1、6.全等三角形的判定方法的综合运用 学习目标学习目标 1.熟练掌握判定三角形全等的四种方法：SAS，ASA，AAS， SSS；（重点） 2会根据具体情况选择合适方法证明三角形全等（难点） 一、情境导入一、情境导入 1 1判定三角形全等的四种方法：判定三角形全等的四种方法：SAS，ASA， AAS，SSS 2 2怎样选择合适的方法解题呢？怎样选择合适的方法解题呢？ 二、合作探究二、合作探究 探究点一：判定三角形全等的开放性题目探究点一：判定三角形全等的开放性题目 【类型一类型一】条件开放条件开放 例例1 1：如图，如图，ABC=EBD，AB=BE，要使，要使 ABCEBD，则需要补充的条件，则需
2、要补充的条件 为为 （填一个即可）（填一个即可） 解析解析：需要补充的条件为需要补充的条件为BC=BD或或A=E或或 C=D （1）补充的条件为）补充的条件为BC=BD， ABC=EBD，AB=BE，又有又有BC=BD， ABCEBD（SAS） （2）补充的条件为）补充的条件为A=E， ABC=EBD，AB=BE，又有又有A=E， ABCEBD（ASA） （3）补充的条件为）补充的条件为C=D， ABC=EBD，AB=BE，又有又有C=D， ABCEBD（AAS） 故填故填BC=BD或或A=E或或C=D 方法总结方法总结： （1 1）已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用）已知一边一角，可任
3、意添加一个角的条件，用AASAAS或或 ASAASA判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用 SASSAS判定全等若添加另一边即这个角的对边，符合判定全等若添加另一边即这个角的对边，符合SSASSA的的 情形，不能判定三角形全等情形，不能判定三角形全等 （2 2）添加条件时，应）添加条件时，应结合判定图形结合判定图形和四种和四种方法：方法：SSSSSS、SASSAS、 ASAASA、AASAAS，注意不能是，注意不能是SSASSA的情形的情形 【类型二类型二】结论开放结论开放 例例2 2：如图，点如图，点F在在BC上，上，AB=AE，CB
4、=FE， EABEAB=CAFCAF，请你任意写出一个正确结请你任意写出一个正确结 论：论： 解析解析：由：由EABEAB=CAFCAF可得，可得，EAFEAF=CABCAB，又，又 AB=AE，CB=FE，所以，所以ABCAEF（SAS）， 所以所以AF=AC，E E=B B，AFEAFE=C C故可以填：故可以填： ABCAEF或或AF=AC或或E E=B B或或AFEAFE=C C 方法总结方法总结：对于结论开放题，应先结合已知条件和图形：对于结论开放题，应先结合已知条件和图形 进行推理，得出各种结论，任选其中之一即可进行推理，得出各种结论，任选其中之一即可 【类型三类型三】条件结论都开
5、放条件结论都开放 例例3 3：如图如图ADF和和BCE中，中，A=B，点，点D、E、F、 C在同在同直线上，有如下三个关系式：直线上，有如下三个关系式： AD=BC；DE=CF；BEAF （1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论， 写出所有你认为正确的命题（用序号写出命题书写写出所有你认为正确的命题（用序号写出命题书写 形式，如：如果形式，如：如果、，那么，那么） （2）选择（）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的）中你写出的一个命题，说明它正确的 理由理由 解解：（：（1）如果）如果，那么，那么；如果；如果，那么，那么 （2）对于）
6、对于“如果如果，那么，那么”证明如下：证明如下： BEAF，AFD=BEC AD=BC，A=B，ADFBCE DF=CEDFEF=CEEF即即DE=CF 对于对于“如果如果，那么，那么”证明如下：证明如下： BEAF，AFD=BEC DE=CF，DE+EF=CF+EF即即DF=CE A=B，ADFBCE AD=BC 解析解析：（1）本题主考查全等三角形的判定，能不）本题主考查全等三角形的判定，能不 能成立，就看作为条件的关系式能不能证明能成立，就看作为条件的关系式能不能证明 ADFBCE，从而得到结论，从而得到结论 （2）对于）对于“如果如果，那么，那么”进行证明，根进行证明，根 据平行线的性
