1、19.1 19.1 多边形的内角和多边形的内角和 第19章 四边形 生活中的平面图形生活中的平面图形 三角形三角形 长方形长方形 四边形四边形 六边形六边形 八边形八边形 情景导入情景导入 在平面内，由在平面内，由三条三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封 闭图形叫做闭图形叫做三角形三角形. 在平面内，由在平面内，由若干条若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封 闭图形叫做闭图形叫做多边形多边形. 在平面内，由在平面内，由五条五条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封不在同一条直线上的线段首
2、尾顺次相连组成的封 闭图形叫做闭图形叫做五边形五边形. 在平面内，由在平面内，由四条四条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封 闭图形叫做闭图形叫做四边形四边形. 自主学习自主学习 顶点顶点 内角内角 边边 对角线对角线 (连接不相邻两个顶点的线段连接不相邻两个顶点的线段) 多边形的相关元素多边形的相关元素 外角外角 表示：五边形表示：五边形ABCDE A C B D E 如图如图1是凸多边形；是凸多边形； 图图2不是凸多边形，今后如果不作说明，不是凸多边形，今后如果不作说明， 我们讲的多边形都是凸多边形我们讲的多边形都是凸多边形. 图图 2 如果
3、把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直 线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形. 图图 1 A C B D A C B D 在多边形的顶点处在多边形的顶点处一边与另一边的延长线一边与另一边的延长线所组所组 成的角叫做这个多边形的外角成的角叫做这个多边形的外角. . 在每个顶点处取在每个顶点处取这个多边形的一个外角这个多边形的一个外角，它们的，它们的 和叫做这个多边形的外角和和叫做这个多边形的外角和. . 如何求出任意五边形的内角和？你能想出几如何求出任意五边形的内角和？你能想出几 种办法？种办法？ 合作探究
4、合作探究 活动活动1 1：探究：探究多边形的内角和多边形的内角和 多边形的边数多边形的边数 4 5 6 n 分成三角形的个数分成三角形的个数 多边形的内角和多边形的内角和 2 3 4 n-2 360 540 720 (n-2)180 从多边形的一个顶点出发，引出所有的对角线，从多边形的一个顶点出发，引出所有的对角线， 从而把多边形分割为多个三角形从而把多边形分割为多个三角形. 定理：定理： n边形的内角和等于边形的内角和等于(n2) 180 （n为不小于为不小于3的整数的整数） 说明：多边形的内角和仅与边数有关说明：多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的与多边形的 大小大小、形状无关形状无关.
5、 已知一个多边形，它的内角和等于已知一个多边形，它的内角和等于900,求这求这 个多边形的边数个多边形的边数. 解：解： 设多边形的边数为设多边形的边数为n，因为它的内角和等，因为它的内角和等 于于 (n-2)180， 所以，所以， (n-2)180= 900 解得解得: n=7 这个多边形的边数为这个多边形的边数为7. 有一张长方形的桌面，现在锯掉它的一个角，有一张长方形的桌面，现在锯掉它的一个角， 有几种情况？剩下的残余桌面的内角和为多少？有几种情况？剩下的残余桌面的内角和为多少？ 思考题：思考题： 三角形的外角和是多少度？你是怎样探究出来的？三角形的外角和是多少度？你是怎样探究出来的？
6、A B C D E F 1.先把三角形的三个外角和三个先把三角形的三个外角和三个内角这六个角内角这六个角 的和求出来，刚好是三个平角的和求出来，刚好是三个平角. 2.再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下 的就是三角形的外角和了！的就是三角形的外角和了！ 31800-(3-2) 1800=3600 活动活动2 2：探究：探究多边形的外角和多边形的外角和 那 么 你 能 研 究 出 四 边 形 的 外 角 和 吗 ？ 那 么 你 能 研 究 出 四 边 形 的 外 角 和 吗 ？ 整体思路：整体思路：1.先求先求4个 外角外角+4个内角的和；个内角的和； 2
7、.再减去再减去4个内角的和个内角的和 容易看出，容易看出，4个外角个外角+4个内角个内角=4个平角而个平角而4个个 内角的和是（内角的和是（4-2） 180 ，那么，那么四边形的四边形的 外角和外角和就是就是4 180-（4-2） 180= 360 五边形的外角和是多少度？五边形的外角和是多少度？ 六边形的外角和是多少度？六边形的外角和是多少度？ n边形的外角和是多少度？边形的外角和是多少度？ 51800-(5-2) 1800=3600 61800-(6-2) 1800=3600 n1800-(n-2) 1800= 3600 n边形的外角和等于边形的外角和等于360 理论证明：理论证明： 所以
8、所以n个外角与个外角与n个内角的和是个内角的和是: n1800， 所以所以n边形外角和是边形外角和是: n1800-(n-2) 1800=3600. 而而n边形的内角和是边形的内角和是: （n-2）1800 因为因为n边形的每个外角与它相邻的内角互补边形的每个外角与它相邻的内角互补 ( (n3） 知识要点知识要点 变式：你能反过来由多边形外角和公式来推导多边变式：你能反过来由多边形外角和公式来推导多边 形的内角和公式吗？形的内角和公式吗？ n1800- 360 =n1800-21800 =（n-2）1800 分析：分析：n1800-(n-2) 1800 例例 一个多边形的内角和等于它的外角和的
9、一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它倍，它 是几边形？是几边形？ 解：解： 设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n，则它的内角和等，则它的内角和等 于于 (n-2)180， 因为外角和等于因为外角和等于360 ，所以，所以 (n-2)180= 3360 n = 8 这个多边形的边数为这个多边形的边数为8. 三角形如果三条三角形如果三条边边都相等，三个都相等，三个角角也都相等，那么这样也都相等，那么这样 的三角形就叫做的三角形就叫做正正三角形三角形. . 如果多边形各如果多边形各边边都相等，各个都相等，各个角角也都相等，那么这样也都相等，那么这样 的多边形就叫做的多边形就叫做正多边形正
10、多边形. .如正三角形、正四边形（正方形）、如正三角形、正四边形（正方形）、 正五边形等等正五边形等等 . . 正三角形正三角形 正方形正方形 正五边形正五边形 正六边形正六边形 ( (或正三边形或正三边形) ) ( (或正四边形或正四边形) ) 活动活动3 3：探究：探究正多边形正多边形 （1）各条边都相等的多边形是正多边形；）各条边都相等的多边形是正多边形； （2）各个角都相等的多边形是正多边形）各个角都相等的多边形是正多边形. 由上面的结论判定下列说法正确吗？由上面的结论判定下列说法正确吗？ 强调：强调： 2.各个角都相等；各个角都相等； 1.各个边都相等；各个边都相等； 缺一不可：缺一不可： 菱形菱形 长方形长方形 课堂小结课堂小结 在平面内，由在平面内，由若干条若干条不在同一条直线上的线段首不在同一条直线上的线段首 尾顺次相连组成的封闭图形叫做尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形多边形. n边形的内角和等于边形的内角和等于(n2) 180 （n为不小于为不小于3的整数）的整数） 说明：多边形的内角和仅与边数有关说明：多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的与多边形的 大小大小、形状无关形状无关. n边形的外角和等于边形的外角和等于360 ( (n3）
