1、教教学学教教法法分分析析课课前前自自主主导导学学当当堂堂双双基基达达标标易易错错易易误误辨辨析析课课后后知知能能检检测测 课课堂堂互互动动探探究究教教师师备备选选资资源源 14 定积分与微积分基本定理14.1曲边梯形面积与定积分三维目标三维目标1知识与技能知识与技能(1)通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景；通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景；(2)了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点，感受在其过程中渗透的思想方法：分问题的过程的共同点，感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限割、以不变代变、求
2、和、取极限(逼近逼近)；(3)借助几何直观体会定积分的基本思想、初步了解定积分的概念 2过程与方法 理解求曲边图形面积及求汽车行驶的路程的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法 3情感、态度与价值观 通过曲边梯形的面积，进一步感受极限的思想 重点难点 重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近(取极限)；理解定积分的概念及几何意义 难点：对过程中所包含的微积分“以直代曲”思想的理解【问题导思】1能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？【提示】由于曲边梯形有一边是曲线段，因此不能用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积 2当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近
3、似代替曲边梯形的面积？【提示】可以 曲边梯形 由直线xa，xb(ab)，y0和曲线所围成的图形称为曲边梯形(如图141)yf(x)【问题导思】分析求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的步骤，试找出它们的共同点【提示】两个问题均可通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决都可以归结为一个特定形式和的极限 定积分的定义 设函数yf(x)定义在区间a，b 上(如图142)用分点ax0 x1x2xn1xnb把区间 a，b分为n个小区间，其长度依 次为xixi1xi，i0，1，2，n1.记为这些小区间长度的最大者，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点i，作 【问题导思】定积分
4、和曲边梯形的面积有何关系？C 以曲线以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积 面积的代数和面积的代数和 正号正号 负号负号 求由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形面积【思路探究】按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解(3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即 求曲边梯形面积：(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割近似代替求和取极限(3)关键：近似代替(4)结果：分割越细，面积越精确 本例改为“求由直线x0，x2，y0和曲线y2xx2围成的图形面积”，如何求解？【解】(1)分割
5、：在区间0，2上等间隔地插入 n1个点，将区间0，2等分 成n个小区间：(3)求和：有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)3t22(单位：km/h)，那么该汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？【思路探究】把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决 把变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的路程问题，采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积分的
6、概念 已知某正电荷在某电场中做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)t2(单位m/s)，求它在0t1这段时间运动的路程是什么？【思路探究】对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解【错因分析】在应用定积分的几何意义求定积分时，错解中没有考虑在x轴下方的面积取负号，x轴上方的面积取正号，导致错误【答案】D 2在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi1，xi上的近似值等于()A只能是区间左端点的函数值f(xi1)B只能是区间右端点的函数值f(xi)C可以是区间内的任意点的函数值f(i)(ixi1，x
7、i)D以上都不正确【解析】以直代曲，可以把区间xi1，xi上的任意点的函数值f(i)(ixi1，xi作为小矩形的高)【答案】C 4求由直线x0，x1，y0与曲线yx22x1围成的曲边梯形的面积课后知能检测课后知能检测 点击图标进入点击图标进入 (1)请根据速度函数描述质点的三种运动状态；(2)试求这一质点在13 s内的运动路程【思路探究】在每一段内按照四个步骤求出相应的面积，最后再求和【自主解答】(1)v(t)2t2(0t3)，说明质点在前3 s内做变加速直线运动；v(t)18(3t7)，说明质点在第3 s7 s之间做匀速直线运动；v(t)3t39(7t13)，说明质点在第7 s13 s之间做匀减速直线运动 1利用定义求定积分的步骤：2利用定积分的几何意义求定积分的步骤：(1)确定被积函数和积分区间(2)准确画出图形(3)求出各阴影部分的面积 求直线x1，x2，y0与yx3所围成的曲边梯形的面积(3)求和：因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即 (4)求极限：当分点数目愈多，即x愈小时，和式的值就愈接近曲边梯形ABCD的面积S，因此，n趋向无穷大即x趋向于0时，和式的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积
