1、 3-2 KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数 3-5 回路电流法回路电流法 3-6 结点电压法结点电压法 3-4 网孔电流法网孔电流法 3-1 电路的图电路的图 3-3 支路电流法支路电流法第三章第三章 电阻电路的一般分析电阻电路的一般分析第三章第三章 电阻电路的一般分析方法电阻电路的一般分析方法 重点：重点：熟练掌握电阻电路的一般分析方法：熟练掌握电阻电路的一般分析方法：1 1、支路电流法、支路电流法 2 2、回路电流法（网孔电流法）、回路电流法（网孔电流法）3 3、结点电压法、结点电压法电阻电路电阻电路一般分析方法（系统求解法）一般分析方法（系统求解法）的思路：的思路：不需改变电路的
2、原结构。不需改变电路的原结构。首先，选择一组合适的电路变量（电流或电压），根据首先，选择一组合适的电路变量（电流或电压），根据KCL和和KVL及元件的电压电流关系（及元件的电压电流关系（VCR）建立该组变量）建立该组变量的的独立方程组独立方程组，即，即电路方程电路方程，然后从方程中解出电路变量。，然后从方程中解出电路变量。对于线性电阻电路，电路方程是一组线性代数方程。对于线性电阻电路，电路方程是一组线性代数方程。支路支路:结点结点:网孔网孔:回路回路:6437321 3-1 电路的图电路的图学习学习图论（网络图论）图论（网络图论）初步知识；初步知识；图论图论是研究离散对象二元关系结构的一个是研
3、究离散对象二元关系结构的一个数学分支数学分支；图论中的元素是图论中的元素是点点和和线线。点点用以表示不同的用以表示不同的对象，对象，点间的线段点间的线段表示该两对象间的某种关表示该两对象间的某种关联关系。联关系。图论的研究对象是图论的研究对象是“图图”。一图的基本概念一图的基本概念 1、电路的、电路的“图图”：由由点点和连接这些点的和连接这些点的边边构成。构成。例例:只要把只要把电路图电路图中的各支路的内容忽略不计，将其抽象为线中的各支路的内容忽略不计，将其抽象为线段，则为段，则为“图图”。即：支路用线段描述，结点用点描述。即：支路用线段描述，结点用点描述。电路的电路的图图是具有给定连接关系的
4、结点和支路的集合。是具有给定连接关系的结点和支路的集合。电路电路的的图图中，中，结点结点与与支路支路的特点的特点：（1）支路的端点必须是结点。支路的端点必须是结点。（2）允许有孤立结点存在。允许有孤立结点存在。（3）若移去一个结点，则应当把与该结点连接的全部支若移去一个结点，则应当把与该结点连接的全部支路都同时移去。路都同时移去。2、图的分类、图的分类:有向图：赋予支路方向的图。电流、电压取关联参考方向。有向图：赋予支路方向的图。电流、电压取关联参考方向。无向图：未赋予支路方向的图。无向图：未赋予支路方向的图。无向图无向图有向图有向图 3-2 KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数 一一KC
5、L的独立方程数的独立方程数 列列KCL方程：方程：（设定电流流出为正，流入为负）（设定电流流出为正，流入为负）123456123401641 i ii ii i：结结点点02321 i ii ii i：结结点点03652 i ii ii i：结结点点04543 i ii ii i：结结点点四个方程相加四个方程相加0=0每个支路电流从其中一个结点流出，必每个支路电流从其中一个结点流出，必然流入另一结点。因此，在所有然流入另一结点。因此，在所有KCL方方程中，程中，每个支路电流必然出现两次，一每个支路电流必然出现两次，一次为正，一次为负。次为正，一次为负。上述上述4个方程中个方程中只有只有任意任意
6、3个为独立的。个为独立的。1234561234结论结论:对于具有对于具有n个结点的电路，任意选取个结点的电路，任意选取(n-1)个个结点，可以得出结点，可以得出(n-1)个独立的个独立的KCL方程。方程。相应的相应的(n-1)个结点称为个结点称为独立结点独立结点。二二KVL独立方程数独立方程数 连通图连通图：当图的：当图的任意两个结点任意两个结点之间之间至少至少存在一条存在一条路径时，则图就称为路径时，则图就称为“连通图连通图”。KVL独立方程数独立方程数取决于电路的取决于电路的独立回路数独立回路数，利用利用连通连通图的图的“树树”的概念可以确定一个电路的独立回路组数的概念可以确定一个电路的独