7、质得到据平行线的性质得到AFD=BEC，因为，因为AD=BC， A=B，利用，利用AAS判定判定ADFBCE，得到，得到 DF=CE，即得到，即得到DE=CF 探究点二：灵活选用合适方法证明三角形全等探究点二：灵活选用合适方法证明三角形全等 例例4 4：如图，在如图，在ABE中，中，AB=AE，AD=AC， BAD=EAC，BC、DE交于点交于点O 求证：（求证：（1）ABCAED； （2）OB=OE 解析解析：（1）由）由BAD=EAC可知可知 BAC=EAD，所以有，所以有 可证可证ABCAED（SAS）；）； （2）由（）由（1）知）知ABC=AED，AB=AE可可 知知ABE=AEB，
8、所以，所以OBE=OEB， 则则OB=OE 证明：（证明：（1）BAD=EAC， BAD+ +DACDAC=EAC+ +DACDAC， 即即BAC=EAD 在在ABC和和AED中，中， ABCAED（SAS） （2）由（）由（1）知）知ABC=AED， AB=AE， ABE=AEBABEABE- -ABCABC=AEBAEB- -AEDAED，即，即 OBE=OEBOB=OE 探究点三：添加辅助线证明三角形全等探究点三：添加辅助线证明三角形全等 例例5 5：已知：如图，在已知：如图，在四边四边形形ABCD中，中，ADBC， BC=DC，CF平分平分BCD，DFAB，BF的延长线的延长线 交交D
9、C于点于点E 求证：（求证：（1）BFCDFC； （2）AD=DE 解析解析：（1）由）由CF平分平分BCD可知可知BCF=DCF， 然后通过然后通过SAS就能证出就能证出BFCDFC （2）连接）连接BD，要证明，要证明AD=DE，证明，证明 BADBED则可由于则可由于BD=BD，所以只需另外，所以只需另外 证明两组角对应相等即可证明两组角对应相等即可 证明证明：（：（1）CF平分平分BCD， BCF=DCF 在在BFC和和DFC中，中， BFCDFC （2）连接）连接BD BFCDFC， BF=DF，FBD=FDB DFAB， ABD=FDBABD=FBD ADBC，BDA=DBC BC
10、=DC， DBC=BDCBDA=BDC 又又BD=BD=BD，BADBED AD=DE 方法总结方法总结：证明全等三角形中常见辅助线的作法：证明全等三角形中常见辅助线的作法： （1 1）连接两点；）连接两点； （2 2）倍长中线；）倍长中线； （3 3）过一点作已知直线的平行线；）过一点作已知直线的平行线； （4 4）过一点作已知直线的垂线）过一点作已知直线的垂线 探究点四：多次运用三角形全等的判定探究点四：多次运用三角形全等的判定 例例6 6：如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB=AD，BC=DC， E为为AC上的一动点（不与上的一动点（不与A重合），在重合），在E移动过程移动过
11、程 中中BE和和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；是否相等？若相等，请写出证明过程； 若不相等，请说明理由若不相等，请说明理由 解析解析：要证要证BE=DE，先证，先证ADCABC（SSS），得到），得到 DAE=BAE，再证再证ADEABE（SAS）即可）即可 解解：相等：相等 理由理由如下：如下： 在在ABC和和ADC中，中， AB=AD，AC=AC，BC=DC， ABCADC（SSS），），DAE=BAE， 在在ADE和和ABE中，中， AB=AD，DAE=BAE，AE=AE， ADEABE（SAS），），BE=DE 方法总结方法总结：把要证明的边相等或角相等，转化为证明它们：把要证
12、明的边相等或角相等，转化为证明它们 所在的三角形全等如果两个三角形全等的条件不具备，所在的三角形全等如果两个三角形全等的条件不具备， 可通过两次或多次三角形全等得出可通过两次或多次三角形全等得出 探究点五：全等三角形的应用探究点五：全等三角形的应用 例例7 7：如图，如图，A、B两个建筑物分别位于河的两岸，为两个建筑物分别位于河的两岸，为 了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线BF，且，且 使使BFAB，在，在BF上截取上截取BC=CD，过，过D点作点作DEBF， 使使E、C、A在一条直线上，则在一条直线上，则DE的长就是的长就是A、B之间之间 的距离，请说明理由的距离，请说明理由 解析解析：ACB=DCE，BC=CD， B=EDC=90， ACBECD， AB=DEDE的长就是的长就是A、B之间的距离之间的距离 方法总结方法总结：本题考查全等三角形的应用，本题考查全等三角形的应用， 关键是关键是通过通过证明三角形全等，得到线段相证明三角形全等，得到线段相 等，等，从而从而得得出出结论结论成立成立 课后练习课后练习
