】【解析】 方法一：由题意可知，丙比乙多3块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多5 块， 此时乙的巧克力数为(735)(1 12)17 （块） ， 丙原有172322（块） 。 方法二：如果丙吃掉3块，那么乙与并的糖就一样多，说明丙比乙多3块；如果乙 给甲2块糖，那么甲的糖就是乙的糖的2倍，即甲的糖加2是乙的糖减2后的2倍， 说明甲的糖是丙的糖的2倍少2 226 块 所以， 丙有(7336)(1 12)19 块糖 【巩固】【巩固】 甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校
22、学生人数的，已知甲校学生人数的2倍，乙校倍，乙校 学生人数减学生人数减3，丙校学生人数加，丙校学生人数加4都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多 少？少？ 【解析】【解析】 甲校学生人数为：(199934)(122)400（人） ，乙校学生人数为： 400 23803 （人） ，丙校学生人数为：400 24796 （人） 甲、乙、丙三 校的人数分别为400，803，796 【巩固】【巩固】 学校买来一些乒乓球和羽毛球共学校买来一些乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍倍. .买来的乒买来的乒 乓球和羽毛球各多少个？
23、乓球和羽毛球各多少个？ 【解析】【解析】 先引导学生认识一倍量和它的几倍量， 并带领学生画线段图， 借助图形来解决实际 问题 根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数，40 个就相当于(4+1) 份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的 个数乘4就是乒乓球的个数. 羽毛球有：40(41)4058()个，乒乓球有：8 432(个) 【巩固】【巩固】 某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2 倍， 每个二等奖的奖金是每个三等奖奖倍， 每个二等奖的奖金是每个三
24、等奖奖金的金的2倍倍 如果评出一、 二、 三等奖各如果评出一、 二、 三等奖各2人，人， 那么每个一等那么每个一等奖的奖金是奖的奖金是308元元如果评出如果评出1个一等奖，个一等奖，2个二等奖，个二等奖，3个三等奖，个三等奖， 那么一等奖的奖金是多少元那么一等奖的奖金是多少元? ? 【解析】【解析】 我们把每个三等奖奖金看作1份，那么每个二等奖奖金是2份，每个一等奖奖金则 是4份当一、二、三等奖各评2人时，2个一等奖的奖金之和是(3082)元，2个 二等奖的奖金之和等于1个一等奖的奖金308元，2个三等奖的奖金等于1个二等奖 奖金(3082)元所以奖金总额是：308230830821078元当
25、评1个一等 奖，2个二等奖，3个三等奖时，1个一等奖奖金看做4份，2个二等奖奖金224 （份） ，3个三等奖奖金的份数是1 33 （份） ， 总份数就是：44311（份） 这 样，可以求出1份数为1078 1198元，一等奖奖金为：98 4392（元） 【例【例 8】 甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为 19991999。已知甲校学生人数的。已知甲校学生人数的 2 2 倍倍 和乙校学生人数减去和乙校学生人数减去 3 3 人与丙校学生人数加上人与丙校学生人数加上 4 4 人都相等。问甲、乙、丙各人都相等。问甲、乙、丙各 校学生人数是多少？校学生人数是多少？
26、【解析】【解析】 把甲校学生人数作为标准，画出线段图： 把甲校人数看作 1 份，乙校人数就是 2 份多 3，丙校就是 2 份少 4。我们把乙校人 数减去 3，丙校人数加上 4，都凑成 2 份，则总人数变成：1999-3+4=2000（人）。 所以甲校人数为：2000（1+2+2）=400（人）； 乙校人数为：4002+3=803（人）；丙校人数为：4002-4=796（人）。 【巩固】【巩固】 有有 100100 块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了 3 3 块，乙比丙多分了块，乙比丙多分了 5 5 块，三位小朋友各分得多少块糖块，三位小朋友各分得多
