1、24.4 解直角三角形解直角三角形 ABC中中,C为直角为直角,A,B, C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,且且 b=3,A=30,求求B, a, c. A B C a b c 3 30 6 个 元 素 个 元 素 三边三边 两个锐角两个锐角 一个直角一个直角 (已知已知) 5 个个 定义定义：由直角三角形中已知的边由直角三角形中已知的边 和角，计算出未知的边和角的过和角，计算出未知的边和角的过 程，叫程，叫 . . 解直角三角形解直角三角形 A B C a b c 如图：如图：Rt ABC中中, , C=90 , 则则其余的其余的5个元素之间有什么个元素之间有什么 关系？关系？ b
2、C A B c a 在在ABC中中,C90, , 求求A、B、c边边. A B C a b c 2 2a 32b 32 1.填空：在直角三角形填空：在直角三角形ABC中，中， C90，a、b、c分别为分别为A、 B、C的对边的对边. (1)c10,B45,则则 a= ，b= S = (2)a=10, B45, S = , 则则b= ,A 2.ABC中中，C=90，a、b、c 分别为分别为A、B、C的对边的对边， (1)a=4,sinA= , 求求b, c, tanB； (2)a+c=12，b=8，求求a,c,cosB A B C a b c A B C a b c 4 8 5 2 在在RtAB
3、C中中,若若C =900， 问题问题1. 在在RtABC中中, ,两锐角两锐角A, B的有什么的有什么 关系关系? 答：答： A+ B= 900. 问题问题2.在在RtABC中中,三边三边a、b、c的关系如何的关系如何？ 答：答：a2+b2 =c2. 问题问题3：在：在RtABC中中， A与边的关系是与边的关系是 什么什么？ 斜边 的对边A A sin 斜边 的邻边A A cos 的邻边 的对边 A A A tan 的对边 的邻边 A A A cot 答：答： 在解直角三角形的过程中在解直角三角形的过程中， 常会遇到近似计算常会遇到近似计算，除特别说除特别说 明外明外，边长保留四个有效数字边长
4、保留四个有效数字， 角度精确到角度精确到1 1. . 解直角三角形解直角三角形, ,只有下面两种只有下面两种 情况：情况： (1) 已知两条边；已知两条边； (2) 已知一条边和一个锐角已知一条边和一个锐角 1.在在RtABC中中，C90， 由下列条件解直角三角形：由下列条件解直角三角形： (1)已知已知a6 ,b=6 , 则则 B= ， A= ，c = ； (2)已知已知c30,A60则则 B= ，a = ，b = ； 15 5 1.1.仰角与俯角的定义仰角与俯角的定义 在视线与水平线所成的角中规定在视线与水平线所成的角中规定: : 视线在水平线上方的叫做视线在水平线上方的叫做仰角仰角， 视
5、线在水平线下方的叫做视线在水平线下方的叫做俯角俯角。 铅 垂 线 铅 垂 线 视线视线 视线视线 水平线水平线 仰角仰角 俯角俯角 1.如图如图, ,升国旗时某同学站在离旗杆升国旗时某同学站在离旗杆 24m处行注目礼处行注目礼, ,当国旗升到旗杆顶当国旗升到旗杆顶 端时端时, ,这位同学的视线的仰角为这位同学的视线的仰角为30o , , 若双眼离地面若双眼离地面1.5m, ,则旗杆高度为则旗杆高度为 多少米？多少米？ 30o A B C D E 2. .在操场上一点在操场上一点A测得旗杆顶端的测得旗杆顶端的 仰角为仰角为30再向旗杆方向前进再向旗杆方向前进 20m, ,又测得旗杆的顶端的仰角为
