1、上上海海市市五五年年（2017-20212017-2021）中中考考数数学学真真题题解解答答题题知知识识点点分分类类汇汇编编一实一实数数的运算（的运算（共共 2 2 小题小题）81（2021上海）计算：9+|1|212（2019上海）计算：|1|+二幂二幂的的乘方与积的乘方与积的乘乘方（方（共共 1 1 小题小题）（）2+|3|3（2020上海）计算：+三分三分式式的化简求值的化简求值（共共 1 1 小题小题）4（2018上海）先化简，再求值：（），其中 a四二四二次次根式的混合根式的混合运运算（算（共共 1 1 小题小题）5（2017上海）计算：+（1）2+（）1五一五一元元二次方程的二次方
2、程的应应用（用（共共 1 1 小题小题）6（2020上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为 450 万元，第七天的营业额是前六天总营业额的 12%1求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；2去年，该商店 7 月份的营业额为 350 万元，8、9 月份营业额的月增长率相同六高六高次次方程（方程（共共 1 1 小题小题）7（2021上海）解方程组：七解七解分分式方程（式方程（共共 2 2 小题小题）8（2019上海）解方程：19（2017上海）解方程：1八解八解一一元一次不等元一次不等式式组（组（共共 2 2 小题小题）10（2020上海）解不等式组：11（2018
3、上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来九两九两条条直线相交或直线相交或平平行问题（行问题（共共 1 1 小题小题）12（2019上海）在平面直角坐标系 x O y中（如图），已知一次函数的图象平行于直线 y x，且经过点 A（2，3）1求这个一次函数的解析式；2设点 C在 y轴上，当 A CB C时，求点 C的坐标一十一十一一次函数的应次函数的应用用（共共 2 2 小题小题）13（2018上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 y（升）与行驶路程 x（千 米），其部分图象如图所示1求 y关于 x的函数关系式；（不需要写定义域）2已知当油箱中的剩余油量为 8 升时，该汽车会开始提
4、示加油，在此次行驶过程中，司机发现离前方最近的加油站有 30 千米的路程，在开往该加油站的途中，这时离加油站 的路程是多少千米？14（2017上海）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案 甲公司方案：每月的养护费用 y（元）与绿化面积 x（平方米）是一次函数关系乙公司方案：绿化面积不超过 1000 平方米时，每月收取费用 5500 元；绿化面积超过 1000平方米时，超过部分每平方米收取 4 元1求如图所示的 y与 x的函数解析式：（不要求写出定义域）；2如果某学校目前的绿化面积是 1200 平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服 务，每月的绿化养护费用较少一十一一十一二
5、次函数综二次函数综合合题（题（共共 5 5 小题小题）15（2021上海）已知抛物线 yax2+c（a0）经过点 P（3，0）、Q（1，4）1求抛物线的解析式；2若点 A在直线 PQ上，过点 A作 ABx轴于点 B，以 AB为斜边在其左侧作等腰直角 三角形 A B C当 Q与 A重合时，求 C到抛物线对称轴的距离；若 C在抛物线上，求 C的坐标16（2020上海）在平面直角坐标系 x O y中，直线 y x+5 与 x轴、y轴分别交于点 A、B（如图）2+bx（a0）经过点 A（1）求线段 AB的长；，求这条抛物线的表2如果抛物线 yax2+bx经过线段 AB上的另一点 C，且 B C 达式；
6、3如果抛物线 yax2+bx的顶点 D位于AOB内，求 a的取值范围17（2019上海）在平面直角坐标系 x O y中（如图），已知抛物线 yx22x，其顶点为 A1写出这条抛物线的开口方向、顶点 A的坐标，并说明它的变化情况；2我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”试求抛物线 yx22x的“不动点”的坐标；平移抛物线 yx22x，使所得新抛物线的顶点 B是该抛物线的“不动点”，其对称轴 与 x轴交于点 C，求新抛物线的表达式18（2018上海）在平面直角坐标系 x O y中（如图）已知抛物线 y x2+bx+c经过点 A（1，0）和点 B（0，），顶点为 C，将线
