1、庄河高中数学组庄河高中数学组 李天作李天作 空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算 1空间向量的直角坐标运算：空间向量的直角坐标运算： 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系 Oxyz，分别分别沿沿 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴的轴的 正方向引单位向量正方向引单位向量, , ij k， 这三个互相垂直的单位向量构成， 这三个互相垂直的单位向量构成 空间向量的一个空间向量的一个基底基底, , ij k，这个基底叫做，这个基底叫做单位正交基单位正交基 底底。单位向量。单位向量, , ij k都叫做都叫做坐标向量坐标向量。 a 3k a 2j a 1i j k i a z y x O 空间直角
2、坐标系空间直角坐标系 Oxyz， 也常说成空间直角， 也常说成空间直角 坐标系坐标系O；, , ij k。 在空间直角坐标系中，已知任一向量在空间直角坐标系中，已知任一向量a， 根据根据空间向量分解定理空间向量分解定理，存在，存在惟一惟一实实数组数组(a1， a2， a3)， 使使 123 aa ia ja k， 123 , , a i a j a k 分别为向量分别为向量a在在, , ij k方向上的分向量，方向上的分向量，有有 序实数组序实数组(a1，a2，a3)叫做向量叫做向量a在此直角坐标在此直角坐标 系中的坐标系中的坐标。上式可。上式可简记作简记作a=(a1，a2，a3)。 于是，我
3、们在空间向量集合的元素与三于是，我们在空间向量集合的元素与三 元有序实数组集合之间建立起了元有序实数组集合之间建立起了一一对应一一对应 关系关系，即，即 123 ( ,)aaa a P zk yj xi j k i a z y x O 在空间直角坐标系在空间直角坐标系 Oxyz 中，对空间任一点中，对空间任一点 P， 相 对 于 原点 确定 了一 个 向量， 相 对 于 原点 确定 了一 个 向量OP， 设， 设 OPxiy jzk，则，则(x，y，z)也就是点也就是点 P 的的 坐标，即坐标，即 P(x，y，z)， 设设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则，则 212121
4、(,)ABOBOAxx yy zz， 这就是说，这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐一个向量在直角坐标系中的坐 标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标 减去起点的坐标。减去起点的坐标。 1212 ( ,),( ,)aa abb b设设则则 ;ab ;ab ;a ;a b 1122 (,)ab ab 1122 (,)ab ab 12 (,)aa 1 122 a ba b 【新知探究新知探究】 类类 比比 推推 广广 123123 ( ,),( ,)aa a abb b b设设则则 ;ab ;ab ;a ;a b 112233 (,)ab ab ab 11
5、2233 (,)ab ab ab 123 (,)aaa 1 1223 3 a ba ba b 空间向量的坐标运算法则：空间向量的坐标运算法则： 平面平面向量的坐标运算法则：向量的坐标运算法则： ; a a a 22 12 aa ; a a a 222 123 aaa 1212 (,),( ,)aa abb b设设则则 【新知探究新知探究】 平面向量运算的坐标表示：平面向量运算的坐标表示： 类类 比比 推推 广广 123123 ( ,),( ,)aa a abb b b设设则则 空间向量运算的坐标表示：空间向量运算的坐标表示： / ; ab ab ()abR 1122 ,()ab abR 0a
