1、抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 青青 春春 抛抛 物物 线线 进入抛物线的内部世界进入抛物线的内部世界 y x o 探 究 ？ 探 究 ？ 画图观察画图观察 再次观察再次观察 C 问题探究：问题探究： 可以发现可以发现, ,点点M随着随着H H运动的过程中运动的过程中, ,始终有始终有 | |MF|=|=|MH|,|,即点即点M与点与点F和定直线和定直线l的距离相等的距离相等. . 点点M生成的轨迹是曲线生成的轨迹是曲线C的形状的形状.( (如图如图) ) 我们把这样的一条曲线叫做我们把这样的一条曲线叫做抛物线抛物线. . M F l H 观察发现观察发现 C M F l H 在平面内在
2、平面内,与一个定点与一个定点F 和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F) 的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛抛 物线物线. 点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点, 直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线 d 为为 M 到到 l 的距离的距离 准线准线 焦焦 点点 d 一、抛物线的定义一、抛物线的定义: 即即: :若若1 MF d , ,则则点点M的的轨迹轨迹是是抛抛物物线线. . 想一想想一想: :比较椭圆、双曲线的标准方程的建立过比较椭圆、双曲线的标准方程的建立过 程程, ,如何建立坐标系如何建立坐标系, ,才能才能使抛物线的方程更简使抛物线的方程更简 单单, ,其标准
3、方程形式怎样其标准方程形式怎样? ? C M F l H 二、标准方程的推导二、标准方程的推导 如何建立坐标系呢如何建立坐标系呢？ 思考思考：抛物线是抛物线是 轴对称图形吗轴对称图形吗？怎怎 样建立坐标系样建立坐标系,才能才能 使焦点坐标和准线使焦点坐标和准线 方程更简捷方程更简捷? x y 0 x y 0 x y 0 1.1.建立坐标系建立坐标系 2.2.设动点坐标设动点坐标, , 相关点的坐标相关点的坐标. . 3.3.列方程列方程 4.4.化简化简, ,整理整理 l 解：以过解：以过F且垂直于且垂直于 l 的直的直 线为线为x轴轴, ,垂足为垂足为K. .以以F, ,K的中点的中点 O
4、O为坐标原点建立直角坐标系为坐标原点建立直角坐标系xoy. 22 ()| 22 pp xyx 两边平方两边平方, ,整理得整理得 x K y o M(x,y) F 设设( , )M x y, ,FKp , , 则则焦焦点点(,0) 2 p F, ,准准线线: 2 p l x 依题意得依题意得 2 2(0)ypx p 5.5.证明（略）证明（略） 这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程. . y y2 2=2px=2px- -p p2 2(p0)(p0) y y2 2=2px+p=2px+p2 2(p0)(p0) y2=2px (p0) 三、标准方程三、标准方程 把方程把方程 y2 = 2 2
5、px (p0)叫做抛物线的叫做抛物线的标准方标准方 程程.其中其中 p 为正常数为正常数,表示焦点在表示焦点在 x 轴正半轴上轴正半轴上. 且且 p的几何意义是的几何意义是: : 焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离 焦点坐标是焦点坐标是 (,0) 2 p 2 p x 准线方程为准线方程为: : 一条抛物线一条抛物线，由于它在坐标平面内由于它在坐标平面内 的位置不同的位置不同，方程也不同方程也不同，所以抛物线所以抛物线 的标准方程有四种形式的标准方程有四种形式. 抛物线的标抛物线的标 准方程的其准方程的其 他形式呢他形式呢? 想 一 想 ？ 想 一 想 ？ 抛物线的标准方程抛物线的标
6、准方程 其它形式的其它形式的 抛物线的焦抛物线的焦 点与准线呢？点与准线呢？ 图形图形 标准方程标准方程 焦点坐标焦点坐标 准线方程准线方程 四种抛物线的标准方程对比四种抛物线的标准方程对比 pxy2 2 0p pxy2 2 0p pyx2 2 0p pyx2 2 0p 0 , 2 p 2 p x 0 , 2 p 2 p x 2 , 0 p 2 p y 2 , 0 p 2 p y 观察观察上上表表: :抛物线的抛物线的标准方程标准方程的四种不同的四种不同 形式与形式与图形图形、焦点焦点坐标、坐标、准线准线方程的方程的对应关系对应关系 是有规律的，这个规律是什么？是有规律的，这个规律是什么？ 第