6、又测得旗杆的顶端的仰角为 45,求旗杆的高度求旗杆的高度. .(精确到精确到1m) A 20 B 30 D C 45 图 25.3.5 坡度是指斜坡上任意一点的高度与水坡度是指斜坡上任意一点的高度与水 平距离的比值。平距离的比值。 坡角是斜坡与水平线的夹角坡角是斜坡与水平线的夹角 坡角与坡度之间的坡角与坡度之间的 关系是：关系是： i =tan a l h l h i (1). .一物体沿坡度为一物体沿坡度为1:8的山坡向上的山坡向上 移动移动 米，则物体升高了米，则物体升高了 _米米 (2).河堤的横断面如图所示，堤高河堤的横断面如图所示，堤高BC 是是5m，迎水坡，迎水坡AB的长是的长是1
7、3m，那，那 么斜坡么斜坡AB的坡度是（的坡度是（ ） A 1：3 B 1：2.6 C 1：2.4 D 1：2 65 1 C (3)如果坡角的余弦值为如果坡角的余弦值为 ， 那么坡度为（那么坡度为（ ） A 1: B 3: C 1:3 D 3:1 B C A 10 10 10 103 C 一段河坝的横断面为等腰梯形一段河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，试根据下图中的数据求出，试根据下图中的数据求出 坡角坡角a和坝底宽和坝底宽AD. .(单位是单位是m，结，结 果保留根号果保留根号) A B C D E F 4 6 3: 1i 如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD已已 知
8、上底长知上底长CB=5m，迎水面坡度为，迎水面坡度为1： 背水面坡度为背水面坡度为1：1，坝高为，坝高为4m. .求求(1) 坡底宽坡底宽AD的长的长.(2)迎水坡迎水坡CD的长的长. .(3) 坡角坡角、 3 C D B A 如图如图, ,一段路基的横断面是梯形，一段路基的横断面是梯形， 高为高为4.2m，上底的宽是，上底的宽是12.51m， 路基的坡面与地面的倾角分别是路基的坡面与地面的倾角分别是 30和和45求路基下底的求路基下底的 宽宽. .(精确到精确到0.1m) 45 30 A B C D E F (1)、一斜坡的坡角为、一斜坡的坡角为30度，则它度，则它 的坡度为的坡度为 ； (
9、2)、坡度通常写成、坡度通常写成1： 的的 形式。如果一个坡度为形式。如果一个坡度为1 :1, ,则则 这个坡角为这个坡角为 ， :1 1： 3 m 450 (3)、等腰梯形的较小底长为、等腰梯形的较小底长为3，腰，腰 长为长为5，高为，高为4，则另一个底长，则另一个底长 为为 ，坡度为，坡度为 ， (4)、梯形的两底长分别为、梯形的两底长分别为5和和8， 一腰长为一腰长为4，则另一腰长，则另一腰长X的取值的取值 范围是范围是 。 9 4:3 1x7 (5)锐角锐角ABC中，中， 则则C= = 。 03tanB1A 2 2cos A B C 如图如图, ,在在ABC中中, ,已知已知AC=6，
10、 C=75,B=45, ,求求S ABCABC。 。 D 求证求证: ABCD的面积的面积 S=AB BC sinB(B为锐角为锐角)。 A B C D E 我军某部在一次野外训练中我军某部在一次野外训练中, ,有一有一 辆坦克准备通过一座小山辆坦克准备通过一座小山, ,且山脚且山脚 和山顶的水平距离为和山顶的水平距离为1000m，山高，山高 为为565m, ,如果这辆坦克能够爬如果这辆坦克能够爬300 的斜坡的斜坡, ,试问试问: :它能不能通过这座小它能不能通过这座小 山？山？ A C 1000m 565m B A B C D 山顶上有一旗杆山顶上有一旗杆, ,在地面上一点在地面上一点A处
11、测处测 得杆顶得杆顶B的俯角的俯角=600，杆底杆底C的俯角的俯角 =450，已知旗杆高，已知旗杆高BC=20m，求山，求山 高高CD。 河的对岸有水塔河的对岸有水塔AB, 今在今在C处测得处测得 塔顶塔顶A的仰角为的仰角为30，前进，前进 20米米 到到D处，又测得塔顶处，又测得塔顶A的仰角为的仰角为 60.求塔高求塔高AB. 30 60 A B C D (1). .在电线杆离地面在电线杆离地面8m高的地方向地高的地方向地 面拉一条长面拉一条长10m的缆绳的缆绳, ,问这条缆绳问这条缆绳 应固定在距离电线杆底部多远的地应固定在距离电线杆底部多远的地 方方？ (2).海船以海船以32.6海里海
