1、问题提出问题提出t57301p21.1.在平面中，什么叫向量？在平面中，什么叫向量？即有大小又有方向的量叫做向量即有大小又有方向的量叫做向量.2.2.两个平面向量相加、相减的运算法则两个平面向量相加、相减的运算法则分别是什么？分别是什么？平行四边形法则，平行四边形法则，三角形法则三角形法则.3.3.如图，一块质量为如图，一块质量为500kg500kg的均匀正三角形钢的均匀正三角形钢板，在它的顶点处分别受力板，在它的顶点处分别受力F F1 1、F F2 2、F F3 3，每个，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是是6060，且，且|F|F1 1|F|
2、F2 2|F|F3 3|.|.若分析这三个若分析这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板，以及力至少为多大时，才能提起这块钢板，以及这块钢板在这些力的作用下如何运动，需要这块钢板在这些力的作用下如何运动，需要有空间向量的知识才能解决有空间向量的知识才能解决.F F2 2F F1 1F F3 3探究（一）：探究（一）：空间向量的有关概念空间向量的有关概念 思考思考1 1：平面内既有大小又有方向的量与平面内既有大小又有方向的量与空间中既有大小又有方向的量有本质差空间中既有大小又有方向的量有本质差别吗？如何定义空间向量？别吗？如何定义空间向量？空间中，具有大小和方向的量叫做空空间中，具有大小和方向的量
3、叫做空 间向量间向量.思考思考2 2：向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的长度长度或或模模，在空间中，若向量在空间中，若向量a a的起点为的起点为A A，终点为，终点为B B，则向量则向量a a可以怎样表示？其模怎样表示？可以怎样表示？其模怎样表示？向量的表示：向量的表示：A Buuu r模的表示：模的表示：|a|a|或或|ABu u u rB BA Aa a思考思考3 3：在空间向量中，怎样定义在空间向量中，怎样定义零向量零向量，单位向量单位向量，相反向量相反向量和和相等向量相等向量？零向量：零向量：模为模为0 0的向量；的向量；单位向量：单位向量：模为模为1 1的向量；的向量；相反向量
4、：相反向量：模相等且方向相反的向量；模相等且方向相反的向量；相等向量：相等向量：模相等且方向相同的向量模相等且方向相同的向量.思考思考4 4：在平面向量中，若两个向量可以在平面向量中，若两个向量可以平移到同一条直线上，则称这两个向量平移到同一条直线上，则称这两个向量为为共线向量共线向量.在空间向量中，若两个向量在空间向量中，若两个向量可以平移到同一个平面内，则称这两个可以平移到同一个平面内，则称这两个向量为向量为共面向量共面向量.那么空间任意两个向量那么空间任意两个向量共面吗？任意三个向量共面吗？共面吗？任意三个向量共面吗？探究（二）：探究（二）：空间向量的加减运算空间向量的加减运算 思考思考
5、1 1：对于两个平面向量，可以利用平对于两个平面向量，可以利用平行四边形法则或三角形法则求作其和向行四边形法则或三角形法则求作其和向量与差向量，如果空间向量量与差向量，如果空间向量a a与与b b所在直所在直线异面，如何求作它们的和向量与差向线异面，如何求作它们的和向量与差向量？量？a ab ba ab ba ab ba ab b思考思考2 2：如果空间三个向量如果空间三个向量a a，b b，c c不共不共面，如何求作它们的和向量？面，如何求作它们的和向量？a ab bc ca+b+ca+b+c思考思考3 3：如图，在平行六面体如图，在平行六面体(底面是平底面是平行四边形的四棱柱行四边形的四棱
6、柱)ABCD)ABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，向量向量 表示哪个向量？表示哪个向量？1A BA DA A+uuu ruuu ruuurB BA AC CD DB B1 1A A1 1C C1 1D D1 111A BA DA AA C+=uuu ruuu ruuuruuuu r思考思考4 4：对于空间向量对于空间向量a a，b b，向量，向量a ab b与与b ba a相等吗？相等吗？a ab ba+ba+bb+ab+a交换律：交换律：a ab bb ba a 思考思考5 5：如图，设如图，设 ，则则(a(ab)b)c c与与a a(b(bc)c)分别等于哪个分