7、段 DC绕点 D按顺时针方向旋转 90，点 C落在抛物线上的点 P处1求这条抛物线的表达式；2求线段 CD的长；3将抛物线平移，使其顶点 C移到原点 O的位置，这时点 P落在点 E的位置，且以 O、D、E、M为顶点的四边形面积为 8，求点 M的坐标19（2017上海）已知在平面直角坐标系 x O y中（如图），已知抛物线 yx2+bx+c经过点 A（2，2），对称轴是直线 x1，顶点为 B1求这条抛物线的表达式和点 B的坐标；2点 M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为 m，用含 m的代数式表示AMB的余切值；3将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点 C在 x轴上原抛物线上一点 P
8、平移后的对应点为点 Q，如果 O PO Q一十二一十二正方形的判正方形的判定定（共共 1 1 小题小题）20（2017上海）已知：如图，四边形 A B C D中，A DB C，E是对角线 BD上一点，且 E AE C1求证：四边形 A B C D是菱形；2如果 B EB C，且CBE：BCE2：3，求证：四边形 A B C D是正方形一十三一十三直角梯形（直角梯形（共共 1 1 小题小题）21（2020上海）如图，在直角梯形 A B C D中，A BD C，A B8，C D51求梯形 A B C D的面积；2连接 B D，求DBC的正切值一十四一十四圆的综合题圆的综合题（共共 4 4 小题小题
9、）22（2021上海）如图，在圆 O中，弦 AB等于弦 C D，其中 E、F为 A B、CD中点（1）证明：OPEF；（2）连接 A F、A C、C E，若 A FO P，证明：四边形 A F E C为矩形23（2020上海）如图，ABC中，ABAC，BO的延长线交边 AC于点 D1求证：BAC2ABD；2当BCD是等腰三角形时，求BCD的大小；3当 AD2，CD3 时，求边 BC的长24（2018上海）已知O的直径 AB2，弦 AC与弦 BD交于点 E且 O DA C，垂足为点 F1如图 1，如果 A CB D，求弦 AC的长；2如图 2，如果 E为弦 BD的中点，求ABD的余切值；3联结
10、B C、C D、D A，如果 BC是O的内接正 n边形的一边，C D是O的内接正（n+4），求ACD的面积25（2017上海）如图，已知O的半径长为 1，AB、AC是O的两条弦，BO的延长线交 AC于点 D，联结 O A、O C1求证：OADABD；2当OCD是直角三角形时，求 B、C两点的距离；3记A O B、A O D、COD 的面积分别为 S1、S2、S3，如果 S2 是 S1 和 S3 的比例中项，求 OD的长一十五一十五相似三角形相似三角形的的判定与性质判定与性质（共共 3 3 小题小题）26（2020上海）已知：如图，在菱形 A B C D中，点 E、F分别在边 A B、AD上，C
11、E的延长线 交 DA的延长线于点 G，CF的延长线交 BA的延长线于点 H1求证：BECBCH；2如果 BE2ABAE，求证：AGDF27（2019上海）已知：如图，A B、AC是O的两条弦，且 A BA C，联结 BD并延长交O于点 E，联结 CD并延长交O于点 F1求证：BDCD；2如果 AB2AOAD，求证：四边形 A B D C是菱形28（2018上海）已知：如图，正方形 A B C D中，P是边 BC上一点，DFAP，垂足分别是点 E、F1求证：E FA EB E；2连接 B F，如果求证：EFEP一十六一十六相似形综合相似形综合题题（共共 2 2 小题小题）29（2021上海）如图
12、，在四边形 A B C D中，ADBC，ADCD，O是对角线 AC的中点1当点 E在 CD上，求证：DACOBC；若 B EC D，求的值；2若 DE2，OE3，求 CD的长30（2019上海）如图 1，AD、BD分别是ABC的内角B A C、ABC的平分线，过点 A作 A EA D（1）求证：E C；（2）如图 2，如果 A EA B，且 BD：DE2：3；（3）如果ABC是锐角，且ABC与ADE相似，求ABC的度数的值一十七一十七解直角三角解直角三角形形（共共 2 2 小题小题）31（2021上海）如图，已知ABD中，ACBD，CD4，cosABC1求 AC的长；2求 tanFBD的值32