6、b 1 122 0a ba b cos, ; a b a b a b 1 122 2222 1212 a ba b aabb / ; ab ab ()abR 112233 ,()ab ab abR 0a b 1 12233 0a ba ba b cos, ; a b a b a b 1 1223 3 222222 123123 a ba ba b aaabbb 312 123 / / aaa ab bbb 当当 与三个坐标平面都不平行时，与三个坐标平面都不平行时， b 12 12 / / aa ab bb 当当 与二个坐标轴都不平行时，与二个坐标轴都不平行时， b 222 212121 |()
7、()() AB dABxxyyzz 在空间直角坐标系中，已知在空间直角坐标系中，已知 、 ，则，则 111 (,)A xyz 222 (,)B xyz 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 【新知探究新知探究】 22 2121 |()() AB dABxxyy 在平面直角坐标系中，已知在平面直角坐标系中，已知 、 ，则，则 11 (,)A xy 22 (,)B xy 例例 1已知已知 O 为坐标原点，为坐标原点，A、B、C 三点的坐标分别是三点的坐标分别是(2， 1，2)、(4，5，1)、(2，2，3)求点求点 P 的坐标，使：的坐标，使： (1)OP1 2( ABAC)；(2) AP1
8、2( ABAC) 解：解：AB(2，6，3)，AC(4，3，1) (1) OP1 2(6， ，3，4)(3，3 2， ，2)， 则点则点 P 的坐标为的坐标为(3，3 2， ，2) (2)设设 P 为为(x，y，z)，则，则AP(x2，y1，z2) 1 2( ABAC)AP(3，3 2， ，2)， x5，y1 2， ，z0，则点，则点 P 坐标为坐标为(5，1 2， ，0). 例例 2已知已知 a(1，0，2)，b(6，21，2)，ab， 则则 与与 的值分别为的值分别为 ( ) A.1 5， ，1 2 B5，2 C2 5， ，1 2 D 5，2 例例 3已知空间三点已知空间三点 A(2，0，
9、2)，B(1，1，2)， C(3，0，4)，设，设 aAB，bAC.若向量若向量 kab 与与 ka2b 互相垂直，求互相垂直，求 k 的值的值 5 2 2 kk 或或 练习练习已知向量已知向量a=(2，2，0)，b=(2，0，2)， 求向量求向量n，使得，使得na且且nb。 解：设解：设n=(x，y，z)， 则则n a=(x，y，z)(2，2，0)=2x+2y=0， n b=(x，y，z)(2，0，2)=2x+2z=0， 解方程组解方程组 0 0 xy xz ，这个方程组有三个，这个方程组有三个 未知数，但只有两个方程，不妨把未知数未知数，但只有两个方程，不妨把未知数 x 当当 作已知，求作
10、已知，求 y，z. 可得可得 y=x，z=x，于是，于是n=(x， x，x)=x(1，1，1)。 例例 4已知已知 A(1，1，0)，B(0，3，0)，C(2，2，3)， 求（求（1）,AB AC； （2）AC在在AB上正投影的数量。上正投影的数量。 D C B A z y x O 解：（解：（1）由点）由点 A，B，C 的坐标可求得的坐标可求得 ( 1,2,0)AB ，(1,1,3)AC ， |5, |11ABAC， 1 12 1 0 31AB AC ， 因此因此 1 cos, | |55 AB AC AB AC ABAC 。 （2）AC在在AB上正投影的数量上正投影的数量 AD=|cos,
11、ACAB AC= 11 11 555 . 解：解：不妨设已知正方体的棱长为个单位长度，不妨设已知正方体的棱长为个单位长度， 且设且设DAi，DCj， 1 DDk 以以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系为坐标向量建立空间直角坐标系Dxyz， 则点则点 B、E1、D、F1的坐标分别为的坐标分别为 B(1,1,0)， E1(1, 4 3 ,1)，D(0,0,0)， F1(0, 4 1 ,1) 例例 5如图，在正方体如图，在正方体 1111 DCBAABCD中，中， 4 11 1111 BA FDEB，求，求 1 BE与与 1 DF所成的角的所成的角的 余弦值余弦值 1 BE(1, 4 3 ,1)