7、立回路组数。12345867 连通图连通图例例:12345867 5867 连通图连通图树树树树T：一个连通图的树包含连通图的：一个连通图的树包含连通图的全部结点全部结点和和部部分支路分支路，但，但不包含回路不包含回路。例例:12345867 13586 5867 2457 3586 2586 不是树！不是树！12345867 5867 连通图连通图树树树的树的树支树支：树中包含的支路为该树的树支。树中包含的支路为该树的树支。5，6，7，8为树支；为树支；1，2，3，4为连支。为连支。树的树的连支连支：其它支路为对应于该树的连支。其它支路为对应于该树的连支。树支树支与与连支连支共同构成图的全部
8、的支路。共同构成图的全部的支路。树支数：树支数：对于一个具有对于一个具有n个结点的连通图，它的个结点的连通图，它的任何一任何一个个树的树的树支数树支数必为必为（n-1）个。个。连支数：连支数：对于一个具有对于一个具有n个结点个结点b条支路的连通图，它的条支路的连通图，它的任何一个树的任何一个树的连支数连支数必为必为 b-（n-1）个。个。对于连通图的任意一个树，加入一个连支后，形成一个对于连通图的任意一个树，加入一个连支后，形成一个回路，并且此回路除所加的连支外均由树支组成。称为回路，并且此回路除所加的连支外均由树支组成。称为“单连支回路单连支回路”或或“基本回路基本回路”。一个结构确定的连通
9、图对应很多个不同结构的一个结构确定的连通图对应很多个不同结构的“树树”，但每个树的但每个树的树支数树支数和和连支数连支数与对应的连通图是成确定的与对应的连通图是成确定的、相同的个数关系。、相同的个数关系。基本回路组：基本回路组：由连支形成的全部基本回路构成基本回路组。由连支形成的全部基本回路构成基本回路组。87654321876586438243独立回路数：独立回路数：对于一个结点数为对于一个结点数为n，支路数为，支路数为b的连通图，的连通图，其独立回路数为其独立回路数为b-（n-1）。一个电路的一个电路的KVL独立方程数等于它的独立回路数，即为其独立方程数等于它的独立回路数，即为其连支数连支
10、数.每个连支每个连支只在只在一个回路中出现，一个回路中出现，基本回路组是独立回路基本回路组是独立回路组。组。根据基本回路组列出的根据基本回路组列出的KVL方程组是独立方程组。方程组是独立方程组。平面图：平面图：如果把一个图画在平面上，能使它的各条支路除连接如果把一个图画在平面上，能使它的各条支路除连接的结点外不再交叉，这样的图为平面图。否则为的结点外不再交叉，这样的图为平面图。否则为非非平面图。平面图。例：例：P57图图3-6平面图的全部（内）网孔是一组独立回路，故平面图的平面图的全部（内）网孔是一组独立回路，故平面图的网孔数为其独立回路数。网孔数为其独立回路数。3-3 支路电流法支路电流法(
11、branch current method)支路电流法：支路电流法：以以支路电流支路电流为电路未知变量列写电路为电路未知变量列写电路方程，求解电路的方法。方程，求解电路的方法。一般步骤（一般步骤（P60P60）：）：（1 1）选定各支路电流的参考方向；）选定各支路电流的参考方向；（2 2）根据）根据KCLKCL对（对（n-1n-1）个独立结点列写电流方程；）个独立结点列写电流方程；（3 3）选取）选取b-b-（n-1n-1）个独立回路，指定回路的个独立回路，指定回路的绕行方向，列出用支路电流表示的绕行方向，列出用支路电流表示的KVLKVL方程。方程。注意：注意：电阻电压和电源电压表达式中正、负
12、号的选取。电阻电压和电源电压表达式中正、负号的选取。例例1：b=3,n=2 变量：变量：I1,I2 ,I3a:I1+I2=I3KCLKVL1、I1R1-I2R2+E2-E1=02、I2R2+I3R3-E2=0KCL:n-1R1E1I1R2E2I2I3R3baKVL:b-(n-1)12例例2：321_+_US1US2R1R2R5R3R4IS+例例3：321I3I1I4I5I2无伴电流源：无伴电流源：在电路中没有电阻与在电路中没有电阻与之并联的电流源；之并联的电流源；_+Ui1234结点结点：I3+IS=I1结点结点：I4+IS=I2结点结点：I4+I5=I3网孔网孔1：I3R3+I4R4+Ui=