7、别等于哪个向量？由此得到什么结论？向量？由此得到什么结论？OAa=u u u rABb=u u u rBCc=uuu rO OA AB BC Ca ab bc c 结合律结合律:(a(ab)b)c ca a(b(bc)c)思考思考6 6：若若a ab b0 0或或a ab b0 0，则向量，则向量a a与与b b的关系分别是什么？的关系分别是什么？相反向量相反向量相等向量相等向量理论迁移理论迁移 例例 在平行六面体在平行六面体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，化简下列各式：化简下列各式：B BA AC CD DB B1 1A A1 1C C1 1D D1
8、1111(1);D CD DB C+uuu ruuuu ruuuu r11(2);A CA BA D+uuu ruuuu ruuuu r11(3);A CA CA DA A-+-uuuu ruuu ruuu ruuur1111(4).A BB BD AD DB C+-+-uuu ruuuu ruuuruuuu ruuu r1.1.空间向量是平面向量的拓展，其相关空间向量是平面向量的拓展，其相关概念、表示方法、和差运算法则和运算概念、表示方法、和差运算法则和运算律等，与平面向量具有一致性律等，与平面向量具有一致性.小结作业小结作业2.2.空间向量与平面向量的区别在于表示空间向量与平面向量的区别在
9、于表示空间向量的有向线段不一定共面，而表空间向量的有向线段不一定共面，而表示平面向量的有向线段一定共面示平面向量的有向线段一定共面.3.3.任意两个空间向量可以通过平移使其任意两个空间向量可以通过平移使其共面，因此，两个空间向量的和差运算共面，因此，两个空间向量的和差运算实质是平面向量的和差运算，多个空间实质是平面向量的和差运算，多个空间向量的和差运算可以转化为若干个平面向量的和差运算可以转化为若干个平面向量的和差运算来解决向量的和差运算来解决.作业：作业：P86P86练习：练习：1 1，2 2，3.3.3.1 3.1 空间向量及其运算空间向量及其运算3.1.2 3.1.2 空间向量的数乘运算
10、空间向量的数乘运算 第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何问题提出问题提出t57301p21.1.空间向量与平面向量的概念是一样的，空间向量与平面向量的概念是一样的，都是指具有大小和方向的量，对于两个都是指具有大小和方向的量，对于两个向量向量a a、b b，如何体现它们是空间向量还，如何体现它们是空间向量还是平面向量？是平面向量？表示向量的有向线段所在直线表示向量的有向线段所在直线异面与共面异面与共面.2.2.如何求作两个空间向量的和向量与差如何求作两个空间向量的和向量与差向量？向量？先平移到同一个平面内，再利用平行四先平移到同一个平面内，再利用平行四边形法则或三角形法则求作其和向
11、量与边形法则或三角形法则求作其和向量与差向量差向量.3.3.在空间中，求作三个不共面向量的和在空间中，求作三个不共面向量的和向量有何运算法则？向量有何运算法则？折线法则，平行六面体法则折线法则，平行六面体法则4.4.空间向量的基本概念和加减运算，都空间向量的基本概念和加减运算，都是平面向量的推广是平面向量的推广.在平面向量中有向量在平面向量中有向量的数乘运算，推广到空间，就能建立空的数乘运算，推广到空间，就能建立空间向量的数乘运算理论体系间向量的数乘运算理论体系.探究（一）：探究（一）：数乘运算的含义数乘运算的含义 思考思考1 1：在平面向量中，实数在平面向量中，实数与向量与向量a a的乘积的
12、乘积a a 还是一个向量，称为向量的还是一个向量，称为向量的数乘运算数乘运算，其中向量，其中向量a a与与a a的大小和方的大小和方向有什么关系？向有什么关系？概念：概念：实数实数与向量与向量a a的乘积的乘积a.a.大小：大小：|a|a|a|;|a|;方向：方向：0 0时同向，时同向，0 0时反向，时反向，0 0时时a a0.0.思考思考2 2：平面向量的数乘运算在空间向量平面向量的数乘运算在空间向量中成立吗？对于实数中成立吗？对于实数，则，则(a)(a)，()a)a，(a(ab)b)分别等于什么？分别等于什么？(a)(a)()a()a；()a)a aaaa；(a(ab)b)aab.b.探究
13、（二）：探究（二）：共线向量的概念与定理共线向量的概念与定理 思考思考1 1：如果表示空间向量的有向线段所如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做叫做共线向量共线向量或或平行向量平行向量，如果空间向，如果空间向量量a a，b b，c c是一组平行向量，那么表示这是一组平行向量，那么表示这三个向量的有向线段所在的直线的位置三个向量的有向线段所在的直线的位置关系有哪几种可能？关系有哪几种可能？思考思考2 2：对空间任意两个向量对空间任意两个向量a a，b b，若，若 a abb，则，则a a与与b b的有什么位置关系？反的有什么位置关系？