13、（2018上海）如图，已知ABC中，ABBC5 1求边 AC的长；2设边 B C的垂直平分线与边 A B的交点为 D，求的值一十八一十八解直角三角解直角三角形形的应用（的应用（共共 2 2 小题小题）33（2019上海）图 1 是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 A B C D表示该车的后备箱，在 打开后备箱的过程中，当旋转角为 60时，箱盖 A D E落在 ADE 的位置（如图 2 所示），DE30 厘米，EC40 厘米1求点 D到 BC的距离；2求 E、E两点的距离34（2017上海）如图，一座钢结构桥梁的框架是A B C，水平横梁 BC长 18 米，其中 D是 BC的中点，且 A DB
14、C1求 sinB的值；2现需要加装支架 D E、E F，其中点 E在 AB上，BE2AE，垂足为点 F，求支架 DE的 长一十九一十九扇形统计图扇形统计图（共共 1 1 小题小题）35（2021上海）现在 5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产 80 万部 5G手机，三个 月生产情况如图（1）求三月份生产了多少部手机？（2）5G手机速度很快，比 4G下载速度每秒多 95MB，下载一部 1000MB的电影，求 5G手 机的下载速度参考答案与试参考答案与试题题解解析析一实一实数数的运算（的运算（共共 2 2 小题小题）1（2021上海）计算：9+|1|215【解答】解：+|13552（2019上
15、海）计算：|1|+81|+2【解答】解：|123，其中 a二幂二幂的的乘方与积的乘方与积的乘乘方（方（共共 1 1 小题小题）3（2020上海）计算：+（）2+|3|【解答】解：原式（33）+74+33+34+30三分三分式式的化简求值的化简求值（共共 1 1 小题小题）4（2018上海）先化简，再求值：（）【解答】解：原式，当 a时，原式56四二四二次次根式的混合根式的混合运运算（算（共共 1 1 小题小题）15（2017上海）计算：+（1）2+（【解答】解：原式3+62+2五一五一元元二次方程的二次方程的应应用（用（共共 1 1 小题小题）6（2020上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销
16、活动期间，前六天的总营业额为 450 万元，第七天的营业额是前六天总营业额的 12%1求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；2去年，该商店 7 月份的营业额为 350 万元，8、9 月份营业额的月增长率相同【解答】解：（1）450+45012%504（万元）答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为 504 万元（2）设该商店去年 8、9 月份营业额的月增长率为 x，依题意，得：350（8+x）2504，解得：x13.220%，x23.2（不合题意，舍去）答：该商店去年 8、5 月份营业额的月增长率为 20%六高六高次次方程（方程（共共 1 1 小题小题）7（2021上海）解方程组：
17、【解答】解：，由得：y5x，把 y3x代入，得：x28（3x）23，化简得：（x2）（x6）7，解得：x12，x76把 x12，x26 依次代入 y8x得：y11，y23，原方程组的解为 七解七解分分式方程式方程（共共 2 2 小题小题）8（2019上海）解方程：1【解答】解：去分母得：2x26x22x，即 x5+2x84，分解因式得：（x2）（x+4）8，解得：x2 或 x4，经检验 x5 是增根，分式方程的解为 x49（2017上海）解方程：1【解答】解：两边乘 x（x3）得到 3xx43x，x27x30，（x5）（x+1）0，x5 或1，经检验 x3 是原方程的增根，原方程的解为 x7八
18、解八解一一元一次不等元一次不等式式组（组（共共 2 2 小题小题）10（2020上海）解不等式组：【解答】解：，解不等式得 x3，解不等式得 x5故原不等式组的解集是 2x711（2018上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来【解答】解：解不等式得：x6，解不等式得：x3，则不等式组的解集是：1x5，不等式组的解集在数轴上表示为：九两九两条条直线相交或直线相交或平平行问题（行问题（共共 1 1 小题小题）12（2019上海）在平面直角坐标系 x O y中（如图），已知一次函数的图象平行于直线 y x，且经过点 A（2，3）1求这个一次函数的解析式；2设点 C在 y轴上，当 A CB C时