27、少块糖? ? 【解析】【解析】 此题从两个数量扩展到三个数量已知甲比乙多分了 3 块，乙比丙多分了 5 块，从 线段图上可以清楚地看出： 甲比丙多分了 358(块)如果甲少拿 7 块，乙少拿 5 块，那么糖的总数就要 减少 8513(块)，总共就是 1001387(块)87 块相当于丙所有的糖块数的 3 倍，由此可以算出甲乙丙三人各自糖块的数量 100(35)5329(块)丙 29534(块)乙 34337(块)甲 【巩固】【巩固】 实验一小、实验二小两校共有学生实验一小、实验二小两校共有学生 23462346 人，如果实验一小增加人，如果实验一小增加 146146 人，实人，实 验二小减少验
28、二小减少 8888 人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗少人吗? ? 【解析】【解析】 已知两校的人数和是 2346 人，而两校人数的差没有直接 告诉我们只要求出两校人数的差，就能解决问题了差 是多少呢?从图上可以看出，实验一小增加 146 人，实验 二小减少 88 人，两校的学生人数就相等在实验一小人 数没有增加，实验二小人数没有减少之前，两校的人数相 差：14688234 (人)，利用(和差)2大数，就可以求出实验二小实际的人 数： (234614688)21290(人)实验二小 234612901056(人)实验一小 本题也可
29、以用和倍方法解 【例【例 9】 有有5堆苹果堆苹果，较小的较小的3堆平均有堆平均有18个苹果个苹果较大的较大的2堆，苹果数之堆，苹果数之差为差为5个个又又 较大的较大的3堆平均有堆平均有26个苹果，较小的个苹果，较小的2堆苹果数之差为堆苹果数之差为7个个最大堆与最小堆平最大堆与最小堆平 均有均有22个苹果个苹果问：每堆各有多少个苹果问：每堆各有多少个苹果? ? 【解析】【解析】 最大堆与最小堆共22244个苹果 较大的2堆与较小的2堆共44 27590 个苹果所以中间的一堆有：(18 326 390)221 个苹果； 较大的2堆有：26 32157 个苹果； 最大的一堆有：(575)231个苹
30、果； 次大的一堆有：573126个苹果； 较小的2堆有：18 32133 个苹果； 次小的一堆有：(337)220个苹果； 最小的一堆有：20713个苹果 【巩固】【巩固】 超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的 3 倍还多倍还多 10 颗颗 售货员将这些糖包装成相同的小袋， 每袋内装了售货员将这些糖包装成相同的小袋， 每袋内装了3颗巧克力糖和颗巧克力糖和7颗水果糖颗水果糖 最最 后巧克力糖全部装完，水果糖还剩下后巧克力糖全部装完，水果糖还剩下 170 颗颗请问：这批糖果共有几颗水果糖，请问：这批糖果共有几颗水果糖，
31、 几颗巧克力糖？几颗巧克力糖？ 【解析】【解析】 由题意，如果每袋里装 3 颗巧克力糖和 9 颗水果糖，则只剩下 10 颗水果糖；现在 每袋里装了 3 颗巧克力糖和 7 颗水果糖， 结果剩下了 170 颗水果糖 由此可以算出 总的袋数为： (170 10)(97)80（袋） ， 因此水果糖总数为80 7 170730 （颗） ，巧克力糖总数为80 3240 （颗） 【巩固】【巩固】 四年级有甲、乙、丙、丁四个班四年级有甲、乙、丙、丁四个班不算甲班，其余三个班的总人数是不算甲班，其余三个班的总人数是 131 人；不人；不 算丁班，其余三个班的总人数是算丁班，其余三个班的总人数是 134 人；乙、
32、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总 人数少人数少 1 人人问：这四个班共有多少人？问：这四个班共有多少人？ 【解析】【解析】 由题意，乙、丙、丁三个班总人数为 131 人，甲、乙、丙三个班总人数为 134 人， 于是可以看出，甲班比丁班多 3 个人又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的 总人数少 1 人，也就是说乙、丙两班总人数是丁班的 2 倍还多 2 人从而可以求出 丁班的人数为： (1312)343 （人） 因此这四个班的总人数为13443 177（人） 【例【例 10】 某某日停电，房间里燃起了长、短两根蜡烛，它们燃烧速度是日停电，房间里燃起了长、短两根
