1、考考 点点 梳梳 理理 第第22课时课时 直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理课课 后后 作作 业业考考 点点 梳梳 理理 考点考点1直角三角形直角三角形核心考点核心考点直角三角形直角三角形互余互余斜边斜边的一半的一半斜边的斜边的一半一半斜边的一半斜边的一半互余互余一半一半考点考点2勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理核心考点核心考点【易错提醒易错提醒】勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能在同一直角三角形内利用它求第三边的三角形，解题时，只能在同一直角三角形内利用它求第三边的长长a2b2c2a2b2c2类型之一直角三角形的性质
2、类型之一直角三角形的性质 (1)(2015北京北京)如图如图221，公，公路路AC，BC互相垂直，公路互相垂直，公路AB的中点的中点M与点与点C被湖隔开若测得被湖隔开若测得AM的长为的长为1.2km，则，则M，C两点间的距离为两点间的距离为()A0.5km B0.6km C0.9km D1.2km图图221D(2)(2015襄阳襄阳)如图如图222，在，在ABC中，中，B30，BC的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点E，垂足为垂足为D，CE平分平分ACB.若若BE2，则，则AE的的长为长为 ()(2)在在ABC中，中，B30，BC的垂直平分线交的垂直平分线交AB于于E，BE2，BECE2，
3、BDCE30，图图222BAECBDCE2B60，CE平分平分ACB，ACEDCE30，A180BACB90.在在RtCAE中，中，A90，ACE30，CE2，【点悟点悟】在直角三角形中：在直角三角形中：(1)求角度时，通常利用求角度时，通常利用“直角三直角三角形两锐角互余角形两锐角互余”的性质；的性质；(2)遇遇30角时，通常要利用角时，通常要利用“30角所角所对的直角边等于斜边的一半对的直角边等于斜边的一半”的性质；的性质；(3)遇斜边上的中线时，要想遇斜边上的中线时，要想到到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质的性质【变式训练变式训练】1(2
4、015黄冈黄冈)如图如图223，在，在ABC中，中，C90，B30，边，边AB的垂直平分线的垂直平分线DE交交AB于点于点E，交，交BC于点于点D，CD3，则，则BC的长为的长为 ()图图223C【解析解析】DE是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，ADBD，DAEB30，ADC60，CAD30，AD为为BAC的角平分线，的角平分线，C90，DEAB，DECD3，B30，BD2DE6，BC9.2(2015宿迁宿迁)如图如图224所示，在所示，在RtABC中，中，ACB90，点，点D，E，F分别为分别为AB，AC，BC的中点若的中点若CD5，则，则EF的长为的长为_图图2245类型之二勾股定理类型
5、之二勾股定理 (2015永州永州)如图如图225，有两条公路，有两条公路OM，ON相交相交成成30角，沿公路角，沿公路OM方向离方向离O点点80 m处有一所学校处有一所学校A.当重型运输当重型运输卡车卡车P沿道路沿道路ON方向行驶时，在以方向行驶时，在以P为圆心为圆心50 m长为半径的圆形区长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校与学校A的距离越近噪声的距离越近噪声影响越大若已知重型运输卡车影响越大若已知重型运输卡车P沿道路沿道路ON方向行驶的速度为方向行驶的速度为18千米千米/时时(1)求对学校求对学校A的噪声影响最大时卡车的噪声影响最大时
6、卡车P与学校与学校A的距离；的距离；(2)求卡车求卡车P沿道路沿道路ON方向行驶一次给学校方向行驶一次给学校A带来噪声影响的带来噪声影响的时间时间图图225解解：(1)过点过点A作作ADON于点于点D，NOM30，AO80m，AD40m，答：对学校答：对学校A的噪声影响最大时卡车的噪声影响最大时卡车P与学校与学校A的距离为的距离为40 m；例例2答图答图重型运输卡车在经过重型运输卡车在经过BC段时对学校产生噪声影响，段时对学校产生噪声影响，且重型运输卡车的速度为且重型运输卡车的速度为18千米千米/时，即时，即5米米/秒，秒，重型运输卡车经过重型运输卡车经过BC时需要时需要60512秒秒答：卡车
7、答：卡车P沿道路沿道路ON方向行驶一次给学校方向行驶一次给学校A带来噪声影响的带来噪声影响的时间为时间为12秒秒【点悟点悟】勾股定理的作用是已知直角三角形的任意两边，求勾股定理的作用是已知直角三角形的任意两边，求第三边的长我们要会灵活运用勾股定理的不同形式求解在第三边的长我们要会灵活运用勾股定理的不同形式求解在RtABC中，中，C90，A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，勾股定理的不同形式有：，勾股定理的不同形式有：【变式训练变式训练】3(2014东营东营)如图如图226，有两棵树，一棵高，有两棵树，一棵高12 m，另一棵，另一棵高高6 m，两树相距，两树相距8 m一只鸟从一棵树的树