19、，求点 C的坐标【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：ykx+b，一次函数的图象平行于直线 y x，k，一次函数的图象经过点 A（2，4），3+b，b2，一次函数的解析式为 y x+2；（2）由 y x+2，得 x+26，x4，一次函数的图形与 x轴的交点为 B（4，6），点 C在 y轴上，设点 C的坐标为（0，y），ACBC，y，经检验：y 是原方程的根，点 C的坐标是（0，）一十一十一一次函数的应次函数的应用用（共共 2 2 小题小题）13（2018上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 y（升）与行驶路程 x（千 米），其部分图象如图所示1求 y关于 x的函数关系式；（不需要
20、写定义域）2已知当油箱中的剩余油量为 8 升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，司机发现离前方最近的加油站有 30 千米的路程，在开往该加油站的途中，这时离加油站 的路程是多少千米？【解答】解：（1）设该一次函数解析式为 ykx+b，将（150，45），60）代入 ykx+b中，解得：，该一次函数解析式为 yx+60（2）当 yx+608 时，解得 x520即行驶 520 千米时，油箱中的剩余油量为 8 升 53052010 千米，油箱中的剩余油量为 5 升时，距离加油站 10 千米在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油14（2017上海）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服
21、务的收费方案 甲公司方案：每月的养护费用 y（元）与绿化面积 x（平方米）是一次函数关系乙公司方案：绿化面积不超过 1000 平方米时，每月收取费用 5500 元；绿化面积超过 1000平方米时，超过部分每平方米收取 4 元1求如图所示的 y与 x的函数解析式：（不要求写出定义域）；2如果某学校目前的绿化面积是 1200 平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服 务，每月的绿化养护费用较少，【解答】解：（1）设 ykx+b，则有解得，y5x+400（2）绿化面积是 1200 平方米时，甲公司的费用为 6400 元，63006400选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少 一十一一十一二次函数综
22、二次函数综合合题（题（共共 5 5 小题小题）15（2021上海）已知抛物线 yax2+c（a0）经过点 P（3，0）、Q（1，4）1求抛物线的解析式；2若点 A在直线 PQ上，过点 A作 ABx轴于点 B，以 AB为斜边在其左侧作等腰直角 三角形 A B C当 Q与 A重合时，求 C到抛物线对称轴的距离；若 C在抛物线上，求 C的坐标【解答】解：（1）P（3，0），4）代入 yax2+c得：，解得，抛物线的解析式为：y x2+；（2）过 C作 C HA B于 H，交 y轴于 G当 A与 Q（1，2）重合时，GH1，ABC是等腰直角三角形，ACH和BCH也是等腰直角三角形，C HA HB H
23、AB2，CGCHGH1，而抛物线 y x2+的对称轴是 y轴（x0），C到抛物线对称轴的距离是 CG4；过 C作 C HA B于 H，如图：设直线 PQ解析式为 ykx+b，将 P（3、Q（1，解得，直线 PQ为 y2x+4，设 A（m，2m+6），C HA HB H AB|m+3|，当 m+20，yCm+3 时，xC（m+3m）2m3，将 C（6m3，m+3）代入 y x2+得：m+3（2m8）2+，解得 m 或 m8（与 P重合，m，3m32，C（2，）当m+38，yCm+3 时，xCm（m3）2，C（3，m+3），3）可知 m3，此时 A、B、C重合，C（2，）16（2020上海）在平面
24、直角坐标系 x O y中，直线 y x+5 与 x轴、y轴分别交于点 A、B（如图）2+bx（a0）经过点 A（1）求线段 AB的长；，求这条抛物线的表2如果抛物线 yax2+bx经过线段 AB上的另一点 C，且 B C 达式；3如果抛物线 yax2+bx的顶点 D位于AOB内，求 a的取值范围【解答】解：（1）针对于直线 y x+8，令 x0，y5，B（2，5），令 y0，则，x10，A（10，0），AB5；（2）设点 C（m，m+5），|m|，B（0，5），BCBC，|m|，m4，点 C在线段 AB上，m2，C（2，6），将点 A（10，0），4）代入抛物线 yax4+bx（a0）中，得，