14、反之成立吗？之成立吗？若若a abb，则，则a a与与b b共线；反之，当共线；反之，当b b0 0时不成立时不成立.思考思考3 3：对空间两个向量对空间两个向量a a，b(b0)b(b0)，a/ba/b的充要条件是什么？的充要条件是什么？存在实数存在实数，使，使a ab.b.思考思考4 4：如图，已知点如图，已知点A A和非零向量和非零向量a a，若，若直线直线l经过点经过点A A且平行于向量且平行于向量a a所在直线，所在直线，则向量则向量a a叫做直线叫做直线l的的方向向量方向向量，那么点，那么点P P在直线在直线l上的充要条件是什么？上的充要条件是什么？a alAP P存在实数存在实数
15、t t，使，使 tataA Puuu r思考思考5 5：对空间任意一点对空间任意一点O O，向量，向量 与与 、的关系如何？上述结论可作的关系如何？上述结论可作怎样的变式？怎样的变式？A Puuu rO Puuu rO Auuu rO PO Ata=+uuu ruuu r思考思考6 6：在直线在直线l上取上取 a a，则向量式，则向量式 可作哪些变形？你能从中可作哪些变形？你能从中发现什么结论吗？发现什么结论吗？A Buuu rO PO Ata=+uuu ruuu r若若 ，则点，则点P P、A A、B B共线的共线的充要条件是充要条件是x xy y1 1；O PxO AyO B=+uuu r
16、uuu ruuu r点点P P为为ABAB的中点的充要条件是的中点的充要条件是 1()2O PO AO B=+uuu ruuu ruuu r探究（三）：探究（三）：共面向量的概念与定理共面向量的概念与定理 O OA AO OA AOAa=u u u r思考思考1 1：已知平面已知平面和向量和向量a a，作，作 ，如果直线如果直线OAOA平行于平行于或在或在内，则称向内，则称向量量a a平行于平面平行于平面，记作，记作a/a/.一组空间一组空间向量可以都与平面向量可以都与平面平行吗？平行吗？a a思考思考2 2：平行于同一平面的向量，叫做平行于同一平面的向量，叫做 共面向量共面向量，空间任意两个
17、向量一定共面，空间任意两个向量一定共面吗？任意三个向量一定共面吗？吗？任意三个向量一定共面吗？思考思考3 3：如果两个向量如果两个向量a a，b b不共线，若向不共线，若向量量p p与与a a，b b共面，由平面向量基本定理知，共面，由平面向量基本定理知，存在实数对存在实数对(x(x，y)y)，使，使p pxaxayb.yb.反之反之成立吗？由此可得什么结论？成立吗？由此可得什么结论？若向量若向量a a，b b不共线，则向量不共线，则向量p p与与a a，b b共面共面的充要条件是：存在惟一的有序实数对的充要条件是：存在惟一的有序实数对(x(x，y)y)，使，使p pxaxayb.yb.思考思
18、考4 4：空间一点空间一点P P位于平面位于平面ABCABC内的充要内的充要条件是什么？条件是什么？A AP PB BC C 存在有序实数对存在有序实数对(x(x，y)y)，使，使 A PxA ByA C=+uuu ruuu ruuu r思考思考5 5：对空间任一点对空间任一点O O，上述向量式可，上述向量式可变形为，变形为，进一步变形可得什么结论？进一步变形可得什么结论？()()O PO Ax O BO Ay O CO A-=-+-uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r对空间任一点对空间任一点O O和不共线三点和不共线三点A A、B B、C C，若若 ，则点，则点P P
19、在平在平面面ABCABC内的充要条件是内的充要条件是 x xy yz z1.1.O PxO AyO BzO C=+uuu ruuu ruuu ruuu r 例例1 1 在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中，中，E E、F F分别分别是是ABAB、CDCD的中点，求证：向量的中点，求证：向量 与与 、共面共面.理论迁移理论迁移EFuuu rB Cuuu rA Duuu rA AB BC CD DE EF F 例例2 2 已知平行四边形已知平行四边形ABCDABCD，从平面，从平面ACAC外一点外一点O O引向量引向量 ，求证：，求证：（1 1）E E、F F、G G、H H 四点共面；四点
