1、第二章第二章 6 6 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 第二章第二章 第二章第二章 6 课堂典例讲练课堂典例讲练 2 课课 时时 作作 业业 4 课前自主预习课前自主预习 1 易错疑难辨析易错疑难辨析 3 第二章第二章 6 课前自主预习课前自主预习 第二章第二章 6 数字化是当前社会的最大特色，任何一件事物都被数字化 了，当然这里的数字化强调的是数码，向量的数量积的几何运 算为我们展示的是一幅美丽的画卷，它解决了几何中与度量相 关的角度、长度(距离)等问题，向量的坐标运算又是如何展示 这些问题的呢？ 第二章第二章 6 1平面向量数量积的坐标运算 设a(x1，y1)，b(x2，y
2、2)，a与b的夹角为，则 (1)a b_； (2)|a|_； (3)若ab，则_； (4)cos_. 2直线的方向向量 给定斜率为k的直线l，则向量m(1，k)与直线l共线，我 们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量 x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x1x2y1y20 x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x 2 2y 2 2 第二章第二章 6 1已知平面向量a(3,1)，b(x，3)，且ab，则x等 于( ) A3 B1 C1 D3 答案 B 解析 ab，ab0，即3x1(3)0.解得x 1.故选B 第二章第二章 6 答案 D 解析 由ab1，得121x1，解得x1，故选 D
3、 2已知向量a(1，1)，b(2，x)若a b1，则x ( ) A1 B1 2 C1 2 D1 第二章第二章 6 3已知a(3，1)，b(1，2)，则向a与b的夹角为 ( ) A 6 B 4 C 3 D 2 答案 B 解析 设a，b的夹角为， 则cos 3112 3212 1222 2 2 ， 0 180 ， 4. 第二章第二章 6 4已知向量a与b的夹角为60 ，且a(2，6)，|b| 10，则a b_. 答案 10 解析 a(2，6)，|a| 4362 10， a b2 10 10cos60 10. 第二章第二章 6 5已知a(2,3)，b(1,4)，c(5,6)，那么(ab)c _，a(
4、bc)_. 答案 (50,60) (38,57) 解析 ab(2,3)(1,4)21210， (ab)c10(5,6)(50,60) bc(1,4)(5,6)52419， a(bc)(2,3)19(38,57) 第二章第二章 6 课堂典例讲练课堂典例讲练 第二章第二章 6 已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10，求： (1)向量a的坐标； (2)若c(2，1)，求(ac)b 思路分析 根据a与b共线设出a的坐标，再利用数量坐标 运算公式构建方程求得a的坐标，进而求(ac)b 平面向量数量积的坐标运算 第二章第二章 6 规范解答 (1)a与b同向，且b(1,2)， ab(，2)(0) 又ab
5、10， 410，2，a(2,4) (2)ac22(1)40， (ac)b0b0. 规律总结 向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量 式，另一种是坐标式，两者互相补充，通过向量的坐标运算可 实现向量问题的代数化，在解题中应注意与方程、函数等知识 联系 第二章第二章 6 (1)已知向量a(1，k)，b(2,2)，且ab与a共线，那么 ab的值为( ) A1 B2 C3 D4 (2)a(4,3)，b(5,6)，则3|a|24ab等于( ) A23 B57 C63 D83 答案 (1)D (2)D 第二章第二章 6 解析 (1)ab与a共线， aba，即(12，k2)(1，k) 由 3， k2k， 解
6、得 3， k1. 故a(1,1)，则a b12124. (2)|a|5，a b20182， 3|a|24a b3254(2)83. 第二章第二章 6 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 A(16,12)，B(5,15)求： 利用数量积的坐标表示求模与夹角 (1)|OA |，|AB |； (2)OAB 第二章第二章 6 思路分析 (1)设a(x，y)，则|a|x2y2，即向量 的模等于它的坐标平方和的算术平方根 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x2x1，y2y1)， 所以|AB |x2x12y2y12.所以|AB |的实质是A，B两 点间的距离，即线段AB的长度，这是向量模的几