25、抛物线 y x4+x；（3）点 A（10，2）在抛物线 yax2+bx中，得 100a+10b0，b10a，抛物线的解析式为 yax410axa（x5）225a，抛物线的顶点 D坐标为（2，25a），将 x5 代 入 y x+5 中 5+5，顶点 D位于AOB内，025a，a4；17（2019上海）在平面直角坐标系 x O y中（如图），已知抛物线 yx22x，其顶点为 A1写出这条抛物线的开口方向、顶点 A的坐标，并说明它的变化情况；2我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”试求抛物线 yx22x的“不动点”的坐标；平移抛物线 yx22x，使所得新抛物线的顶点 B是
26、该抛物线的“不动点”，其对称轴 与 x轴交于点 C，求新抛物线的表达式【解答】解：（1）a10，故该抛物线开口向上，顶点 A的坐标为（5，当 x1，y随 x的增大而增大，y随 x增大而减小；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t）26t，解得：t0 或 3，故“不动点”坐标为（6，0）或（3；当 O CA B时，新抛物线顶点 B为“不动点”，则设点 B（m，新抛物线的对称轴为：xm，与 x轴的交点 C（m，四边形 O A B C是梯形，直线 xm在 y轴左侧，BC与 OA不平行，OCAB，又点 A（6，1），m），m1，故新抛物线是由抛物线 yx62x向左平移 2 个单位得到的；当 O BA
27、C时，同理可得：抛物线的表达式为：y（x5）2+2x84x+6，当四边形 O A B C是梯形，字母顺序不对，综上，新抛物线的表达式为：y（x+5）2118（2018上海）在平面直角坐标系 x O y中（如图）已知抛物线 y x2+bx+c经过点 A（1，0）和点 B（0，），顶点为 C，将线段 DC绕点 D按顺时针方向旋转 90，点 C落在抛物线上的点 P处1求这条抛物线的表达式；2求线段 CD的长；3将抛物线平移，使其顶点 C移到原点 O的位置，这时点 P落在点 E的位置，且以 O、D、E、M为顶点的四边形面积为 8，求点 M的坐标【解答】解：（1）把A（1，0）和点 B（7，x2+bx+
28、c得，解得，抛物线解析式为 y x2+2x+；（2）y（x2）2+，C（2，），抛物线的对称轴为直线 x2，如图，设 CDt，t），线段 DC绕点 D按顺时针方向旋转 90，点 C落在抛物线上的点 P处，PDC90，DPDCt，P（2+t，t），把 P（2+t，t）代入 y x2+2x+得 2+2（4+t）+t，212整理得 t8t0，解得 t4（舍去），t2，线段 CD的长为 5；（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），抛物线平移，使其顶点 C（2，抛物线向左平移 2 个单位，向下平移，而 P点（4，）向左平移 2 个单位 个单位得到点 E，E点坐标为（2，2），设 M（4，m），当
29、m0 时，（m+，解得 m，）；当 m0 时，（m+，解得 m，）；综上所述，M点的坐标为（0，）19（2017上海）已知在平面直角坐标系 x O y中（如图），已知抛物线 yx2+bx+c经过点 A（2，2），对称轴是直线 x1，顶点为 B1求这条抛物线的表达式和点 B的坐标；2点 M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为 m，用含 m的代数式表示AMB的余切值；3将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点 C在 x轴上原抛物线上一点 P平移后的对应点为点 Q，如果 O PO Q【解答】解：（1）抛物线的对称轴为 x1，x3，即，解得 b6yx2+2x+c将 A（3，2）代入得：4+6
30、+c2抛物线的解析式为 yx2+2x+2 配方得：y（x1）6+3抛物线的顶点坐标为（1，5）（2）如图所示：过点 A作 A GB M，垂足为 G，G（1M（1，m），6），MGm2cotAMBm2（3）抛物线的顶点坐标为（8，3），抛物线向下平移了 3 个单位平移后抛物线的解析式为 yx5+2x1，PQ2OPOQ，点 O在 PQ的垂直平分线上 又QPy轴，点 Q与点 P关于 x轴对称点 Q的纵坐标为 将 y 代入 yx2+8x1 得：x2+4x1，解得：x点 Q的坐标为（，）或（，）一十二一十二正方形的判正方形的判定定（共共 1 1 小题小题）20（2017上海）已知：如图，四边形 A B