20、共面；（2 2）平面）平面AC/AC/平面平面EGEGOEkOA OFkOB OGkOC OHkOD O OA AB BC CD DE EF FG GH H小结作业小结作业1.1.向量平行、共面与直线平行、共面是向量平行、共面与直线平行、共面是不同的概念，共线向量通过平移可以移不同的概念，共线向量通过平移可以移到同一条直线上，共面向量通过平移可到同一条直线上，共面向量通过平移可以移到同一个平面上以移到同一个平面上.2.2.空间向量共线定理与平面向量共线定空间向量共线定理与平面向量共线定理是一致的，空间向量共面定理是平面理是一致的，空间向量共面定理是平面向量基本定理的拓展，是判断空间向量向量基本
21、定理的拓展，是判断空间向量是否共面的理论依据是否共面的理论依据.3.3.利用空间向量共线定理和共面定理，利用空间向量共线定理和共面定理，可以解决立体几何中的共点、共线、共可以解决立体几何中的共点、共线、共面和平行等问题，这是一种向量方法面和平行等问题，这是一种向量方法.作业：作业：P89P89练习：练习：1 1，2 2，3.3.3.1 3.1 空间向量及其运算空间向量及其运算3.1.3 3.1.3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何问题提出问题提出t57301p21.1.空间向量空间向量a a，b(b0)b(b0)共线的充要条件共线的充
22、要条件是什么？是什么？存在实数存在实数，使，使a ab.b.2.2.如果向量如果向量a a，b b不共线，向量不共线，向量p p与与a a，b b共共面的充要条件是什么？面的充要条件是什么？存在惟一的有序实数对存在惟一的有序实数对(x(x，y)y)，使使p pxaxayb.yb.3.3.若若 ，则点，则点P P、A A、B B共线共线的充要条件是什么？的充要条件是什么？O PxO AyO B=+uuu ruuu ruuu r若若 ，则点，则点P P在平面在平面ABCABC内的充要条件是什么？内的充要条件是什么？O PxO AyO BzO C=+uuu ruuu ruuu ruuu rx xy
23、yz z1 1 x xy y1 1 4.4.空间任意两个向量总是共面的，任何空间任意两个向量总是共面的，任何两个平面向量都有数量积，因此，空间两个平面向量都有数量积，因此，空间任意两个向量也有数量积运算任意两个向量也有数量积运算.探究（一）：探究（一）：数量积的概念数量积的概念 思考思考1 1：类比平面向量，对于空间两个非类比平面向量，对于空间两个非零向量零向量a a，b b，如何确定其夹角？，如何确定其夹角？在空间任取一点在空间任取一点O O，作，作 a a，b b，则则AOBAOB叫做向量叫做向量a a与与b b的夹角，的夹角，记作记作a a，b b，规定，规定00a a，b b.O Au
24、uu rO Buuu rO OA AB Ba ab b思考思考2 2：对于空间两个非零向量对于空间两个非零向量a a，b b，a a，b b与与b b，a a，a a，b b与与 a a，b b的大小关系如何？的大小关系如何？a a，b bb b，a aa a，b ba a，b b思考思考3 3：若若a a，b b9090，则向量，则向量a a与与b b的位置关系如何？的位置关系如何？ab ab 思考思考4 4：对于空间两个非零向量对于空间两个非零向量a a，b b，|a|b|cos|a|b|cosa a，b b叫做叫做a a，b b的的数量积数量积，记作记作a ab b，即，即a ab b|
25、a|b|cos|a|b|cosa a，b b，那么那么a ab b有什么几何意义？有什么几何意义？数量积数量积a ab b等于等于a a的模与的模与b b在在a a方向上的投方向上的投影影b bcoscos的乘积，或等于的乘积，或等于b b的模与的模与a a在在b b方向上的投影方向上的投影a acoscos的乘积，的乘积，a ab ba ab b探究（二）：探究（二）：数量积的运算性质数量积的运算性质 思考思考1 1：a aa a等于什么？该等式有何应用等于什么？该等式有何应用价值？价值？a aa a|a|a|2 2，求向量的模求向量的模.思考思考2 2：对任意向量对任意向量a a，b b，
26、在什么条件，在什么条件下下a ab b0 0？a a0 0或或b b0 0或或ab.ab.思考思考3 3：a ab b与与b ba a有什么关系？如何解有什么关系？如何解释？释？a ab bb ba a思考思考4 4：设设为实数，为实数，(a)(a)b b与与(a(ab)b)，a a(b)(b)有什么关系？如何证明？有什么关系？如何证明？(a)(a)b b(a(ab)b)a a(b)(b)思考思考5 5：a a(b(bc)c)与与a ab ba ac c相等吗？如相等吗？如何证明？何证明？a a(b(bc)c)a ab ba ac c思考思考6 6：(a(ab)b)c c与与a a(b(bc)