13、0网孔网孔2：-Ui+I2R2-US2+I1R1-US1=0网孔网孔3：I5R5+US2-I2R2-I4R4=0 3-4 网孔电流法网孔电流法(Mesh current method)网孔电流法：网孔电流法：以以网孔电流网孔电流为电路未知变量列写电路为电路未知变量列写电路方程，求解电路的方法。方程，求解电路的方法。一、网孔电流一、网孔电流326215314632521431 00 0iiiiiiiiiiiiiiiiii该电路共有该电路共有6 6条支路和条支路和4 4个结点。对个结点。对、结点写出结点写出KCLKCL方程：方程：支路电流支路电流i i4 4、i i5 5和和i i6 6可以用另外
14、三个支路电流可以用另外三个支路电流i i1 1、i i2 2和和i i3 3的线性组合来表示。的线性组合来表示。3-5 回路电流法回路电流法(loop current method)326215314632521431 00 0iiiiiiiiiiiiiiiiii 电流电流i i4 4、i i5 5和和i i6 6是是非独立非独立电流，它们由电流，它们由独立独立电流电流i i1 1、i i2 2和和i i3 3的线性组合确定。这种线性组合的关系，可设想为电流的线性组合确定。这种线性组合的关系，可设想为电流i i1 1、i i2 2和和i i3 3沿每个网孔边界闭合流动而形成。沿每个网孔边界闭合
15、流动而形成。这种假设的在这种假设的在网孔内闭合流动的电流，称为网孔内闭合流动的电流，称为网孔电流网孔电流。它是一组能确定它是一组能确定全全部部支路电流的独立电流变量支路电流的独立电流变量。对于具有。对于具有b b条支路和条支路和n n个结点的个结点的平面连通电路来说，共有平面连通电路来说，共有 b-b-（n n-1)-1)个网孔电流。个网孔电流。i1=i m 1i2=i m 2im1im2im3i3=i m 3i4=i m1+i m3i5=i m1+i m2i6=i m2-i m3 对于具有对于具有b b条支路和条支路和n n个结点的平面连通电路来说，它个结点的平面连通电路来说，它的的b-b-
16、（n-1)n-1)个个网孔电流网孔电流就是一组独立电流变量。用网孔就是一组独立电流变量。用网孔电流作变量建立的电路方程，称为电流作变量建立的电路方程，称为网孔电流方程网孔电流方程。求解网求解网孔电流方程得到网孔电流后，最外围的支路电流孔电流方程得到网孔电流后，最外围的支路电流在参考方在参考方向一致的前提下向一致的前提下，等于对应的网孔电流；公共支路的支路，等于对应的网孔电流；公共支路的支路电流是网孔电流的代数和。电流是网孔电流的代数和。二、网孔电流方程二、网孔电流方程3S4466332S6655221S445511uiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR将以下各式代入上式，消去将以下各式代入
17、上式，消去i i4 4、i i5 5和和i i6 6后可以得到：后可以得到：326215314 iiiiiiiii网孔电流方程网孔电流方程3S314326332S326215221S31421511)()()()()()(uiiRiiRiRuiiRiiRiRuiiRiiRiR1S34251541)(uiRiRiRRRS236265215)(uiRiRRRiR3S36432614)(uiRRRiRiR 按图示绕行方向，写出三个网孔的按图示绕行方向，写出三个网孔的KVLKVL方程方程分别为：分别为：它们分别是各网孔内全部电阻的总和。它们分别是各网孔内全部电阻的总和。1S34251541)(uiRi
18、RiRRRS236265215)(uiRiRRRiR3S36432614)(uiRRRiRiR称为网孔自电阻（称为网孔自电阻（自阻自阻）1S34251541)(uiRiRiRRRS236265215)(uiRiRRRiR3S36432614)(uiRRRiRiR网孔与网孔间的共有电阻，称为网孔与网孔间的共有电阻，称为互电阻（互阻）互电阻（互阻），当两网当两网孔电流孔电流以相同方向流过公共电阻以相同方向流过公共电阻时取时取正正号号；当两网孔电流当两网孔电流以相反方向流过以相反方向流过公共电阻时取公共电阻时取负负号号。分别为各网孔中分别为各网孔中全部电压源电压全部电压源电压的代数和。各电压源的方的
