1、教教 学学 教教 法法 分分 析析 课课 前前 自自 主主 导导 学学 当当 堂堂 双双 基基 达达 标标 易易 错错 易易 误误 辨辨 析析 课课 后后 知知 能能 检检 测测 课课 堂堂 互互 动动 探探 究究 教教 师师 备备 选选 资资 源源 32.2 复数的乘法 32.3 复数的除法 三维目标三维目标 1知识与技能知识与技能 掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则 2过程与方法过程与方法 通过复数除法的运算过程理解复数的除法运算实质是通过复数除法的运算过程理解复数的除法运算实质是 分母实数化问题分母实数化问题 3情感、态度与价值观 通过对复数除法
2、法则合理性的探究，让学生用联系的观点看问题，培 养学生的探索精神 重点难点 重点：复数代数形式的乘除法运算 难点：复数除法运算及应用 【问题导思】 1设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)类比两个多项式相乘，应 如何规定两复数相乘？ 【提示】 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结 果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可即z1z2(abi)(c di)acbciadibdi2(acbd)(bcad)i. 2问题1中规定的复数的乘法运算是否满足交换律？ 【提示】 满足 z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i， z2z1(cdi)(abi)(acbd)(b
3、cad)i. 故z1z2z2z1. 复数的乘法 (1)定义 (abi)(cdi) (2)运算律 对任意z1，z2，z3C，有 (acbd)(adbc)i 交换律交换律 z1 z2_ 结合律结合律 (z1 z2) z3_ 乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律 z1 (z2z3)_ z2z1 z1(z2z3) z1z2z1z3 复数的乘方复数的乘方 任意复数任意复数 z，z1，z2和自然数和自然数 m，n，有，有 zmzn ，(zm)n ， (z1z2)n . zm n zmn zn 1 zn 2 【问题导思】【问题导思】 类比根式除法的分母有理化，比如类比根式除法的分母有理化，比如 1 2 2
4、3 （1 2）（2 3） （2 3）（）（2 3），你能写出复数的除法法则吗？ ，你能写出复数的除法法则吗？ 【提示】【提示】 能，能，a bi cdi （ （abi）（）（cdi） （cdi）（）（cdi）. 复数的除法法则复数的除法法则 设设 z1abi，z2cdi(cdi0)， z1 z2 a bi cdi _ （acbd）（）（bcad）i c2d2 (1)(1i)(1i)( 3i)(1 3i)_； (2)把复数把复数 z 的共轭复数记作的共轭复数记作 z，i 为虚数单位，若为虚数单位，若 z 1i，则，则(1z)_； (3)若若(xi)iy2i(x，yR)，则复数，则复数 xyi _
5、 【自主解答】【自主解答】 (1)(1i)(1i)( 3i)(1 3i) (1i)(1i)( 3i2i)(1 3i) i(1i)2(1 3i)(1 3i) i(2i)12( 3i)2 8. (3)由(xi)iy2i得1xiy2i，根据复数相等的条件知x2，y 1.xyi2i. 【答案】 (1)8 (2)3i (3)2i 1两个复数代数形式乘法的一般方法： 首先按多项式的乘法展开；再将i2换成1；然后再进行复数的加、减 运算，化简为复数的代数形式 2常用公式： (1)(abi)2a22abib2(a，bR)； (2)(abi)(abi)a2b2(a，bR)； (3)(1i)22i. 在复平面内复
6、数在复平面内复数(1bi)(2i)(i 是虚数单位，是虚数单位， b 是实数是实数) 表示的点在第四象限，则表示的点在第四象限，则 b 的取值范围是的取值范围是( ) Ab1 2 C1 2b2 D b0， 12b0，即 即 b1 2. (1)复数复数 2i 12i的共轭复数是 的共轭复数是( ) A3 5i B.3 5i Ci Di (2)(2012 山东高考山东高考)若复数若复数 z 满足满足 z(2i)117i(i 是是 虚数单位虚数单位)，则，则 z 为为( ) A35i B35i C35i D35i 【思路探究】 (1)先做除法运算，再求共轭复数(2)利用方程的思想 求解(3)先做除法
7、，然后根据纯虚数列方程求解 (3)设设 i 是虚数单位，复数是虚数单位，复数1 ai 2i 为纯虚数，则实数为纯虚数，则实数 a 为为( ) A2 B2 C1 2 D. 1 2 【自主解答】【自主解答】 (1) 2i 12i （2i）（）（12i） （12i）（）（12i） 5i 5 i， 2i 12i的共轭复数是 的共轭复数是i. (2)z(2i)117i， z11 7i 2i （ （117i）（）（2i） （2i）（）（2i） 15 25i 5 35i. 【答案】 (1)C (2)A (3)A (3) 1ai 2i （1ai）（）（2i） （2i）（）（2i） 2a 5 12a 5 i，由
8、，由 1ai 2i 是纯虚数，则是纯虚数，则2 a 5 0，1 2a 5 0，所以，所以 a2. 1两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形 式 2常用公式常用公式 (1)1 i i；(2)1 i 1i i；(3)1 i 1i i. 【解析】 (1)设zabi(a，bR)，则(1i)(abi)2i，即(ab) (ba)i2i. (1)(2013 课标全国卷课标全国卷)设复数设复数 z 满足满足(1i)z2i， 则则 z( ) A1i B1i C1i D1i (2)（ （