27、c)相等吗？为什相等吗？为什么？么？(a(ab)b)c ca a(b(bc)c)思考思考7 7：若若a ab ba ac c，能得出，能得出b bc c吗？吗？不能不能理论迁移理论迁移 例例1 1 用向量方法证明三垂线定理：用向量方法证明三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直斜线垂直.P PO OA Al 例例2 2 用向量方法证明直线和平面垂用向量方法证明直线和平面垂直的判定定理：直的判定定理：已知已知m，n是平面是平面内的两条相交直线，内的两条相交直线，直线直线lm，ln，
28、求证：，求证：l lmng小结作业小结作业1.1.由于空间任意两个向量都可以转化为由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间向量的数量积运算共面向量，所以空间向量的数量积运算与平面向量的数量积运算的理论体系完与平面向量的数量积运算的理论体系完全一样全一样.2.2.对于空间线线垂直，线面垂直问题可对于空间线线垂直，线面垂直问题可以转化为向量的数量积为零来处理，同以转化为向量的数量积为零来处理，同时，利用向量的数量积还可以计算夹角时，利用向量的数量积还可以计算夹角和距离和距离.作业：作业：P92P92练习：练习：1 1，2 2，3.3.空间向量及其运算空间向量及其运算习题课习题课D D 例
29、例1 1 在三棱锥在三棱锥O OABCABC中，点中，点M M是是ABCABC的重心，求证：的重心，求证：.1()3O MO AO BO C=+uuu ruuuruuu ruuu rO OA AB BC CM M 例例2 2 在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中，已知中，已知ABCDABCD，ACBDACBD，求证：，求证：ADBCADBC D DA AB BC C 例例3 3 如图，正方形如图，正方形ABCDABCD和正方形和正方形ABEFABEF相交于相交于ABAB，点，点M M、N N分别在分别在AEAE、BDBD上，且上，且AMAMDNDN，求证：，求证：MN/MN/平面平面BC
30、F.BCF.D DA AB BC CM ME EN NF F 例例4 4 在正四面体在正四面体OABCOABC中，中，E E、F F分别是分别是ABAB、OCOC的中点，求异面直线的中点，求异面直线OEOE与与BFBF所成所成的角的余弦值的角的余弦值.O OA AB BC CF FE E2cos3q=例例5 5 如图，在空间四边形如图，在空间四边形OABCOABC中，中，OAOA8 8，ABAB6 6，ACAC4 4，BCBC5 5，OACOAC4545，OABOAB6060，求，求OAOA与与BCBC的夹角的的夹角的余弦值余弦值.O OA AB BC C24 16 232 2cos,8 55
31、|OA BCOA BCOABC 作业：作业：P98P98习题习题3.1A3.1A组：组：3 3，4 4，5.5.3.1 3.1 空间向量及其运算空间向量及其运算3.1.4 3.1.4 空间向量的正交分解空间向量的正交分解 及其坐标表示及其坐标表示 第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何问题提出问题提出1.1.平面向量基本定理是什么？平面向量基本定理是什么？如果如果e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向线向量，那么对于这一平面内的任意向量量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1 1，2 2，使，使 a1 1e1 12 2e2
32、 2.2.2.平面向量的坐标表示的基本原理是什平面向量的坐标表示的基本原理是什么？么？在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个单位向量轴方向相同的两个单位向量i、j作为基作为基底，若底，若ax xiy yj，则把有序数对（，则把有序数对（x x，y y）叫做向量叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a(x(x，y).y).若将向量若将向量a的起点移到坐标原点，则其的起点移到坐标原点，则其终点坐标就是向量终点坐标就是向量a的坐标的坐标.3.3.根据平面向量基本定理，平面内的任根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量意一个向量p都可以用两个不共线的