33、蜡烛，它们燃烧速度是样的开始时长样的开始时长 蜡烛是短蜡烛长度的蜡烛是短蜡烛长度的2倍，当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度倍，当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度 的的3倍短蜡烛燃烧掉的长度是倍短蜡烛燃烧掉的长度是5厘米问原来两根蜡烛各有多长？厘米问原来两根蜡烛各有多长？ 【解析】【解析】 我们要注意发掘题目中真正的不变量，实际上本题中两根蜡烛的长度差是不变的 (因为两根蜡烛燃烧的速度一样)所以我们根据题意可知：原长蜡烛长度2倍原 短蜡烛长度， 差为1倍原短蜡烛长度； 后长蜡烛长度3倍后短蜡烛长度， 差为2倍 后短蜡烛长度； 所以原短蜡烛长度2倍后短蜡烛长度， 也就是说短蜡烛
34、燃烧了1倍 后短蜡烛长度，为5厘米，所以原短蜡烛长10厘米，原长蜡烛长20厘米 【巩固】【巩固】 某日停电，房间某日停电，房间里里同时点燃了两支同样长的蜡烛同时点燃了两支同样长的蜡烛这两支蜡烛的这两支蜡烛的质量不同，一支质量不同，一支 可以维持可以维持3小时，另一支可以维持小时，另一支可以维持5小时，当送电时吹灭蜡小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩烛，发现其中一支剩 下的长度是另一支剩下长度的下的长度是另一支剩下长度的3倍倍这次停电时这次停电时间是多少小时？间是多少小时？ 【解析】【解析】 两支蜡烛长度相同，一支可以维持3小时，另一支可以维持5小时，所以从两支蜡 烛中取相同长度的部分，可以
35、燃烧的时间之比为3:5现在可以维持5小时的那支 蜡烛剩下的长度是另外一支的3倍， 所以剩下的部分可以燃烧的时间是另外一只剩 下部分可以燃烧时间的3 535 倍， 由于燃烧了相同的时间， 所以这支剩下的部 分可以燃烧的时间比另外一只剩下部分可以燃烧的时间要长532小时 所以另 外一支剩下的部分可以燃烧的时间为2(5 1)0.5小时，这次停电的时间为 30.52.5小时 【例【例 11】 某某有三堆棋子，有三堆棋子，每堆棋子一样多每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两色棋子已知第一堆里，并且都只有黑、白两色棋子已知第一堆里 的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的的黑子和第
36、二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的 2 5 ，如果把三堆棋子集中到一起，那么白子占全部棋子的几分之几？，如果把三堆棋子集中到一起，那么白子占全部棋子的几分之几？ 【解析】【解析】 第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多， 那么我们不妨把第一堆里的黑子与第二 堆里的白子调换一下， 那么第一堆全是白子， 第二堆全是黑子， 且每堆总数不变 因 为第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的 2 5 ，我们不妨把第三堆里的黑棋子 看作2份，那么剩下的3份都是第二堆的黑子，所以每堆都是3份，共有3 39 棋 子，白子共1 34份，白子占全部棋子的 4 9 【例【例 12】 爸爸和冬冬一起
37、搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头父子二爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头父子二 人发现，如果爸爸帮冬冬搬人发现，如果爸爸帮冬冬搬 1010 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的 5 5 倍；如果倍；如果 冬冬帮爸爸搬冬冬帮爸爸搬 1010 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的 2 2 倍请问：原计划爸爸倍请问：原计划爸爸 搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？ 【详解】【详解】 由题意，如果爸爸多搬 10 块，冬冬少搬 10 块那么爸爸搬的砖头数是冬冬的 5 倍； 如果爸爸少搬 1