7、一第一: :一次项的变量如为一次项的变量如为x( (或或y),),则则x轴轴( (或或y轴轴) ) 为抛物线的对称轴为抛物线的对称轴, ,焦点就在对称轴上焦点就在对称轴上. . 第二第二:一次项的系数的正负决定了开口方向一次项的系数的正负决定了开口方向. 例例1(1)1(1)已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是y2 2 = 6= 6x，求它的，求它的 焦点坐标和准线方程焦点坐标和准线方程; ; (2)(2)已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是F(0,(0,- -2),2),求它的标准求它的标准 方程方程. . 根据标准方程的知识根据标准方程的知识,我们可以确定抛物我们可以确定抛
8、物 线的焦点位置及准线方程线的焦点位置及准线方程. 解解:(1)因为因为p=3，所以焦点坐标是所以焦点坐标是 , , 准线方程是准线方程是 3 ( ,0) 2 3 2 x ,所以所求抛物线的标准方程是所以所求抛物线的标准方程是 2, 2 p 2 8xy (2)因为焦点在因为焦点在y轴的负半轴上，且轴的负半轴上，且 4p 例例2.求过点求过点A(- -3,2)的抛物线的标准方程的抛物线的标准方程. A O y x 解解:(1)当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在 y 轴轴 的正半轴上时，把的正半轴上时，把A(- -3,2) 代入代入x2 =2py，得，得p= 9 4 (2)当焦点在当焦点在 x 轴的
9、负半轴上时，轴的负半轴上时， 把把A(- -3,2)代入代入y2 = - -2px， 得得p= 2 3 抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y 或或y2 = x 。 9 2 4 3 思考思考: :M是抛物线是抛物线y2 = 2px（p0）上一点，若点）上一点，若点 M 的横坐标为的横坐标为x0，则点，则点M到焦点的距离是到焦点的距离是 x0 + 2 p O y x F M 这就是抛这就是抛 物线的焦物线的焦 半径公式半径公式! ! 1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （1）焦点是）焦点是F（3，0）；）； （2）准线方程）准线方程 是是x
10、= ； 4 1 （3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2。 y2 =12x y2 =x y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或或 x2 = -4y 四、课堂练习：四、课堂练习： 焦点坐标焦点坐标 准线方程准线方程 （1) （2) （3) （4) （5，0） x= -5 （0，） 1 8 y= - 1 8 8 x= 5 （-，0） 5 8 （0，-2） y=2 2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2） （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0 1 2 2 YX 五、五、小结小结: : 1.1.抛物线
11、的定义抛物线的定义: :抛物线的定义反映了抛物线的本抛物线的定义反映了抛物线的本 质，灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易，质，灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易， 且思路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对定且思路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对定 义的恰当运用义的恰当运用. 2.2.抛物线的标准方程有四种不同的形式抛物线的标准方程有四种不同的形式: :每一对每一对 焦点和准线对应一种形式焦点和准线对应一种形式. .抓住标准方程的特点抓住标准方程的特点, 注意与焦点位置注意与焦点位置,开口方向的对应关系开口方向的对应关系; 3、注重数形结合和分类讨论的思想。注重数形结合和分类讨论的
12、思想。 准线方程准线方程 焦点坐标焦点坐标 标准方程标准方程 焦点位置焦点位置 图图 形形 3. 不同位置的抛物线不同位置的抛物线 x轴的轴的 正方向正方向 x轴的轴的 负方向负方向 y轴的轴的 正方向正方向 y轴的轴的 负方向负方向 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py )0 , 2 ( p F)0 , 2 p F(- ) 2 , 0( p F) 2 , 0( p F- 2 = p x- 2 = p x 2 = p y 2 = p y- x y OF l x y O F l x y O F l x y O F l 六、六、作业作业: : 课本课本 64 PB 组组 1、2 题题 小小 诗诗 一一 首首 抛物线抛物线 两端长两端长 遥遥长臂向远方遥遥长臂向远方 似彩虹似彩虹 如桥梁如桥梁 世间英雄竟畅想世间英雄竟畅想 神七飞神七飞 国兴旺国兴旺 主宰世界非天王主宰世界非天王 看今朝看今朝 我辈忙我辈忙 漫漫学路志昂扬漫漫学路志昂扬 愿我们能共同愿我们能共同 欣赏到欣赏到 数学带来的美数学带来的美
