1、7 向量应用举例 1.1.知识目标：知识目标： （1 1）掌握利用向量方法解决平面几何问题，体会解析法）掌握利用向量方法解决平面几何问题，体会解析法 和向量方法的区别与联系和向量方法的区别与联系. . （2 2）会用向量方法解决物理问题，会用所学知识解决实）会用向量方法解决物理问题，会用所学知识解决实 际问题际问题. . 2.2.能力目标：能力目标：培养应用所学知识灵活解决问题的能力，培培养应用所学知识灵活解决问题的能力，培 养观察、分析、比较和判断的习惯，增强战胜困难的信心养观察、分析、比较和判断的习惯，增强战胜困难的信心. 3.3.情感目标：情感目标：培养学生的创新意识和乐观地对待困难的人
2、培养学生的创新意识和乐观地对待困难的人 生观生观. 【重点重点】体会向量在解决平面几何问题和物理问题中的作体会向量在解决平面几何问题和物理问题中的作 用用. . 【难点难点】用向量表示几何关系用向量表示几何关系. . 平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几 何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及 数量积表示出来数量积表示出来. .因此，平面几何中的某些问题可以用向因此，平面几何中的某些问题可以用向 量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需量方法来解决，但解决问题的数学思
3、想、方法和技能，需 要我们在实践中去探究、领会和总结要我们在实践中去探究、领会和总结. . 思考思考1 1 用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什 么？么？ 几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化向量关系几何化. . 仓库仓库 铁路铁路 仓库仓库 l . M 点到直线的距离点到直线的距离 l 一定是垂一定是垂 线段哟线段哟！ l M . o x y : Ax+By+C=0 (x0,y0) 点到直线的距离点到直线的距离 已知点已知点M(x0, y0)和直线和直线l:Ax+By+C=0. 则则P P点到直线点到直线 l
4、的距离的距离d为为: : 00 22 Ax +By +C d = A +B 点到直线的距离公式点到直线的距离公式 思考思考2 2 如何借助向量的方法来证明点到直线的距离公式？如何借助向量的方法来证明点到直线的距离公式？ . o x y M(x0,y0) P(x0,y0) n 00 M, P, :ABC0, B, A xy x y lxy v 是直线外一定点， 是直线上任意一点，由直 线可以取它的 方向向量 =.一般的，称与 直线的方向向量垂直的向量为该 直线 证明： 的法向量. l: Ax+By+C=0 0 2222 00 0 ,. , :0 : nAB n n ABAB M xy lAxBy
5、C PMn 于于是是，点点到到直直线线 的的距距离离等等于于向向量量 在在 方方向向上上射射影影的的长长度度 . o x y M(x0,y0) P(x0,y0) n 000 2222 0000 2222 , AB dPM nxx yy ABAB A xxB yyAxByAxBy ABAB 00 22 , . 又又因因为为为为 上上任任意意一一点点，所所以以 故故 P x ylcAxBy AxByC d AB 在使用该公式前，须将直线方程化为一般式在使用该公式前，须将直线方程化为一般式 A=0A=0或或B=0B=0，此公式也成立，但当，此公式也成立，但当A=0A=0或或B=0B=0时一般不时一般
6、不 用此公式计算距离用此公式计算距离 特别提醒特别提醒 当当A=0=0或或B=0=0时时, ,直线方程为直线方程为y= =y1 1或或x= =x1 1的形式的形式. . Q Q x y o x=x1 P(x0,y0) - 01 PQyy - 01 PQxx y o y=y1 (x0,y0) x P (x0,y1) (x1,y0) 11 2210例例求求到到直直线线 ：的的距距离离. .P,lxy 00 22 12211 2 11 21 5 21 1 25 由由点点到到直直线线的的距距离离公公式式，得得 所所以以到到直直的的离离 ： 线线距距为为 解解x,y,A,B,C. d, P,l. 例题讲
