1、正态分布 复习 样本容量增大时 频率分布直方图 频率 组距 产品 尺寸 (mm) 总体密度曲 线 离散型随机变量的概率分布规律用分离散型随机变量的概率分布规律用分 布列描述，而连续型随机变量的概率布列描述，而连续型随机变量的概率 分布规律用密度函数（曲线）描述。分布规律用密度函数（曲线）描述。 引入引入 1.正态分布的定义正态分布的定义: 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ),(x 2.正态曲线的定义：正态曲线的定义： 函数函数 (式中的实数式中的实数、(0)是参数，分别表示是参数，分别表示 总体的平均数与标准差总体的平均数与标准差)，的图象称的图象称为为正态曲线正态曲线 产品
2、尺寸 (mm) 总体平均数总体平均数反映总体随机变量的反映总体随机变量的 平均水平平均水平 总体标准差总体标准差反映总体随机变量的反映总体随机变量的 集中与分散的程度集中与分散的程度 平均数平均数 的意义的意义 1 2 的意义的意义 x x= 正态总体正态总体的函数表示式的函数表示式 当= 0，=1时 2 2 2 )( 2 1 )( x exf ),(x 2 2 2 1 )( x exf 标准正态总体标准正态总体的函数表示式的函数表示式 ),(x 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 =0 =1 标准正态曲线 2 1 , 0( （， （，+） （1）当 = 时,函数值为最大. (3) 的图
3、象关于 对称. （2） 的值域为 （4）当 时 为增函数. 当 时 为减函数. )(xf )(xf x x x )(xf )(xf 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 =0 =1 标准正态曲线标准正态曲线 正态总体正态总体的函数表示式的函数表示式 2 2 2 )( 2 1 )( x exf ),(x = x 例例1、下列函数是正态密度函数的是（、下列函数是正态密度函数的是（ ） A. B. C. D. 2 2 () 2 1 ( ), , (0) 2 x f xe 都是实数 2 2 2 ( ) 2 x f xe 2 (1) 4 1 ( ) 2 2 x f xe 2 2 1 ( ) 2 x
4、f xe B 0 1 2 -1 -2 x y -3 = -1 =0.5 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 =0 =1 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 4 =1 =2 （1 1）曲线在）曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交轴不相交. . （2）曲线是单峰的）曲线是单峰的,它关于直线它关于直线x=对称对称. 3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质 （4）曲线与）曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1 （3）曲线在）曲线在x=处达到峰值处达到峰值(最高点最高点) 1 1 22 2 2 () 2 1 ( ),(,) 2 x xex =0.5 0 1 2 -1 -2 x y -3
5、 3 X= =1 =2 (6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定 . 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. （5）当）当 x时时,曲线下降曲线下降.并且当曲线并且当曲线 向左、右两边无限延伸时向左、右两边无限延伸时,以以x轴为渐近线轴为渐近线,向它无限靠近向它无限靠近. 3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质 2 2 () 2 1 ( ) 2 x xe 例例2、把一个正态曲线、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动沿着横轴方向向右移动2个单
6、个单 位，得到新的一条曲线位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是。下列说法中不正确的是 （ ） A.曲线曲线b仍然是正态曲线；仍然是正态曲线； B.曲线曲线a和曲线和曲线b的最高点的纵坐标相等的最高点的纵坐标相等; C.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为为 概率密度曲线的总体的期望大概率密度曲线的总体的期望大2; D.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为为 概率密度曲线的总体的方差大概率密度曲线的总体的方差大2。 D 正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律 X轴与正态曲线所夹面积恒等于
7、轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。对称区域面积相等。 S(-,-X) S(X,)S(-,-X) 正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律 对称区域面积相等。对称区域面积相等。 S(-x1, -x2) -x1 -x2 x2 x1 S(x1,x2)=S(-x2,-x1) 4、特殊区间的概率、特殊区间的概率: - a + a x= 若若XN ,则对于任何实数则对于任何实数a0,概率概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和和 而言，该面而言，该面 积随着积随着 的减少而变大。这说明的减少而变大。这说明 越小越小, 落在区间落在区间 的概率越大
8、，即的概率越大，即X集中在集中在 周围概率越大。周围概率越大。 2 ( ,) , ()( ) a a Paax dx xx (,aa ()0.6826, (22 )0.9544, (33 )0.9974. PX PX PX 特别地有特别地有 例例3、在某次数学考试中，考生的成绩、在某次数学考试中，考生的成绩 x 服从一个服从一个 正态分布，即正态分布，即 x N(90,100). （1）试求考试成绩）试求考试成绩 x 位于区间位于区间(70,110)上的概率是上的概率是 多少？多少？ （2）若这次考试共有）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩名考生，试估计考试成绩 在在(80,100)
9、间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？ xN（90，100），u =90， = 10. （1）由于正态变量在区间（ ， ）内取值的概率是0.954 4，而该正态分布 中， =90-210=70， =90+210=110，于是考试成绩 位于区间（70，110） 内的概率就是0.954 4. （2）由u =90， =10，得 =80， =“100. “ 由于正态变量在区间（ ， ）内取值的概率是0.682 6， 所以考试成绩 位于区间（80，100）内的概率是0.682 6. 一共有2 000名考生，所以考试成绩在（80，100）间的考生大约有2 0000.682 61 365（人）. 2
10、22 2 2、已知、已知XN (0,1)，则，则X在区间在区间 内取值的概率内取值的概率 等于（等于（ ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量、设离散型随机变量XN(0,1),则则 = , = . 4、若、若XN(5,1),求求P(6X7). (, 2) (0)P X ( 22)PX D 0.5 0.9544 练习：练习：1、已知一次考试共有、已知一次考试共有60名同学参加，考生的名同学参加，考生的 成绩成绩X ，据此估计，大约应有，据此估计，大约应有57人的分人的分 数在下列哪个区间内？（数在下列哪个区间内？（ ） A. (90,110 B. (95,125 C. (100,120 D.(105,115 2 (100,5 ) A P(4X6)=“0.682“ 6. P(3X7)=“0.954“ 4.P(3X4)+P(6X7) =“0.954“ 4-0.682 6=“0.271“ 8.如图，由正态密度曲线的对称性可得 P（3X4)=P(6X7)P(6X7)= =“0.135“ 9.