31、C D中，A DB C，E是对角线 BD上一点，且 E AE C1求证：四边形 A B C D是菱形；2如果 B EB C，且CBE：BCE2：3，求证：四边形 A B C D是正方形【解答】证明：（1）在ADE与CDE中，ADECDE，ADECDE，ADBC，ADECBD，CDECBD，BCCD，ADCD，BCAD，四边形 A B C D为平行四边形，ADCD，四边形 A B C D是菱形；（2）BEBCBCEBEC，CBE：BCE2：3，CBE18045，四边形 A B C D是菱形，ABE45，ABC90，四边形 A B C D是正方形 一十三一十三直角梯形（直角梯形（共共 1 1 小题
32、小题）21（2020上海）如图，在直角梯形 A B C D中，A BD C，A B8，C D51求梯形 A B C D的面积；2连接 B D，求DBC的正切值【解答】解：（1）过 C作 C EA B于 E，ABDC，DAB90，ADC90，AADCAEC90，四边形 A D C E是矩形，ADCE，AECD5，BEABAE3，BC7，CE6，梯形 A B C D的面积（5+8）239；（2）过 C作 C HB D于 H，CDAB，CDBABD，CHDA90，CDHDBA，BD10，CH8，BH6，DBC的正切值 一十四一十四圆的综合题圆的综合题（共共 4 4 小题小题）22（2021上海）如图
33、，在圆 O中，弦 AB等于弦 C D，其中 E、F为 A B、CD中点1证明：OPEF；2连接 A F、A C、C E，若 A FO P，证明：四边形 A F E C为矩形【解答】（1）证明：连接 O P，E F，O FA EE B，C FF D，O EA B，O FC D，OEBOFD90，OBOD，RtOEBRtOFD（HL），OEOF，OEPOFP90，OPOP，RtOPERtOPF（HL），PEPF，OEOF，OPEF（2）证明：连接 A C，设 EF交 OP于 JA BC D，A EE B，A EC F，B ED F，PEPF，PAPC，P EP F，O EO F，OP垂直平分线段
34、E F，EJJF，OPAF，EPPA，P CP F，P AP E，四边形 A F E C是平行四边形，EACF，四边形 A F E C是矩形23（2020上海）如图，ABC中，ABAC，BO的延长线交边 AC于点 D1求证：BAC2ABD；2当BCD是等腰三角形时，求BCD的大小；3当 AD2，CD3 时，求边 BC的长【解答】（1）证明：连接 O AABAC，OABC，BAOCAO，OAOB，ABDBAO，BAC2ABD（2）解：如图 2 中，延长 AO交 BC于 H若 B DC B，则CBDCABD+BAC7ABD，ABAC，ABCC，DBC2ABD，DBC+C+BDC180，8ABD18
35、0，C7ABD67.5若 C DC B，则CBDCDB3ABD，C5ABD，DBC+C+CDB180，10ABD180，BCD4ABD72若 D BD C，则 D与 A重合综上所述，C的值为 67.5或 72（3）如图 3 中，作 A EB C交 BD的延长线于 E则，设 OBOA4a，BH8AB2AH2OB2OH2，2549a216a69a2，a4，BH27a3，BHBC2BH24（2018上海）已知O的直径 AB2，弦 AC与弦 BD交于点 E且 O DA C，垂足为点 F1如图 1，如果 A CB D，求弦 AC的长；2如图 2，如果 E为弦 BD的中点，求ABD的余切值；3联结 B C
36、、C D、D A，如果 BC是O的内接正 n边形的一边，C D是O的内接正（n+4），求ACD的面积【解答】解：（1）ODAC，A F O90，又 ACBD，即+，AODDOCBOC60，AB2，AOBO1，A FA OsinA O F6，则 AC2AF；（2）如图 1，连接 B C，A B为直径，O DA C，AFOC90，ODBC，DEBC，D EB E、D E F B E C，D E F B E C（A S A），B CD F 、E CE F，又AOOB，OF是ABC的中位线，设 OFt，则 BCDF2t，DFDOOF8t，1t2t，解得：t，则 D FB C 、A CE F F C，O
37、BOD，ABDD，则 cotA B DcotD；（3）如图 2，BC是O的内接正 n边形的一边，CD是O的内接正（n+4）边形的一边，BOC、A O D C O D，则+2，解得：n5 或2，2 舍去BOC90、AODCOD45，BCAC，AFO90，OFAOcosAOF，则 DFODOF2，SA C DA CD F ）25（2017上海）如图，已知O的半径长为 1，AB、AC是O的两条弦，BO的延长线交 AC于点 D，联结 O A、O C1求证：OADABD；2当OCD是直角三角形时，求 B、C两点的距离；3记A O B、A O D、COD 的面积分别为 S1、S2、S3，如果 S2 是 S