38、0 块，冬冬多搬 10 块，那么爸爸搬的砖头块数是冬冬的 2 倍对于 前一种情况，如果让爸爸再多搬 100 块，冬冬再多搬 20 块，那么爸爸搬的砖头块 数仍然是冬冬的 5 倍，也就是说如果爸爸多搬 110 块，冬冬多搬 10 块，爸爸搬的 砖头块数是冬冬的 5 倍由以上的关系可以列式求出爸爸原计划搬的块数为： (110 10)(52)2 1090（块） ， 冬冬原计划搬的块数为： (9010)5 1030 （块） 【巩固】【巩固】 某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人，现在把室内活人，现在把室内活 动的动的50人改为室外
39、活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，则参加倍，则参加 室内室内、室外活动的共有多少人室外活动的共有多少人? ? 【解析】【解析】 原来室外、室内活动人数相差480人，现把室内的50人改为室外活动，这样室外 活动人数比室内人数多48050 2580(人)，这时室外活动人数正好是室内人数 的5倍，580人相当于现在室内活动人数的5 14 (倍)，这样可先求出现在室内 活动人数为5804145，再求出室内、外人数之和：145 (51)870人 【例【例 13】 一家汽车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售。福特汽车的数量是丰田一家汽车销
40、售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售。福特汽车的数量是丰田 汽车的汽车的 3 3 倍，如果每周销售倍，如果每周销售 2 2 辆丰田汽车和辆丰田汽车和 4 4 辆福特汽车，丰田汽车销售完时还辆福特汽车，丰田汽车销售完时还 剩下剩下 3030 辆福特汽车请问：原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？辆福特汽车请问：原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？ 【解析】【解析】 假设福特汽车的数量是 3 份， 丰田车的数量是 1 份， 根据福特车销售量是丰田车的 两倍知道， 销售完一份丰田车肯定要销售完 2 份福特车， 也就是说当丰田车销售完 的时候，福特车应该只剩下 1 份，所以我们知道 1 份数量是 30，那么原
41、来的丰田 车和福特车就分别应有 30 辆和 90 辆。 【巩固】【巩固】 大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有 300 级台阶的山坡，爸爸每步上级台阶的山坡，爸爸每步上 3 级台阶，级台阶， 儿子每步上儿子每步上 2 级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级台阶？级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级台阶？ 【解析】【解析】 大头儿子踏过的台阶数是：3002150（级） ，小头爸爸踏过的台阶数是 3003100 （级） ，父子俩每2 36 （级）台阶要共同踏 1 级台阶，共重复踏了 300650（级） ， 所以父子俩共踏了：150 100502
42、00 （级） 【例【例 14】 果园里有桃树、梨树、苹果树共果园里有桃树、梨树、苹果树共 552552 棵棵. .桃树比梨树的桃树比梨树的 2 2 倍多倍多 1212 棵，苹果树比梨树少棵，苹果树比梨树少 2020 棵，求桃树、梨树和苹棵，求桃树、梨树和苹 果树各有多少棵？果树各有多少棵？ 【解析】【解析】 下图可以看出桃树比梨树的 2 倍多 12 棵，苹果树比梨树 少 20 棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为 1 份数容易解答.又知三 种树的总数是 552 棵.如果给苹果树增加 20 棵， 那么就和梨树同样多了； 再从桃树 里减少 12 棵， 那么就相当于梨树的 2 倍了， 而总