33、向量都可以用两个不共线的向量a，b来表示，我们设想将这个原理类推来表示，我们设想将这个原理类推到空间，并建立空间向量基本定理及其到空间，并建立空间向量基本定理及其坐标表示坐标表示.探究（一）：探究（一）：空间向量基本定理空间向量基本定理 思考思考1 1：设设a，b是空间不共线的两个向量，是空间不共线的两个向量，对于空间任意一个向量对于空间任意一个向量p，能用向量，能用向量a，b线性表示吗？线性表示吗？O OabPNO!NO!思考思考2:2:设设a，b，c是空间不共面的三个向是空间不共面的三个向量，作量，作 a，b，c，p，过点，过点P P作作PM/COPM/CO，交平面，交平面AOBAOB于点
34、于点M M，那么向量，那么向量 能用向量能用向量 ，线性表示吗？线性表示吗？OA=uu u rOB=uu u rOC=uuu rOP=uu u rO OA AB BC CP PM MOMuuu rOAuu u rOBuu u rxayb OMuuu r思考思考3 3：向量向量 与向量与向量 的位置关系的位置关系如何？向量如何？向量 用向量用向量 如何表示？如何表示？M Puuu rO Cuuu rM Puuu rO Cuuu rO OA AB BC CP PM MM PzO C=uuu ruuu r思考思考4 4：向量向量 与与 ，有什么关系？有什么关系？向量向量 与与 ，有什么关系？有什么关
35、系？OPuu u rOMuuu rM Puuu rO OA AB BC CP PM MOPuu u rOAuu u rOBuu u rO Cuuu rO PO MM P=+uuu ruuuruuu rO PxO AyO BzO C=+uu u ruuu ruuu ruuu r思考思考5 5：上述分析表明什么结论？如何用上述分析表明什么结论？如何用适当的语言阐述？适当的语言阐述？若三个向量若三个向量a，b，c不共面，则对空不共面，则对空间任一向量间任一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组 x，y，z，使得，使得pxaybzc.思考思考6 6：上述结论就是上述结论就是空间向量基本定理空间向量基本
36、定理，其中其中 a，b，c 叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底，a，b，c都叫做都叫做基向量基向量.那么空间任意三个向那么空间任意三个向量都能构成一个基底吗？零向量能否作量都能构成一个基底吗？零向量能否作基向量？一个基底中的三个基向量是否基向量？一个基底中的三个基向量是否要起点相同？要起点相同？思考思考7 7：以以 a，b，c 为基底，空间所有为基底，空间所有向量组成的集合如何表示？向量组成的集合如何表示？p|pxaybzc，x，y，zR.R.思考思考8 8：对于基底对于基底 a，b，c，设，设 pxaybzc，当，当x，y，z至少一个为至少一个为0 0时，向量时，向量p的位置分别如何？的位
37、置分别如何？探究（二）：探究（二）：空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示思考思考1 1：若空间向量的一个基底中的三个若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为基向量互相垂直，则称这个基底为正交正交基底基底，若三个基向量是互相垂直的单位，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为向量，则称这个基底为单位正交基底单位正交基底，在哪些空间几何图形中能找到正交基底在哪些空间几何图形中能找到正交基底和单位正交基底？和单位正交基底？思考思考2 2：设设e1 1，e2 2，e3 3为有公共起点为有公共起点O O的单的单位正交基底，分别以位正交基底，分别以e1 1，e2 2，e3 3的方
38、向为的方向为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴的正方向建立空间直角坐轴的正方向建立空间直角坐标系标系Oxyz.Oxyz.对于空间任意一个向量对于空间任意一个向量p，用，用基底基底 e1 1，e2 2，e3 3 可以怎样表示？可以怎样表示？x xy yz zO Oe2 2e1 1e3 3ppxe1 1ye2 2ze3 3 思考思考3 3：若若pxe1 1ye2 2ze3 3，则把，则把x，y，z称为向量称为向量p在单位正交基底在单位正交基底e1 1，e2 2，e3 3下下的坐标，记作的坐标，记作p(x，y，z).).对一个给定对一个给定的向量的向量p，其坐标惟一吗？相等向量的坐，其坐标惟一吗？