12、里/ /时的速度向正北时的速度向正北 方向航行方向航行，在在A处看灯塔处看灯塔Q在海船的在海船的 北偏东北偏东30处处，半小时后航行到半小时后航行到B 处处，发现此时灯塔发现此时灯塔Q与海船的距离与海船的距离 最短最短，求灯塔求灯塔Q到到B处的距离处的距离. .(画出画出 图形后计算图形后计算，精确到精确到0.1海里海里) 如图如图,为了测量小河的宽度为了测量小河的宽度,在河的在河的 岸边选择岸边选择B.C两点两点,在对岸选择一个在对岸选择一个 目标点目标点A,测测BAC=75, ACB=45 BC=48m,求河宽求河宽. A B C D 海岛海岛A四周四周20海里内为暗礁区海里内为暗礁区,一
13、艘货一艘货 轮由东向西航行轮由东向西航行,在在B处见岛处见岛A在北偏在北偏 西西60,航行航行24海里到海里到C,见岛见岛A在北偏在北偏 西西30,货轮继续向西航行货轮继续向西航行,有无触礁的有无触礁的 危险危险?请说明理由请说明理由. A B D C N N1 30 60 如图学校里有一块三角形形状的花如图学校里有一块三角形形状的花 圃圃ABC,现测现测A=30,AC=40m , BC=25m,请你帮助计算一下这块请你帮助计算一下这块 花圃的面积花圃的面积? D A C B 300 由于过度采伐森林和破坏植被由于过度采伐森林和破坏植被,我国我国 部分地区频频遭受沙尘暴侵袭部分地区频频遭受沙尘
14、暴侵袭.近日，近日， A城气象局测得沙尘暴中心在城气象局测得沙尘暴中心在A城的正城的正 南方向南方向240km的的B处处,以每小时以每小时12km的的 速度向北偏东速度向北偏东30方向移动方向移动,距沙尘暴距沙尘暴 中心中心150km的范围为受影响区域。的范围为受影响区域。 某市计划将地处A、B两地的两所大学合并成 一所综合大学,为了方便A、B两地师生的交 往,学校准备在相距2千米的A、B两地之间修 筑一条笔直公路(即图中的线段AB)经测量,在 A地的北偏东60 方向，B地的西偏北45 方向 的C处有一个半径为0.7千米的公园,问计划修 筑的这条公路会不会穿过公园?为什么? 60 45 C B
15、 A D 解（解（1）：过）：过A作作ACBM,垂足为垂足为C, 在在RtABC中，中， B = 30, AC= AB = x 240 = 120 1 2 1 2 AC = 120 150 A城受到沙尘暴影响城受到沙尘暴影响 (1)A城是否受到这次沙尘暴城是否受到这次沙尘暴 的影响的影响 ，为什么？，为什么？ A B C O C A B C E F M 解（解（2）：设点）：设点E、F是以是以A为圆心，为圆心，150km 为半径的圆与为半径的圆与BM的交点，由题意得：的交点，由题意得： CE = AE2 AC2 = 90 EF = 2CE = 2 x 90 = 180 A城受到沙尘暴影响的时间为城受到沙尘暴影响的时间为 18012 = 15小时小时 答：答：A城将受到这次沙尘暴影响，城将受到这次沙尘暴影响， 影响的时间为影响的时间为15小时。小时。 (2)若若A城受这次沙尘暴的影响，城受这次沙尘暴的影响， 那么遭受影响的时间有多长？那么遭受影响的时间有多长？ 如图如图,一人在河对岸一人在河对岸C处测得电视处测得电视 塔尖塔尖A的仰角为的仰角为45 ,后退后退100米到米到 达达D处处,测得塔尖测得塔尖A的仰角为的仰角为30 ,设设 塔底塔底B与与C、D在同一直线上，在同一直线上， 求电视塔的高度求电视塔的高度AB。 D C B A 45 30