19、代数和。各电压源的方向与网孔电流方向向与网孔电流方向一致取负号一致取负号；相反则取正号相反则取正号。1S34251541)(uiRiRiRRRS236265215)(uiRiRRRiR3S36432614)(uiRRRiRiR 三、网孔电流法应用思路三、网孔电流法应用思路 1 1在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网孔电流均选为顺时针孔电流均选为顺时针(或反时针或反时针)方向，则网孔电流方程的方向，则网孔电流方程的全部互阻项均取负号。全部互阻项均取负号。2 2用观察电路图的方法用观察电路图的方法直接列出各网孔电流方程直接列出各网孔电流方程。3
20、3求解网孔电流方程，得到各网孔电流。求解网孔电流方程，得到各网孔电流。4 4假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电流的线性组合关系，求得各支路电流。流的线性组合关系，求得各支路电流。5 5用用VCRVCR方程，求得各支路电压。方程，求得各支路电压。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2im1im2支路电流可由回路电流求出支路电流可由回路电流求出网孔电流分别为网孔电流分别为im 1，im 2 i1=i m 1i2=i m2-i m1i3=i m 2(R1+R2)im1-R2im2=uS1-uS2-R2im1+(R2+R3)im2=uS2例例1
21、：例例2 2：解：选定两个网孔电流解：选定两个网孔电流i i1 1和和i i2 2的参考方向，如图所示。的参考方向，如图所示。用观察电路的方法直接列出网孔电流方程：用观察电路的方法直接列出网孔电流方程：V10)21(1V5)1()11(2121iiii整理为整理为 A103A522121iiii 各支路电流分别为：各支路电流分别为：i1=1A,i2=-3A,i3=i1-i2=4A。例例3 3：用网孔电流法求图中电路各支路电流。用网孔电流法求图中电路各支路电流。解：选定各网孔电流的参考方向，如图所示。解：选定各网孔电流的参考方向，如图所示。用观察法列出网孔电流方程：用观察法列出网孔电流方程：V6
22、V25)163()6()1(V12V18)6()362()2(V18V6)1()2()212(321321321iiiiiiiiiA1 A3 A4A3 A2 A1236215134321iiiiiiiiiiii解：设电流源电压为解：设电流源电压为u u，考虑了电压，考虑了电压u u的网孔电流方程为：的网孔电流方程为：补充方程：补充方程：V10)2(V5)1(21uiuiA721ii求解以上方程得到：求解以上方程得到：V2 A4 A321uii例例4：含：含无伴电流源无伴电流源电路的网孔电流方程电路的网孔电流方程87654321876586438243i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2i
23、l1il2支路电流可由回路电流求出支路电流可由回路电流求出回路电流分别为回路电流分别为il 1，il 2 i1=i l 1i2=i l 2-i l 1i3=i l 2回路电流法：回路电流法：以假设的以假设的回路电流回路电流为未知变量，列写电路方为未知变量，列写电路方程分析电路的方法。程分析电路的方法。例例1：回路电流法：回路电流法：(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)il2=uS2例例2：用回路电流法求各支路电流。用回路电流法求各支路电流。解：解：(1)设独立回路电流设独立回路电流(顺时针顺时针)(2)列列 回路电流方程回路电流方程(R1+R2)Ia -