39、相等向量的坐标相等吗？标相等吗？x xy yz zO Oe2 2e1 1e3 3p思考思考4 4：若向量若向量p(x，y，z)，作，作 p p，则点，则点P P的坐标是什么？的坐标是什么？OP=uu u r(x x，y y，z z)x xy yz zO Oe2 2e1 1e3 3pp理论迁移理论迁移 例例1 1 如图，点如图，点M M、N N分别是四面体分别是四面体OABCOABC的边的边OAOA，BCBC的中点，的中点，P P，Q Q是是MNMN的三等分的三等分点，用向量点，用向量 ，表示表示 和和 .OAuu u rOBuu u rOCuuu rOPuu u rOQuuu rP PO OA
40、 AB BC CM MN NQ Q111633O PO AO BO C=+uuu ruuu ruuu ruuu r111366O QO AO BO C=+uuu ruuu ruuu ruuu r 例例2 2 在平行六面体在平行六面体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M、N N分别是分别是CDCD1 1，C C1 1D D1 1的中点，用基底的中点，用基底 分别表示向量分别表示向量 和和 .1,A B A D A Auuu r uuu r uuurAMuuu u rANuuu rB BA AC CD DB B1 1A A1 1C C1 1D D1 1M
41、MN N11122A MA BA DA A=+uuuu ruuu ruuu ruuur112A NA BA DA A=+uuu ruuu ruuu ruuur小结作业小结作业1.1.空间向量基本定理表明，空间任意一空间向量基本定理表明，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量线性个向量都可以用三个不共面的向量线性表示，并且基向量的系数是惟一的，它表示，并且基向量的系数是惟一的，它是平面向量基本定理的推广，也是空间是平面向量基本定理的推广，也是空间向量的合成与分解原理向量的合成与分解原理.2.2.把空间向量放到空间直角坐标系中进把空间向量放到空间直角坐标系中进行研究，向量可以用坐标表示，从而使行
42、研究，向量可以用坐标表示，从而使空间向量的几何运算转化为坐标运算，空间向量的几何运算转化为坐标运算，其运算原理下节课再学习其运算原理下节课再学习.作业：作业：P94P94练习：练习：1 1，2 2，3.3.3.1 3.1 空间向量及其运算空间向量及其运算3.1.5 3.1.5 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何问题提出问题提出1.1.空间向量基本定理是什么？空间向量基本定理是什么？若三个向量若三个向量a，b，c不共面，则对空不共面，则对空间任一向量间任一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组 x，y，z，使得，使得pxaybzc.2
43、.2.在空间直角坐标系中，确定向量在空间直角坐标系中，确定向量p的坐的坐标的基本原理是什么？标的基本原理是什么？若若px xe1 1y ye2 2z ze3 3，则，则p(x(x，y y，z).z).3.3.空间向量可以用坐标表示，从而空间空间向量可以用坐标表示，从而空间向量的运算和向量的关系也可以用坐标向量的运算和向量的关系也可以用坐标表示，其相关结论，我们将逐一探究表示，其相关结论，我们将逐一探究.探究（一）：探究（一）：向量运算的坐标表示向量运算的坐标表示 思考思考1：向量向量ab用基底用基底 i，j，k如何如何表示？表示？ab的坐标是什么？的坐标是什么？设设 i，j，k 为单位正交基底
44、，向量为单位正交基底，向量 a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1)，b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2).).ab(x(x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2，z z1 1z z2 2)思考思考2 2：根据上述原理，向量根据上述原理，向量ab的坐标的坐标是什么？是什么？ab(x(x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2，z z1 1z z2 2)思考思考3 3：设设为实数，向量为实数，向量a用基底用基底 i，j，k如何表示？如何表示？a的坐标是什么？的坐标是什么？a(x(x1 1，yy1 1，zz1 1)思考思考4 4：利用利用ax x1 1iy y1 1jz