9、1i）（）（43i） （2i）（）（1i） _ 根 据 复 数 相 等 的 充 要 条 件 得根 据 复 数 相 等 的 充 要 条 件 得 a b0， ba2， 解 得解 得 a 1， b1， z1i.故选故选 A. (2)法一法一 （1i）（）（43i） （2i）（）（1i） 17i 13i （17i）（）（13i） 10 2i. 【答案】 (1)A (2)2i 法二法二 （1i）（）（43i） （2i）（）（1i） 1i 1i 43i 2i i（43i）（）（2i） 5 （34i）（）（2i） 5 105i 5 2i. 计算i1i2i3i2 014. 【思路探究】 本题中需求多个in和的
10、值，求解时可考虑利用等比数 列求和公式及in的周期性化简；也可利用inin1in2in30(nN) 化简 【 自 主 解 答 】【 自 主 解 答 】 法 一法 一 原 式 原 式 i（1i2 014） 1i i1（i2）1 007 1i i（ （11） 1i 2i 1i i1. 法二 i1i2i3i40， inin1in2in30(nN)， i1i2i3i2014， (i1i2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 009i2 010i2 011i2 012)i2 013 i2 014ii2i1. 虚数单位i的周期性： (1)i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN) (2)inin
11、1in2in30(nN) 把本例变为把本例变为1 i 1i 1i 1i 2 1i 1i 3 1i 1i 10，试 ，试 求值求值 【解析】【解析】 1 i 1i i， 原式原式ii2i3i10i1 2310 i55i3i. 记错记错 i2的值而致误的值而致误 计算计算 2i3 1 2i. 【错解】【错解】 2i3 1 2i 2i 1 2i （ （ 2i）（）（1 2i） 1 2 2i. 【错因分析】【错因分析】 错解中有两处错的地方：错解中有两处错的地方：i3应该等于应该等于 i，所以，所以 2i3 2i，(1 2i)(1 2i)1( 2i)2 123. 【防范措施】 在进行复数的乘除法运算时
12、，灵活运用i的性质，并注 意一些重要结论的灵活运用 【正解】【正解】 2i3 1 2i 2i 1 2i （ 2i）（）（1 2i） （1 2i）（）（1 2i） 22ii 2i2 3 3i 3 i. 【答案】 B 1i 是虚数单位，是虚数单位， i 33i ( ) A.1 4 3 12 i B.1 4 3 12 i C.1 2 3 6 i D.1 2 3 6 i 【解析】【解析】 i 33i i（ （ 33i） 39 3i3 12 1 4 3 12i. 【答案】 D 2若若 z1 2i i ，则复数，则复数 z( ) A2i B2i C2i D2i 【解析】【解析】 z1 2i i （ （12
13、i）（）（i） i（i） 2i， z2i. 【答案】 二 3(2014 大连高二检测大连高二检测)复数复数(34i)i 2i 1i 2在复平 在复平 面上对应的点位于第面上对应的点位于第_象限象限 【解析】【解析】 (34i)i 2i 1i 2 3i4 （ 2i）2 （1i）2 3i 4 2 2i 3i41 i 3i4i42i， 所以对应的点， 所以对应的点 (4，2)在第二象限在第二象限 4已知复数已知复数 z 满足满足|z| 5，且，且(12i)z 是实数，求是实数，求 . 【解】【解】 设设 zabi(a， bR)， 则， 则(12i)z(12i)(a bi)(a2b)(b2a)i，又因
14、为，又因为(12i)z 是实数，所以是实数，所以 b2a0，即，即 b2a，又，又|z| 5，所以，所以 a2b25，解得，解得 a 1，b 2， z12i 或或12i， 12i 或或12i， (12i) 设设 z 是虚数，是虚数，z1 z是实数，且 是实数，且12，求，求|z|的的 值及值及 z 的实部的取值范围的实部的取值范围 【思路探究】【思路探究】 设出虚数设出虚数 z 的代数形式，化简的代数形式，化简 z 1 z，找出 ，找出 的实部、虚部，列出不等式求解的实部、虚部，列出不等式求解 【自主解答】【自主解答】 z 是虚数，是虚数， 可设可设 zxyi(x、 yR 且且 y0)， 可得
15、可得 z 1 z (xyi) 1 xyi xyi xyi x2y2 x x x2y2 y y x2y2 i. 是实数，且是实数，且 y0，1 1 x2y2 0，即，即 x2y2 1， |z|1，此时，此时 2x.由由1w2 得得12x2， 1 2x1，即 ，即 z 的实部的取值范围是的实部的取值范围是 1 2， ，1 . 复数的代数形式是zxyi(x，yR)，所以任一个复数都可由实数对(x， y)唯一确定，利用复数的代数形式，在处理复数的基本概念、复数相 等、复数的模、复数对应点的轨迹问题时，都可以化归为实数x，y应 满足的条件的问题，即复数问题实数化，这一思想方法渗透于复数的 各个知识点 满足满足 z5 z是实数，且 是实数，且 z3 的实部与虚部是相反数的实部与虚部是相反数 的虚数的虚数 z 是否存在？若存在，求出虚数是否存在？若存在，求出虚数 z，若不存在，请，若不存在，请 说明理由说明理由 【解】【解】 设虚数设虚数 zxyi(x，yR，且，且 y0)，则，则 z 5 z xyi 5 xyi x 5x x2y2 y 5y x2y2 i， 由由已知得已知得 y 5y x2y2 0， x3y. y0， x2 y25， xy3. 解得解得 x 1， y2，或 或 x 2， y1. 存在虚数存在虚数 z12i 或或 z2i 满足以上条件满足以上条件