7、解例题讲解 【技巧方法技巧方法】 认清公式的形式，找准每一个变量代表认清公式的形式，找准每一个变量代表 的数值，准确带入，精确计算的数值，准确带入，精确计算. . P 0,3 ,3x +4y = 0; P -2,0 ,4x +3y-1= 0: P 0,0 ,4x +7y = 37; P -1,-2 ,x + y = 0; P 2,3 ,x -1= 0; p 1,-1 ,y+2 = 0. 求下列各点到相应直线的距离求下列各点到相应直线的距离 9 5 37 65 65 32 2 1 1 课堂练习课堂练习1 1 12 5 向量在几何中的应用向量在几何中的应用 例例2 2 已知已知ADAD，BEBE，
8、CFCF分别是分别是ABCABC的三条高，的三条高， 求证：求证：ADAD，BEBE，CFCF相交于同一点。相交于同一点。 C D E F B A H 思路分析思路分析 解决此类问题一般是将相关的线解决此类问题一般是将相关的线 段用向量表示，利用向量的三角形法段用向量表示，利用向量的三角形法 则和平行四边形法则，题目中的已知则和平行四边形法则，题目中的已知 条件进行运算，得出结果，再翻译成条件进行运算，得出结果，再翻译成 几何语言几何语言 . . 两两式式相相减减，得得， 即即所所以以， 又又 所所以以 ， ， 三三点点共共线线，在在上上. . CHCBCA CH AB,CHAB CHAB,C
9、FAB, CHFHCF 0 0 C D E F B A H 00 0 0 设设交交于于点点 ，以以下下只只需需 证证明明点点在在上上. .因因为为 所所以以 又又 ， 证证明明AD,BEH HCFADBC,BECA, AH CB,BH CA. CHCACBCH CBCA CB, CHCBCACH CACB CA 思考思考3 3 根据例题你能总结一下利用向量法解决平面几何根据例题你能总结一下利用向量法解决平面几何 问题的基本思路吗？问题的基本思路吗？ （1 1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
10、及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2 2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题；夹角等问题； （3 3）把运算结果“翻译”成几何元素）把运算结果“翻译”成几何元素. . 用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”： 简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形 向量在物理中的应用向量在物理中的应用 例例3 一架飞机从一架飞机从A地向北偏西地向北偏西60o的方向飞行的方向飞行1000km到到 达达B地，然后向地，然后向C地飞行。设地飞行。设C地恰好在地
11、恰好在A地的南偏西地的南偏西60o， ， 并且并且A，C两地相距两地相距2000km，求飞机从，求飞机从B地到地到C地的位移地的位移. B A D C 6060o o 6060o o 西西 南南 东东 北北 分析分析 要求飞机从要求飞机从B地到地到C地的位移，需要地的位移，需要 解决两个问题：解决两个问题： 利用解三角形的知识求线段利用解三角形的知识求线段BC的长度的长度 求求BC与基线的夹角与基线的夹角. 60km 60km60 1000km 1 3090 2 3 60km 2 o o oooo oooo o o 设设 在在东东西西基基线线和和南南北北基基线线的的交交点点处处. .依依题题意
12、意， 的的方方向向是是北北偏偏西西，； 的的方方向向是是 南南偏偏西西，. .所所以以 过过点点 作作东东西西基基线线的的垂垂线线，交交于于 ， 则则为为正正三三角角形形. .所所以以， . .所所以以. . =20=20 解解： 00,00, A ABABAC ACBAC. BACD ABDBDCD CBDBCDBDAABC BCAC sin 3km 3km 30o o =1000.=1000. 答答：飞飞机机从从 地地到到 地地的的位位移移大大小小是是10001000， 方方向向是是南南偏偏西西 BC BC . 技巧点拨技巧点拨 1.1.按照题意正确作图，按照题意正确作图， 2.2.分析图