24、R2Ib =US1-US2-R2Ia+(R2+R3)Ib-R3Ic =US2-R3Ib+(R3+R4)Ic=-US4(3)求解回路电流方程，得求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic(4)求各支路电流：求各支路电流：I1=IaIaIcIb+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3+_ US4R4I4,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic支路电流法、回路电流法和结点电压法的比较：支路电流法、回路电流法和结点电压法的比较：（2）对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立结对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立结点较容易。点较容易。（3）回路法、结点法易于编程。目前用计算机分析网回路法、
25、结点法易于编程。目前用计算机分析网络（电网，集成电路设计等）采用结点法较多。络（电网，集成电路设计等）采用结点法较多。支路法支路法回路法回路法结点法结点法KCL方程方程KVL方程方程n-1b-（n-1）00n-1方程总数方程总数b-（n-1）n-1b-（n-1）b（1）方程数的比较）方程数的比较 3-6 结点电压法结点电压法(node voltage method)3、结点电压：结点电压：独立结点独立结点与与参考结点参考结点之间的电压。之间的电压。1、参考结点：参考结点：在电路中任意选择的某一结点。在电路中任意选择的某一结点。结点电压的参考极性以参考结点为结点电压的参考极性以参考结点为负负，其
26、余独立结点为，其余独立结点为正正。一、名词术语：一、名词术语：结点电压法：结点电压法：以以结点电压结点电压为未知变量，列写电路方程，分析电路的方法。为未知变量，列写电路方程，分析电路的方法。2、独立结点：独立结点：电路中的非参考结点。电路中的非参考结点。（2）列列KCL方程方程（方程左侧支流电流流出为（方程左侧支流电流流出为正，右侧以注入结点的电流正，右侧以注入结点的电流源的电流为正）：源的电流为正）：i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3un1un2-i3-i4+i5=-iS3012（1）选定参考结点，标选定参考结点，标明其余明其余n-1个独立结点个独立结点的结点电压的结点电压iS1
27、iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4S3S2S14n2n13n2n12n21n1iiiRuuRuuRuRu S35n24n2n13n2n1iRuRuuRuu 1n11Rui 3n2n13Ruui 2n12R Ru ui i 4n2n14Ruui 5n25Rui 二、结点电压方程二、结点电压方程S3S2S1n243n14321)11()1111(iiiuRRuRRRR S32n543n143)111()11(iuRRRuRR G1+G2+G3+G4 结点结点1的的自电导（自导），自电导（自导），等于接在结点等于接在结点1上上所有支路所有支路的电导之和的电导之和un1un2012i
28、S1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4G3+G4+G5 结点结点2的自电导，等于接在结点的自电导，等于接在结点2上上 所所有支路有支路的电导之和的电导之和 S3S2S1n243n14321)11()1111(iiiuRRuRRRR S32n543n143)111()11(iuRRRuRR un1un2012iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4-(G3+G4)结点结点1与结点与结点2之间的之间的互电导（互导），互电导（互导），等于等于接在结点接在结点1与结点与结点2之间的所有支之间的所有支路的电导之和，并路的电导之和，并冠以负号冠以负号S3S2S1n243
29、n14321)11()1111(iiiuRRuRRRR S32n543n143)111()11(iuRRRuRR un1un2012iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4iS1-iS2+iS3 流入结点流入结点1的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。-iS3 流入结点流入结点2的电流源电流的代数和的电流源电流的代数和1、指定、指定参考结点参考结点，其余结点对参考结点之间的电压就，其余结点对参考结点之间的电压就是结点电压。是结点电压。列写结点电压方程的步骤：列写结点电压方程的步骤：G11un1+G12un2+G1nunn=iSn1G21un1+G22un2+G2nunn