43、棵树则变为 552+20-12=560 （棵） ， 相当于梨树棵数的 4 倍。 梨树的棵数： （55220-12）（112）=5604=140（棵） 桃树的棵数：140212=292（棵） 苹果树的棵数： 140-20=120（棵） 答：桃树、梨树、苹果树分别是 292 棵、140 棵和 120 棵。 【例【例 15】 甲、乙、丙甲、乙、丙 3 3 数之和是数之和是 183183，乙比丙的，乙比丙的 2 2 倍少倍少 4 4，甲比丙的，甲比丙的 3 3 倍多倍多 7 7，求甲、，求甲、 乙、丙三数各是多少？乙、丙三数各是多少？ 【解析】【解析】 我们把丙数看作一份，画出线段图如下： 假如我们给
44、乙数添上 4 凑成 2 份，甲数减去 7 凑成 3 份，则这时候三个数的总和为： 183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。 所以，一份数即丙数为：1806=30； 乙数为：302-4=56；甲数为：303+7=97。 【巩固】【巩固】 549549 是甲、乙、丙、丁是甲、乙、丙、丁 4 4 个数的和个数的和. .如果甲数加上如果甲数加上 2 2，乙数减少，乙数减少 2 2，丙数乘以，丙数乘以 2 2，丁数除以，丁数除以 2 2 以后，则以后，则 4 4 个数相等个数相等. .求求 4 4 个数各是多少？个数各是多少？ 【解析】【解析】 上图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以 2
45、和丁数 除以 2 相等， 也就是丙数的 2 倍和丁数的一半相等， 即丁数相当于丙数的 4 倍.乙减 2 之后是丙的 2 倍， 甲加上 2 之后也是丙的 2 倍.根据这些倍数关系， 可以先求出丙数，以丙数为一份量，再分别求出其 他各数。 丙数是： （5492-2）（2214）=5499=61 甲数是：612-2=120 乙数是：6122=124 丁数是：614=244 验算：120+12461+244=5491202=122 124-2=122612122 2442122 答：甲、乙、丙、丁分别是 120、124、61、244. 【例【例 16】 大桶里有油大桶里有油 60 千克，小桶里有油千克
46、，小桶里有油 30 千克将两个桶的油卖出同样多以后，所剩千克将两个桶的油卖出同样多以后，所剩 下的油中，大桶是小桶的下的油中，大桶是小桶的 4 倍问两个桶各剩油多少千克？倍问两个桶各剩油多少千克？ 【解析】【解析】 用下图表示它们的关系： 卖出同样多的油， 可知两个桶里所有油的差总保持不变， 因此这是一个差倍问题 小 桶所剩的油为倍数，大桶剩油是小桶剩油的 4 倍，所以大桶剩油比小桶剩油多 4 13 （倍） 而大桶比小桶多的油总保持不变，是603030（千克） 再利用 差倍问题的公式就可解决小桶剩下的油是：30310 （千克） ，大桶剩下的油 是：10 440（千克） 【巩固】【巩固】 两筐千
47、克数相同的苹果，甲筐卖出两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出 7 千克，乙筐卖出千克，乙筐卖出 19 千克后，甲筐余下的千克千克后，甲筐余下的千克 数是乙筐的数是乙筐的 3 倍，两筐苹果原来各有多少千克？倍，两筐苹果原来各有多少千克？ 【解析】【解析】 用下图表示它们的关系： 设乙筐余下的千克数为 1 份，则甲筐余下的千克数为 3 份，甲、乙两筐余下的苹果 相差3 12 （份） 原来甲、乙两筐苹果的千克数相同，甲筐卖出 7 千克，乙筐 卖出 19 千克，说明甲筐比乙筐少卖出19712（千克） ，也就是乙筐余下的苹果 比甲筐少 12 千克，所以甲、乙两筐余下的差是 12 千克，所对应的份数差是 2，从 而可以求出 1 份及两筐苹果原来的重量，甲、乙两筐余下的苹果数相差19712 （千克） ，乙筐余下苹果的数是123 16（）（千克） ，甲、乙两筐原来各有苹果的 数量6 1925（千克） 【巩固】【巩固】 甲水池有水甲水池有水 26002600 立方米，乙水池有水立方米，乙水池有水 12001200 立方米，如果甲水池里的水以每立方米，如果甲水池里的水以每 分种分种 2323 立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水立方米