13、形的边角关系，分析图形的边角关系， 3.3.利用平面几何的知识求出答案利用平面几何的知识求出答案. . 300 分析分析 本题是向量在物理学中本题是向量在物理学中“力学问题力学问题” 上应用的例子，可以清楚地看出向量的上应用的例子，可以清楚地看出向量的 直接作用，根据向量数量积的几何意义，直接作用，根据向量数量积的几何意义， 可知对物体所做的功即是表示力的向量可知对物体所做的功即是表示力的向量 和表示位移的向量的数量积和表示位移的向量的数量积. . 例例4 4 已知力已知力 与水平方向的夹角为与水平方向的夹角为30300 0（斜向上），大小（斜向上），大小 为为5050N，一个质量为，一个质量
14、为8 8kg的木块受力的木块受力 的作用在动摩擦因数的作用在动摩擦因数 =0.02=0.02的水平平面上运动了的水平平面上运动了2020m. .问力问力 和摩擦力和摩擦力 所做所做 的功分别为多少？（的功分别为多少？（g=10g=10m/ /s2 2） F F Ff F 1 F 2 F f G o o 所所以以，摩摩擦擦力力 的的大大小小为为 因因此此 答答 和和 所所做做的的功功分分别别是是500500和和-22-22 f fGFN . f sf scos.J . FfJJ. 180250 021 1 1801 1 20122 3 1 1 3 5020500 3 2 1 5025 2 o o
15、 o o 设设木木块块的的位位移移为为 ，则则 cos30cos30 将将力力 分分解解，它它的的铅铅垂垂线线方方向向上上的的分分力力 的的大大小小为为 sin30sin30 解解：s F sFsJ . FF FFN , 技巧点拨：技巧点拨： 1.1.将物理中的矢量用向量表示，将物理中的矢量用向量表示， 2.2.找出向量与向量的夹角，找出向量与向量的夹角， 3.3.利用向量的数量积计算功利用向量的数量积计算功. . 1 2 500 102 例例5 5 一一条条河河的的两两岸岸平平行行，河河宽宽，一一艘艘船船从从 出出发发航航行行到到河河的的正正对对岸岸 处处. .航航行行的的速速度度 ，水水流
16、流的的速速度度，问问行行驶驶航航程程最最 短短时时，所所用用的的时时间间是是多多少少？ .dmA Bv km / hvkm / h v v2 v1 A B 如如图图，已已知知， ， ，求求 vvv vkmh vkmh vvt 12 1 2 2 10/, 2/ . 思路分析思路分析 2 0由由已已知知条条件件得得: :解解：v v vvvkm h 22 12 |96(/), 所所以以 d t v 0.5 603.1(min). |96 技巧点拨：技巧点拨： 1.1.计算速度的合速度，计算速度的合速度， 2.2.计算时间必须使速度的方向和位移的方计算时间必须使速度的方向和位移的方 向一致向一致.
17、. 证明直径所对的圆周角是直角证明直径所对的圆周角是直角. A B C O 如图所示，已知如图所示，已知O O，ABAB为直径，为直径，C C 为为O O上任意一点上任意一点. .求证求证ACB=90ACB=90 a b 练习：练习： 要证要证ACB=90ACB=90，只须证向，只须证向 量量 ，即，即 . . ACCB 0AC CB 思路分析思路分析 解：解：设设 则则 ， 由此可得：由此可得： ,AOOBa OCb,ACab CBab AC CBabab 22 22 22 0ababrr 即即 ， ACB=90 0AC CB ,ACCB 注意注意: :用该公式时应先将直线方程化为一般式用该
18、公式时应先将直线方程化为一般式. . 1.1.点到直线距离公式：点到直线距离公式： ， 00 22 AxByC d AB （1 1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2 2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题；夹角等问题； （3 3）把运算结果“翻译”成几何元素）把运算结果“翻译”成几何元素. . 2.2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形 不奋苦而求速效，只落得少日浮夸， 老来窘隘而已。 郑板桥