30、=iSn2 Gn1un1+Gn2un2+Gnnunn=iSnn2、按、按通式通式写出结点电压方程。写出结点电压方程。注意：注意：自导为正，互导总为负的自导为正，互导总为负的，并注意注入各结，并注意注入各结点电流的符号。点电流的符号。3、电路中含有、电路中含有受控源受控源时应按独立源来处理；含有时应按独立源来处理；含有无伴无伴电压源电压源时可选择该电压源的一端作为参考结点。时可选择该电压源的一端作为参考结点。提提 示示结点电压法应用时对应电路可能的结点电压法应用时对应电路可能的四种特殊情况四种特殊情况：1、存在电压源和电阻串联支路、存在电压源和电阻串联支路考虑此电路等效转换为电流源支路所对结点注
31、入的电流。考虑此电路等效转换为电流源支路所对结点注入的电流。2、存在无伴电压源支路、存在无伴电压源支路方法一：方法一：可引入此支路的支路电流变量，但同时要增加此可引入此支路的支路电流变量，但同时要增加此无伴电压源端电压与相关结点电压的关系式。无伴电压源端电压与相关结点电压的关系式。方法二：方法二：选择无伴电压源的低电位结点为参考结点；选择无伴电压源的低电位结点为参考结点；3、存在有电阻与之串联的电流源支路、存在有电阻与之串联的电流源支路视为单一电流源支路，所串联的电阻不会出现在结点电压视为单一电流源支路，所串联的电阻不会出现在结点电压方程式中。方程式中。4、含受控源支路、含受控源支路视为独立源
32、处理，同时添加控制量与结点电压之关系式视为独立源处理，同时添加控制量与结点电压之关系式un1un2uS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012+-特殊情况特殊情况1：存在电压源与电阻串联的支路：存在电压源与电阻串联的支路：(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4)un2=G1 uS1-iS2+iS3-(G3+G4)un1+(G3+G4+G5)un2=-iS3用结点电压法求各支路电流。用结点电压法求各支路电流。例例120k 10k 40k 20k 40k US1+120VUS2-240VUAUBI4I2I1I3I5I1=(120-UA)/20k=4.91mAI2=(UA
33、-UB)/10k=4.36mAI3=(UB+240)/40k=5.46mAI4=UA/40k=0.546mA各支路电流：各支路电流：解：解：20120101)101401201(BAUU40240)401201101(101BAUUUA=21.8V UB=-21.82VI5=UB/20k=-1.09mA+-+-试列写下图含试列写下图含无伴电压源无伴电压源电路的结点电压方程。电路的结点电压方程。方法方法1:设电压源电流变量，列方程设电压源电流变量，列方程方法方法2：选择合适的参考点选择合适的参考点G3G1G4G5G2+_Us231(G1+G2)U1-G1U2=-I-G1U1+(G1+G3+G4)
34、U2-G4U3=0-G4U2+(G4+G5)U3=I U1-U3=USU1=US-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0G3G1G4G5G2+_Us231I例例2增加一个结点电压与电压源间的关系增加一个结点电压与电压源间的关系特殊情况特殊情况2：存在无伴电压源支路存在无伴电压源支路U1U2U3U1U2U3(1)把受控源当作独立源看把受控源当作独立源看,列方程列方程(2)用结点电压表示控制量。用结点电压表示控制量。例例3 列写下图含列写下图含VCCS电路的结点电压方程。电路的结点电压方程。u=un1 S1211211)11(iuRuRRnn 123111111snnigu)uRR(uR 解解12iS1R1R3R2gu+u -un1 un2 特殊情况特殊情况3：含受控源支路：含受控源支路