8、梢飞到另一棵树的树一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行了梢，小鸟至少飞行了_ m.图图22610 变式训练变式训练3答图答图【解析解析】根据根据“两点之间线段最短两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出间的距离求出如答图，可知如答图，可知AB12 m，CD6 m，过过C点作点作CEAB于于E，则四边形则四边形EBDC是矩形，是矩形，EB6 m，EC8 m，AEABEB1266 m，类型之三勾股定理的逆定理类型之三勾股定理的逆定理 (2
9、015桂林桂林)下列各组线段能构成直角三角形的一下列各组线段能构成直角三角形的一组是组是()A30，40，50 B7，12，13C5，9，12 D3，4，6【解析解析】A302402502，该三角形符合勾股定理的该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；逆定理，故是直角三角形，故正确；B72122132，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；不是直角三角形，故错误；AC5292122，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；不是直角三角形，故错误；D324262，该三角形不符合
10、勾股定理的逆定理，故该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误故选不是直角三角形，故错误故选A.【点悟点悟】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应先确定最大边，然后验证两条短边的平方和角形的重要方法，应先确定最大边，然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方是否等于最大边的平方【变式训练变式训练】4(2015崇左崇左)下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是是 ()A1，2，3 B2，3，4D类型之四勾股定理与拼图类型之四勾股定理与拼图 图图227是一株美丽的勾股是一株
11、美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为的面积分别为2，5，1，2，则最大的，则最大的正方形正方形E的面积是的面积是_图图227【解析解析】根据勾股定理的几何意义，可得根据勾股定理的几何意义，可得A，B的面积和为的面积和为S1，C，D的面积和为的面积和为S2，S1S2S3，于是，于是S3251210.【点悟点悟】图图227中中S3S1S2的结论，常用于解决的结论，常用于解决“勾股树勾股树”类的面积问题类的面积问题10【变式训练变式训练】5如图如图228，四边形，四
12、边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，都是正方形，边长分别为边长分别为a，b，c，A，B，N，E，F五点在同一条直线上，则五点在同一条直线上，则c _(用含有用含有a，b的代数式表示的代数式表示)图图2286(2015烟台烟台)如图如图229，正方形，正方形ABCD的边长为的边长为2，其面积标记为，其面积标记为S1，以，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为方形，其面积标记为S2，按照此规律按照此规律继续下去，则继续下去，则S2 015的值为的值为 ()图图229C类型之
13、五平面展开最短线段问题类型之五平面展开最短线段问题 (2015资阳资阳)如图如图2210，透明，透明的圆柱形容器的圆柱形容器(容器厚度忽略不计容器厚度忽略不计)的高为的高为12 cm，底面周长为，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底，在容器内壁离容器底部部3 cm的点的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点的点A处，则处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长是蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长是 ()图图2210A【点悟点悟】在求几何体表面上两点之间的最短距离时，可以通在求几何体表面上两点之间的最短距离时，可以通过把立体图形展开成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上过把立体图形展开成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离两点之间的距离例例5答图答图 【变式训练变式训练】7(2015东营东营)如图如图2211，一只蚂蚁沿，一只蚂蚁沿着边长为着边长为2的正方体表面从点的正方体表面从点A出发，经过出发，经过3个个面爬到点面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为的长为_图图2211变式训练变式训练7答图答图课课 后后 作作 业业