7、何意义 (2)求角的问题，可转化为利用向量的夹角运算公式求 解 第二章第二章 6 规范解答 (1)由OA (16,12)， AB (516,1512)(21,3)得 |OA | 16212220， |AB | 2123215 2. 第二章第二章 6 (2)设AO 与AB 所成角为， 则cosOABcos AO AB |AO |AB | . 其中AO AB OA AB (16,12) (21,3)16(21) 123300. 故cosOAB 300 2015 2 2 2 ， 所以OAB45 . 第二章第二章 6 规律总结 求向量a与b的夹角的步骤： 计算ab，|a|，|b|； 利用夹角公式计算c
8、os； 根据范围0，确定夹角的大小 第二章第二章 6 已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c| 5，若(ab) c 5 2，求a与c的夹角 解析 依题意ab(1，2)，|a| 5， 设c(x，y)，而(ab) c5 2，x2y 5 2. 设a与c的夹角为，则 cos a c |a|c| x2y 5 5 5 2 5 1 2， a与c的夹角为120 . 第二章第二章 6 向量平行与垂直的坐标形式的应用 在ABC中，设AB (2,3)，AC (1，k)，且 ABC是直角三角形，求k的值 思路分析 ABC是直角三角形，故可以用aba b 0，但题中未明确哪个角是直角，故要分类讨论 第二章第二章 6
9、规范解答 若A90 ，则AB AC ， 于是213k0，得k2 3； 若B90 ，则AB BC .又BC AC AB (1，k3)， 故2(1)3(k3)0，得k11 3 ； 若C90 ，则AC BC ，故1(1)k(k3)0，得k 3 13 2 . 故所求k的值为2 3或 11 3 或3 13 2 . 第二章第二章 6 规律总结 充分利用公式：abab0x1x2y1y2 0，利用向量数量积的坐标表示，使两向量垂直的条件更加代 数化，因而其判定方法也更加简捷，在以后解题中要注意应 用 第二章第二章 6 设向量a(3，2)，b(1,2)，若ab与a垂直，则实数 _. 答案 13 解析 a(3，2
10、)，b(1,2)， ab(3，2)(1,2)(3，22) ab与a垂直， (3)3(22)(2)0. 13. 第二章第二章 6 直线的方向向量及应用 已知两条直线l1：yx，l2：axy0，其中a为 实数，当这两条直线的夹角为 4时，试求实数a的值 思路分析 给出直线，由直线的方向向量与直线平行， 两条直线的夹角问题即转化为两向量夹角问题 第二章第二章 6 规范解答 由题意，设直线l1的方向向量为m(1,1)，直 线l2的方向向量为n(1，a) 设两直线的夹角为，则cos 1a 2 1a2， 由于两直线的夹角为 4， 故| 1a 2 1a2| 2 2 ，解得a0. 第二章第二章 6 规律总结
11、通过直线的方向向量研究直线的夹角，但直 线的夹角与其方向向量的夹角并不一定是相同的这是由于向 量的夹角范围是0，而直线的夹角范围是0， 2 在本题 的求解中，不要将| 1a 2 1a2 | 2 2 中的绝对值符号漏掉，否 则容易引起结果错误 第二章第二章 6 已知直线l1：7xy10和直线l2：3x4y60，求直 线l1和l2的夹角 解析 任取直线l1和l2的方向向量 m(1，7)和n 1，3 4 第二章第二章 6 设向量m与n的夹角为， m n|m| |n|cos， 从而cos 117 3 4 127212 3 4 2 2 2 . 45 ，即直线l1和l2的夹角为45 . 第二章第二章 6 易错疑难辨析易错疑难辨析 第二章第二章 6 已知向量a(1，2)，b(1，)，若a与b的夹 角是锐角，求的取值范围 错解 因为a，b的夹角是锐角，故cos0，即 a b |a| |b| 0， 即a b0，又a(1，2)，b(1，)，则120，0时，0 0)，则120且 (1，2)m(1，)，即 1 2且2，所以 的取值范围是 1 2 且2. 规律总结 两向量的夹角的范围是0 180 ，而此 时1cos1.当为锐角(0 90 )，此时0cos1；当为 钝角(90 180 )，此时1cos0，若理解不清，往往导致 错误