38、1 和 S3 的比例中项，求 OD的长【解答】（1）证明：如图 1 中，在AOB和AOC中，AOBAOC，CB，OAOC，OACCB，ADOADB，OADABD（2）如图 2 中，当ODC90时，B DA C，O AO C，ADDC，B AB CA C，ABC是等边三角形，在 RtOAD中，OA8，OD O A ，A D，BCAC2ADCOD90，BOC90OCD显然90，不需要讨论 综上所述，BC或（3）如图 6 中，作 O HA C于 HDAODBA，AD，AB，S2 是 S5 和 S3 的比例中项，521 3S SS，S5 ADOH，S4SO A C ACOH，S5 CDOH，（），（A
39、DOH）2 ACOH，AD2ACCD，A CA BC DA CA D（）2整理得 x4+x10，解得 x或，经检验：x是原方程的根，OD（也可以利用角平分线的性质定理：，黄金分割点的性质解决这个问题）方法 5、设 ODx，则AOD的边 OD边上的高也为 h，设 SA O Ba，SA O Dax，AOBAOC，SA O CSA O BaSA O CSA O D+SC O D，SC O Daaxa（6x），S2 是 S1 和 S3 的比例中项，222 3S SS，（ax）2aa（3x），x，OD0，OD一十五一十五相似三角形相似三角形的的判定与性质判定与性质（共共 3 3 小题小题）26（2020
40、上海）已知：如图，在菱形 A B C D中，点 E、F分别在边 A B、AD上，CE的延长线 交 DA的延长线于点 G，CF的延长线交 BA的延长线于点 H1求证：BECBCH；2如果 BE2ABAE，求证：AGDF【解答】（1）证明：四边形 A B C D是菱形，CDCB，DB，DFBE，C D F C B E（S A S），DCFBCE，CDBH，HDCF，HBCE，BB，BECBCH（2）证明：BE2ABAE，CBDG，BCAB，AGBE，CDFCBE，DFBE，AGDF27（2019上海）已知：如图，A B、AC是O的两条弦，且 A BA C，联结 BD并延长交O于点 E，联结 CD并
41、延长交O于点 F1求证：BDCD；2如果 AB2AOAD，求证：四边形 A B D C是菱形【解答】证明：（1）如图 1，连接 B C，O C，A B、AC是O的两条弦，A在 BC的垂直平分线上，O BO AO C，O在 BC的垂直平分线上，AO垂直平分 B C，BDCD；（2）如图 2，连接 O B，AB6AOAD，BAODAB，ABOADB，OBAADB，OAOB，OBAOAB，OABBDA，ABBD，A BA C，B DC D，A BA CB DC D，四边形 A B D C是菱形28（2018上海）已知：如图，正方形 A B C D中，P是边 BC上一点，DFAP，垂足分别是点E、F1
42、求证：E FA EB E；2连接 B F，如果求证：EFEP【解答】证明：（1）四边形 A B C D为正方形，ABAD，BAD90，B EA P，D FA P，BEAAFD90，1+290，2+390，14，在ABE和DAF中，ABEDAF，BEAF，E FA EA FA EB E；（2）如图，而 A FB E，BEFDFA，33，而14，41，81，42，即 BE平分F B P，而 B EE P，EFEP一十六一十六相似形综合相似形综合题题（共共 2 2 小题小题）29（2021上海）如图，在四边形 A B C D中，ADBC，ADCD，O是对角线 AC的中点（1）当点 E在 CD上，求证
43、：D A CO B C；若 B EC D，求的值；（2）若 DE2，OE3，求 CD的长【解答】（1）证明：如图 1，ADCD，DACDCAADBC，DACACBBO是 RtABC斜边 AC上的中线，OBOC，OBCOCB，DAC DCA ACB OBC，DACOBC；解：如图 2，若 B EC D，在 RtBCE中，OCEOCBEBC，OCEOCBEBC30 过点 D作 D HB C于点 H，设 ADCD4m，则 BHAD2m，在 RtDCH中，DC2m，CHm，BCBH+CH4m，；（2）如图 3，当点 E在 AD上时，ADBC，EAO BCO，AEO CBO，O是 AC的中点，OAOC，
44、A O E C O B（A A S），OBOE，四边形 A B C E是平行四边形，又ABC90，四边形 A B C E是矩形 设 A DC Dx，DE2，AEx2，OE3，AC4，在 RtACE和 RtDCE中，CE2AC2AE3，CE2CD2DE6，62（x5）2x232，解得 x1+CD1+，或 x8如图 4，当点 E在 CD上时，则 CEx3，设 O BO Cm，OE3，EBm+3，DACOBC，又 EBC OCE，BEC OEC，EOCECB，m，将 m代入，整理得，x86x100，解得 x4+CD3+，或 x3综合以上可得 CD的长为 8+或 3+30（2019上海）如图 1，AD