12、(1,1,0)(0, 4 1 ,1)， 1 DF(0, 4 1 ,1)(0,0,0)(0, 4 1 ,1) 4 17 | 1 BE， 4 17 | 1 DF， 1 BE 1 DF 16 15 cos 1 BE, 1 DF 17 15 |DF| 11 11 BE DFBE 练习、练习、 如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面侧棱垂直于底面 的棱柱的棱柱)ABCA1B1C1中，中， CACB1， BCA 90 ，棱，棱 AA12，N 为为 A1A 的中点的中点 (1)求求 BN 的长；的长； (2)求求 1 BA与与 1 B C夹角的余弦值夹角的余弦值 精解详析精解详析 如图，以如图，以
13、CA，CB， 1 CC为正交基底建立空为正交基底建立空 间直角坐标系间直角坐标系 Cxyz. (1)依题意得依题意得 B(0，1，0)，N(1，0，1)， |BN| （10）2（01）2（10）2 3，线段线段 BN 的长为的长为 3. (2)依题意得依题意得 A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， 1 BA(1，1，2)， 1 CB(0，1，2)， 1 BA 1 CB1 0(1) 12 23. 又又| 1 BA| 6，| 1 CB| 5， cos 1 BA， 1 CB 11 11 | BA CB BACB 30 10 ， 即即 1 BA与与 1 CB夹角的余弦值为夹角的余
14、弦值为 30 10 . 练习练习1在在ABC中，已知中，已知 (2, 4, 0), (1, 3, 0)，则，则ABC. AB BC 135 2已知空间三点已知空间三点A(0, 2, 3), B(2, 1, 6), C(1, 1, 5) 求以向量求以向量ACAB,为一组邻边的平行四边形的为一组邻边的平行四边形的 面积面积 S； 若向量若向量a分别与向量分别与向量ACAB,垂直，且垂直，且|a| 3，求向量，求向量a的坐标。的坐标。 7 3S (1,1,1)( 1, 1, 1)aa 或 今天你学到了什么呢？今天你学到了什么呢？ 1.1.基本知识：基本知识： （1）向量的加减、数乘和数量积运算的坐标
15、）向量的加减、数乘和数量积运算的坐标 表示；表示； （2）两个向量的夹角公式和垂直、平行判定）两个向量的夹角公式和垂直、平行判定 的坐标表示。的坐标表示。 2.2.思想方法：思想方法： 用向量坐标法计算或证明几何问题用向量坐标法计算或证明几何问题 (1) 建立直角坐标系，建立直角坐标系， (2)把点、向量坐标化，把点、向量坐标化， (3)对向量计算或证明。对向量计算或证明。 【课堂小结课堂小结】 欢迎你的提问！ 课本第 92.93.94页练习题、习题 能力培养 作业作业 1 1: : 已知已知A 0,2,3)B2,1,6), (1, 1,5)C（、 （, , 则则ABC的面积的面积 S S=_
16、.=_. ( ,2,1)ax , , 2 ( 3, 5)bx 且且a与与b的夹角为的夹角为 钝角，则钝角，则x的取值范围为的取值范围为 . . 7 3 2 5 ( 1, ) 2 32, 1,2,18 41,2,1 ,1,3,4 ,2, 51,5, 2 ,2,4,1 ,3, aa zz ABAPPBOP ABC pq pq 与共线 且满足的 则 三点共线，则 4, 2 , 4 3 , 3 8 , 3 1 3 4 证明：证明：如图，不妨设正方体的棱长为如图，不妨设正方体的棱长为 1 1， 分别以分别以DA、DC、 1 DD为单位正交基底为单位正交基底 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyz， （6 6） 如图， 正方体如图， 正方体 1111 ABCDA B C D 中，中，E，F分别是分别是 1 BB， 11 D B 中点，求证：中点，求证： 1 EFDA 则则 1 (1,1,) 2 E， 1 1 ( ,1) 2 2 F 所以所以 11 1 (,) 22 2 EF ， 又又 1(1,0,1) A，(0,0,0)D， 所以所以 1 (1,0,1)DA 所以所以 1 11 1 (,) (1,0,1)0 22 2 EF DA ， 因此因此 1 EFDA ，即，即 1 EFDA