45、z1 1k，bx x2 2iy y2 2jz z2 2k，ab等于什么？等于什么？abx x1 1x x2 2y y1 1y y2 2z z1 1z z2 2 探究（二）：探究（二）：向量关系的坐标表示向量关系的坐标表示 设向量设向量 a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1)，b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2).).思考思考1 1：若若a/b，则向量，则向量a，b的坐标满足的坐标满足什么关系？什么关系？x x1 1xx2 2，y y1 1yy2 2，z z1 1zz2 2(R).(R).思考思考2 2：若若ab，则向量，则向量a，b的坐标满足的坐标满足什么关系？什么关系？x
46、x1 1x x2 2y y1 1y y2 2z z1 1z z2 2 0 0思考思考3 3：利用向量利用向量a的坐标如何求的坐标如何求|a|？|a|222111xyz+思考思考4 4：利用向量利用向量a，b的坐标如何求它们的坐标如何求它们的夹角？的夹角？12121 2222222111222x xy yz zxyzxyz+coscosa，b 思考思考5 5：若点若点A(xA(x1 1，y y1 1，z z1 1)，点，点B(xB(x2 2，y y2 2，z z2 2)，则向量，则向量 的坐标是什么？的坐标是什么？A A、B B两两点间的距离如何计算？点间的距离如何计算？A Buuu r(x(x
47、2 2x x1 1，y y2 2y y1 1，z z2 2z z1 1)，A Buuu r思考思考6 6：已知点已知点A(xA(x1 1，y y1 1，z z1 1)，点，点B(xB(x2 2，y y2 2，z z2 2)，若，若 ，则点，则点P P的坐标是的坐标是什么？什么？A PPBl=uuu ruuu r121212(,)111xxyyzzPllllll+222212121()()()A Bdxxyyzz=-+-+-例例1 1 如图，在正方体如图，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E、F F分别是分别是A A1 1B B1 1，C C
48、1 1D D1 1的一个四等的一个四等分点，求异面直线分点，求异面直线BEBE与与DFDF所成角的余弦所成角的余弦值值.理论迁移理论迁移x xy yz zE EA AB BC CA A1 1F FB B1 1C C1 1D D1 1D D15cos,17BE D F=uuu r uuu r 例例2 2 如图，在正方体如图，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E、F F分别是分别是BBBB1 1，B B1 1D D1 1的中点，的中点，求证：求证：EFAEFA1 1D.D.x xy yz zE EA AB BC CA A1 1F FB B1 1
49、C C1 1D D1 1D D 1.1.空间向量的坐标运算是在空间向量空间向量的坐标运算是在空间向量基本定理和空间向量的坐标表示的基础基本定理和空间向量的坐标表示的基础上建立起来的理论，它与平面向量的坐上建立起来的理论，它与平面向量的坐标运算的算法原理是一致的，其不同点标运算的算法原理是一致的，其不同点体现在空间向量是三维坐标运算，平面体现在空间向量是三维坐标运算，平面向量是二维坐标运算向量是二维坐标运算.小结作业小结作业 2.2.求空间向量的坐标有几何法、差向求空间向量的坐标有几何法、差向量法、待定系数法等，若向量的起点在量法、待定系数法等，若向量的起点在原点，一般用几何法；若向量的起点和原点，一般用几何法；若向量的起点和终点是一些特殊点，一般用差向量法，终点是一些特殊点，一般用差向量法，即终点坐标减起点坐标；若向量的具体即终点坐标减起点坐标；若向量的具体位置不确定，一般用待定系数法位置不确定，一般用待定系数法.3.3.对立体几何中的某些证明或计算问对立体几何中的某些证明或计算问题，如果图形中有三条互相垂直的直线，题，如果图形中有三条互相垂直的直线，可以建立空间直角坐标系，利用向量的可以建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解坐标运算求解.作业：作业：P97P97练习：练习：1 1，2 2，3.3.谢谢！