45、、BD分别是ABC的内角B A C、ABC的平分线，过点 A作 A EA D（1）求证：E C；（2）如图 2，如果 A EA B，且 BD：DE2：3；（3）如果ABC是锐角，且ABC与ADE相似，求ABC的度数的值【解答】（1）证明：如图 1 中，CAEAD，DAE90，E90ADE，AD平分B A C，BAD BAA B C，ADEBAD+DBA，BAC+ABC180C，ADE（ABC+BAC）90，E90（90 C）（2）解：延长 AD交 BC于点 FABAE，ABEE，BE平分A B C，ABEEBC，ECBE，AEBC，AFBEAD90，BD：DE2：6，cosABC（3）ABC与
46、ADE相似，DAE90，ABC中必有一个内角为 90ABC是锐角，ABC90当BACDAE90时，E C，ABCE C，ABC+C90，ABC30，此时当CDAE90时，C45，EDA45，ABC与ADE相似，ABC45，此时综上所述，ABC30，ABC45，一十七一十七解直角三角解直角三角形形（共共 2 2 小题小题）31（2021上海）如图，已知ABD中，ACBD，CD4，cosABC1求 AC的长；2求 tanFBD的值【解答】解：（1）ACBD，cosABC，AB10，在 RtACB中，由勾股定理得，6，A C即 AC的长为 6；（2）如图，连接 C F，过 F点作 BD的垂线，BF为
47、 AD边上的中线，即 F为 AD的中点，CF A DF D，在 RtACD中，由勾股定理得，A D2，三角形 C F D为等腰三角形，FECD，CE CD2，在 RtE F C中，E FtanF B D 解法二：BF为 AD边上的中线，F是 AD中点，F EB D，A CB D，FEAC，FE是ACD的中位线，FE AC3 CD2，在 R tB F E中，tanF B D32（2018上海）如图，已知ABC中，ABBC5 1求边 AC的长；2设边 B C的垂直平分线与边 A B的交点为 D，求的值；【解答】解：（1）作 A作 A EB C，在 RtABE中，tanABC，AE3，BE4，CEB
48、CBE521，在 RtAEC中，根据勾股定理得：AC（2）方法一：DF垂直平分 B C，B DC D，B FC F ，tanDBF，DF，在 RtBFD中，根据勾股定理得：BDA D5，则 方法二：DF垂直平分 B C，B DC D，B FC F ，E FC FC E 1，A EB C，D FB C，BFDBEA，FBDEBA，RtBFDRtBEA，一十八一十八解直角三角解直角三角形形的应用（的应用（共共 2 2 小题小题）33（2019上海）图 1 是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 A B C D表示该车的后备箱，在 打开后备箱的过程中，当旋转角为 60时，箱盖 A D E落在 ADE 的
49、位置（如图 2 所示），DE30 厘米，EC40 厘米1求点 D到 BC的距离；2求 E、E两点的距离【解答】解：（1）过点 D作 DHBC，垂足为点 H，如图 3 所示 由题意，得：ADAD90 厘米四边形 A B C D是矩形，ADBC，AFDBHD90在 RtA DF中，DFA DsinD A D90sin6045 又CE40 厘米，DE30 厘米，FHDCDE+CE70 厘米，DHDF+FH（45+70）厘米答：点 D到 BC的距离为（45+70）厘米（2）连接 AE，AE，如图 4 所示 由题意，得：AEAE，AEE是等边三角形，EEAE四边形 A B C D是矩形，ADE90在 R
50、tADE中，AD90 厘米，AEEE3030，厘米答：E、E两点的距离是 3034（2017上海）如图，一座钢结构桥梁的框架是A B C，水平横梁 BC长 18 米，其中 D是 BC的中点，且 A DB C1求 sinB的值；2现需要加装支架 D E、E F，其中点 E在 AB上，BE2AE，垂足为点 F，求支架 DE的 长【解答】解：（1）在 RtABD中，BDDC9m，AB3m，sinB（2）EFAD，BE4AE，EF4m，BF6m，DF7m，在 RtDEF中，DE一十九一十九扇形统计图扇形统计图（共共 1 1 小题小题）35（2021上海）现在 5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产
